生活中的优化问题举例2.doc

1、建立数学模型1.4 生活中的优化问题举例（2 课时）教学目标：1 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2 提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题教学过程：一创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题二新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关

2、的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案三典例分析例 1海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2,上、下

3、两边各空 2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为 xdm，则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为18x。1285()4)()2,0Sxx求导数，得。 25()令 ，解得 舍去） 。 10Sx16(x于是宽为 。1286x当 时， 0.(0,)()S(16,)x()Sx因此， 是函数 的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为 16dm，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为 16dm，宽为 8dm 时，海报四周空白面积最小。例 2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）

4、是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可0.8rr获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为 ，所以每瓶饮料的利润是r332240.2.80.,06ryfr r令 解得 （ 舍去）8()r当 时， ；当 时， ,f,6f当半径 时， 它表示 单调递增，即半径越大，利润越高；2r0fr当半径 时， 它表示 单调递减，即半径越大，利润越

5、低fr（1）半径为 cm 时，利润最小，这时 ，表示此种瓶内饮料的利润还不够20f瓶子的成本，此时利润是负值（2）半径为 cm 时，利润最大6换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当 时， ，即瓶子的半径为 3cm 时，饮料的利润与饮料瓶3r0f的成本恰好相等；当 时，利润才为正值当 时， ， 为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于0,2rr2cm 时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为 cm 时，利润最小2例 3磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道

6、，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0或 1，这个基本单元通常被称为比特（bit） 。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 ，每比特所占用的磁道长度不m得小于 。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。n问题：现有一张半径为 的磁盘，它的存储区是半径介于 与 之间的环形区域RrR（1） 是不是 越小，磁盘的存储量越大？r（2） 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数每磁道的比特数。设存储区的半径介于 与 R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于 ，且最

7、外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最Rrm大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达 。所以，磁盘总存2rn储量()fr2rn()Rr（1）它是一个关于 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是 越小，磁盘的存储量越大（2）为求 的最大值，计算 ()fr()0fr2Rmn令 ，解得()0frr当 时， ；当 时， 2R()f2()0fr因此 时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为r24Rmn例 4汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量 （单位：L）与汽车的速度 （单位：km/h）之间有一wv定的关系，汽油的消耗量 是汽车速度

8、 的函数根据你的生活经验，思考下面两个问v题：（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值如果用 表示每千米平均的汽油消耗量，那么 ，其中， 表示汽油消耗量GwGs（单位：L ） ， 表示汽油行驶的路程（单位：km） 这样，求“每千米路程的汽油消耗量s最少” ，就是求 的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率 （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度 （单g v位：km/h）之间有如图所示的函数关

9、系 gfv从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率 （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度 （单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题解：因为 wgtGsv这样，问题就转化为求 的最小值从图象上看， 表示经过原点与曲线上点的直线的gv斜率进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小在此切点处速度约为90 /kmh因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为 90 从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即/kh，约为 L90f例 5在边

10、长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为 xcm，则箱高cm，得箱子602h容积260)(3xhxV)60(令 0，解得 x=0（舍去） ，x=40， 23()6xx并求得 V(40)=16 000由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值 奎 屯王 新 敞新 疆答：当 x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000cm3解法二：设箱高为 xcm，则箱底长为(60-2 x)cm，则得箱子

11、容积 （后面同解法xV2)60()30(一，略）由题意可知，当 x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处事实上，可导函数 、 在各自的定义域260)(32xhVxV2)60()中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 奎 屯王 新 敞新 疆例 6圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用x60-2x60-2x 60-2xx60-2x6060_x_x_60_60xx的材料最省？解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积S=2Rh+2R 2由 V=R 2h，得 ，则VS(R)= 2R + 2

12、R 2= +2R 22R令 +4R=0()s解得，R= ，从而 h= = = =232V223()V343V即 h=2R因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值 奎 屯王 新 敞新 疆答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 奎 屯王 新 敞新 疆变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示： S=2 + h=R2RS2V(R)= R = 321)(1RS)=0 ) 26h22例 6在经济学中，生产 x 单位产品的成本称为成本函数同，记为 C(x)，出售 x 单位产品的收益称为收益函数，记为 R(x)，R(x) C(x)称为利润函数，记

13、为 P(x)。（1） 、如果 C(x) ，那么生产多少单位产品时，边际10503.126x最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)xC（2） 、如果 C(x)=50x10000，产品的单价 P1000.01x，那么怎样定价，可使利润最大？变式：已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q，价格 p 与产量 q的函数关系式为 求产量 q 为何值时，利润 L 最大？p8125分析：利润 L 等于收入 R 减去成本 C，而收入 R 等于产量乘价格由此可得出利润 L与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入 ，2158q利润 215(04)108Cq(0

14、)q124Lq令 ，即 ，求得唯一的极值点 奎 屯王 新 敞新 疆0L1204q84q答：产量为 84 时，利润 L 最大 奎 屯王 新 敞新 疆例 7一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b. 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC，DE= h,BC=b213AD= h+b, S= 32 bb)3(3CD= ,AB=CD.l= 2+b 0cosh由得 b= h,代入,l=3 hSS34l= =0,h= , 当

15、 h 时， l0.2S444h= 时，l 取最小值，此时 b=43S32例 8已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物线 y 4x 2 在 x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y） ，且 x 0，y 0，则另一个在抛物线上的顶点为（x，y） ，在 x 轴上的两个顶点为（x，0） 、 （x ，0） ，其中 0 x 2设矩形的面积为 S，则 S 2 x（4x 2） ，0 x 2由 S （x）86 x 20，得 x ，易知3x 是 S 在（0，2）上的极值点，34即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为 和 328【点评】应用

16、题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值练习：1：一书店预计一年内要销售某种书 15 万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费 30 元，每千册书存放一年要耗库费 40 元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】假设每次进书 x 千册，手续费与库存费之和为 y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即 ，故有2x建立数学模型y 30 40，y 20，x15022450x令 y 0，得 x 15，且 y ，f (15)0，39所以当 x 15

17、 时，y 取得极小值，且极小值唯一，故 当 x 15 时，y 取得最小值，此时进货次数为 10（次） 15即该书店分 10 次进货，每次进 15000 册书，所付手续费与库存费之和最少2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸 40 千米，乙城到岸的垂足与甲城相距 50 千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米 500 元和 700 元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？【解】设水厂 D 点与乙城到岸的垂足 B 点之间的距离为 x 千米，总费用为 y 元，则 CD 240xy 500（50x ）700 1602x25000500 x 700 ，

18、y 500700 (x 21600) 2 x500 ，16072令 y0，解得 x 35答：水厂距甲距离为 50 千米时，总费用最省【点评】当要求的最大（小）值的变量 y 与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为 x，然后再根据条件 x 来表示其他变量，并写出 y 的函数表达式 f（x） 四课堂练习1用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积 （高为 1.2 m，最大容积 ）3.8m5课本 练习五回顾总结1利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案2解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。六布置作业