1、1求展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一 、 型)()Nnba例 1 的展开式中 项的系数是（ ）102xy64xy（A）840 （B）840 （C）210 （D）210解析：在通项公式 中令 =4，即得 的展开式中 项的系数为1rT100(2)rrr10(2)xy64xy=840,故选 A。 4410(2)C例 2 展开式中 的系数为 。8)x5x解析：通项公式 ，由题意得 ，则 ，故所求 的rrrrr xCCT23881 )1( 5238r25x系数为 。2)1(8评注：常用二项展开
2、式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定 的值。r二 、 型),()( Nmndcban例 3 的展开式中整理后的常数项等于 .8412xx解析； 的通项公式为 ,令 ，则 ,这时得34() 34124142()()rrrrrTCxCx0r3的展开式中的常数项为 =32, 的通项公式为 ,令342()x348()8821()kkkTCx，则 ,这时得 的展开式中的常数项为 =70，故 的展开式中常数08k81()x48C843)()2(x项等于 。3872例 4 在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）65)1()(x3x(A) (B) 5 (C) (D) 1010解析： 中
3、的系数 , 中 的系数为 ,故 的)(335C6)(336(1)C2065)1()(x展开式中 的系数为 ,故选 D 。3x10评注：求型如 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项),()( Nmndcban式加减法求得所求项的系数。三 、 型),()(mn2例 5 的展开式中 项的系数是 。72)(1x3x解析： 的展开式中 、 的系数分别为 和 ，故 的展开式中617)2(C437)(72)(1x项的系数为 + =1008。3x617)(C437)2(例 6 的展开式中 的系数是（ ） 8x5x（A ） （B ） （C ） （D） 412828略解： 的展开式中 、 的系数分
4、别为 和 ,故 展开式中 的系数为8)1(x4x548581x5x,故选 B。458C评注：求型如 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式),()(Nmndcban乘法求得所求项的系数。四 、 型)()(n例 7 的展开式中整理后的常数项为 .521x解法一： = ，通项公式 , 的通项公式为5)(52)1(x 52151()kkkxTC51()2kx,令 ，则 ，可得 或5()12rkrkrrkTCx55rkC0rr,r或 。,30,当 时，得展开式中项为 ；2,rk 1254当 时,，得展开式中项为 ；13311202C当 时，得展开式中项为 。05rk5综上， 的展开式中
5、整理后的常数项为 。5)2(x 632204解法二： = = = ，对于二项式 中，5152)(x5)(x510)(x10)2(x，要得到常数项需 ，即 。所以，常数项为 。rrrxCT)2(10110r 63)510C解法三： 是 5 个三项式 相乘。常数项的产生有三种情况：在 5 个相乘的三项(2)x式 中，从其中一个取 ，从另外 4 个三1(2)x23项式中选一个取 ，从剩余的 3 个三项式中取常数项相乘，可得 ；从其中两个取1x 1354(2)0C，从另外 3 个三项式中选两个取 ，从剩余的 1 个三项式中取常数项相乘，可得 ；2x1x 2253115()C从 5 个相乘的三项式 中取
6、常数项相乘，可得 = 。(2)x5(2)C4综上， 的展开式中整理后的常数项为 。5)12(x 16320评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五 、 型1()()(),1)mnababmNn例 8 在 的展开式中， 项的系数是 。 （用数字作答）621xx 2x解析：由题意得 项的系数为 。35652432CC例 9 在(1x) 5(1x )6(1x) 7(1x) 8 的展开式中，含 x3 的项的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C
7、) 74 (D) 121解析：(1x) 5(1x )6(1x) 7(1x) 8=5459(1)()(1)()xx中 的系数为 ， 中 的系数为 , 126+5= 121,故选 D。51(445C9(44926C评注： 例 8 的解法是先求出各展开式中 项的系数，然后再相加；例 9 则从整体出发，把原式看作首相为2x(1x) ，公比为 (1x)的等比数列的前 4 项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例 8 和例 9 的解5答方法是求 的展开式中某特定项系数的两种常规方法。1(),1)mnababmNn六 、求展开式中若干项系数的和或差例 10 若 ，20421024.)1( xaxax
8、 )(R则 。(用数字作答)_)()()( 0300 a解析：在 中，令 ，则 ，20421024.)( xxx x10a令 ，则1x 1)(04310 a故 )()()( 204020aa=2003 + 。20431例 11 ，则423401()xaxax4的值为（ ）231240)()(aa(A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2解析：在 中，42340()xxax令 ，可得 ，4321a)(令 ，可得x0 4所以， =231240)()(a )( 3142031420 aaa= = =1,故选 A。1421a(评注： 求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法” 。 赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的， 它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法 。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。
