1、求线性时不变系统的平衡点，并判断其稳定性题目：已知系统：X=AX+Bu, y=CX+Du（1） 计算系统的平衡点，即获取系统在阶跃输入下的平衡点，（2） 并考察平衡点的稳定性（求特征值）讲解：（1）求平衡点(a). 线性化：将状态空间所描述的线性系统输入输出关系由下式表示：x=Ax+Buy=Cx+Du其中：x 代表状态矢量y 代表输出矢量u 代表输入矢量A,B,C,D 为系统线性化的状态空间矩阵如创建用于线性化的系统模型名为 lmod，并保存为”lmod.mdl”.在命令窗口输入命令 A B C D=linmod(lmod)就可以获得系统的常微分方程 lmod 的状态空间线性模型，返回系统线性
2、化的状态空间矩阵。A B C D=linmod(lmod)（A,B,C,D=LINMOD(SYS) obtains the state-space linear model of thesystem of ordinary differential equations described in theblock diagram SYS when the state variables and inputs are setto the defaults specified in the block diagram.）（b）由状态方程转成 LTI 对象(transfer state equatio
3、ns to LTI object)：一旦数据形成了状态空间形式或者转变成了 LTI 对象，就可以使用 Control System Toolbox 函数进行进一步的分析。利用 ss 函数可将上面线性化的系统转成 LTI 对象，命令格式为：sys=ss(A,B,C,D)(c) 绘制波德图 :(Bode plot drawing) 用 bode 函数可绘制波德图，（相位、幅值与频率的关系图）bode(A,B,C,D) 或 bode(sys)BODE(SYS) draws the Bode plot of the LTI model SYS (created witheither TF, ZPK,
4、SS, or FRD). The frequency range and number of points are chosen automatically.（d）线性时间响应 (Linear time response):给一个阶跃信号(step signal)：step(A,B,C,D) 或 step(sys) 线性化阶响应或给一个脉冲信号(impulse)：impulse(A,B,C,D) 或 impulse(sys)线性化脉冲响应（e）求系统平衡点 (find the balance point of system)：在非线性系统中，分析评估系统稳定性或稳定状态时大多需要用到平衡点。平
5、衡点是指所有状态导数等于零的点。若仅有部分状态导数等于零，则称为偏平衡点。要使输出为 1，并找出输入以及状态值时，可用 ”trim”函数来实现。以前面创建的”lmod”模型为例：%第一步：对状态变量 x 以及输入 u 做初步设定，并设定想要的输出值。 x=0;0;0;u=0;y=1;1;%第二步：使用索引变量确定那些值可变，那些是固定不变的。ix= ; %任何状态值可变iu= ; %任何输入可变iy=1,2; %两个输出不能变%第三步：调用 trim 函数，求出系统平衡点。x,u,y,dx=trim(lmod,x,u,y,ix,iu,iy)具体程序如下：A,B,C,D=LINMOD(lmod)
6、 %系统线性化的状态空间矩阵sys=ss(A,B,C,D) %由状态方程转成 LTI 对象figure(1)bode(sys) %绘制波德图，（相位、幅值与频率的关系图）figure(2)step(A,B,C,D) %线性时间响应x=0;0;0; %设定状态变量u=0; %设定输入值y=1;1; %设定想要的输出值ix=; %表示状态不固定iu=; %表示输入不固定iy=1,2; %固定第一个输出及第二个输出x,u,y,dx=trim(lmod,x,u,y,ix,iu,iy) %求系统平衡点A = -1 0 -2-2 1 10 1 0B = 010C = -2 0 00 0 -2D = 10a
7、 = x1 x2 x3x1 -1 0 -2x2 -2 1 1x3 0 1 0b = u1x1 0x2 1x3 0c = x1 x2 x3y1 -2 0 0y2 0 0 -2d = u1y1 1y2 0x = 1.33330.0000-0.6667u = 3.3333y = 0.66671.3333dx = 1.0e-015 *0-0.11100.0000 （2）求平衡点处的稳定性。判定系统稳定性（Lyaponov 稳定判据）对于线性时不变系统，若系统矩阵 A 的特征值具有非正实部，实部为零或为负，则系统稳定。反之，系统不稳定。 V D=eig(A)V =0.8398 0.8398 -0.4636 -0.3230 - 0.3788i -0.3230 + 0.3788i 0.1649 -0.2087 - 0.0582i -0.2087 + 0.0582i 0.8706 D =-1.0947 + 1.2837i 0 0 0 -1.0947 - 1.2837i 0 0 0 -2.8105 特征值实部均为负，故该系统稳定。
