1、数学思想在直线位置关系中的活用举隅邮政编码：444303 湖北省巴东县第三高级中学 联系人：许贤永 电话：13647180802数学思想是数学中的一朵奇葩，它贯穿于数学界的各个领域，在直线位置关系中也不例外，若能根据题中的信息“暗示” ，合理采用不同的数学思想去解决实际问题，能达到化繁为简、条理清晰、事半功倍的良好效果。一、 “补集思想”的运用例 1.已知三直线 ： ， ： ， ：1l04yx2l0ymx3l，当 为何值时，三直线能构成三角形？0432myx解： 三条直线能构成三角形三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点.若：三条直线相交于一点.则联立 、 的方程，1l2
2、解得 、 的交点 A（ ）1l2 m4,又 点 A 在 上， 3l0432解得： 或m1若： ，则 ， 解得/1l244若： ，则 ，解得3361m若： ，则 ， 解得2/l1综上所述，当且仅当 时，三条直线能构成三角形。,326,4m点评：该题欲解决“三直线能构成三角形”的问题，但解答时巧妙利用“补集想想”：先求“情况较少”的“三直线不能构成三角形”的问题，使该题的解答达到了化繁为简的目的。二、分类讨论想想的运用例 2.已知集合 A=（ ） ，B=（ ）( ),yx123ayx,12a满足 A B= ，求实数 的值。15)(yax解：（1）当 时，B= ，则 A B= ，符合题意.（2）当
3、时，. 若（2，3） ,由题意可知（2，3） ， BA此时 A B= ，符合题意.将（2，3）代入( ) 中，12a15)(yx解得： 或54. 若（2，3） B，由两条直线)2(3xay和 平行得 ，15)()1(yax 1解得 此时:A= ),(yx)2(3xB= 2y+15=0A B= .综上所得： 或 或 或 时，A B= .1a25a4点评：此题要满足 A B= ，必须分三种不同的情况具体进行分析“A= 时” 、 “B= 时” 、 “A、B 都不为 时” ，否则，将会使问题难以得到正确的答案。特别要注意的是：集合A=（ ） 代表的是“挖去”了点（2，3）),yx123a的一条直线。三
4、、化归思想的运用例 3.已知： 为实数，两条直线 ： ， ： 相a1l0yax2l0ayx交于一点，求证：交点不可能在第一象限及 轴上。解：由题意有 解得交点（- ， ）01ayx 1a2若 0 时， 则12a而当 时，- 1a0此时交点在第二象限内.又 为任意实数时，都有 ，a02， 此时交点不可能在 轴上.012x所以，符合题意的交点不可能在第一象限及 轴上。x点评：此题欲判断交点在哪一个象限，只需判断交点的符号即可，然而先通过联立直线方程将交点坐标解出后，由于交点的横、纵坐标中含有“参数” ，则问题“化归”成求交点的横、纵坐标形成的函数值域问题了（即判断交点的横、纵坐标的取值范围） ；注意：若欲证的结论为“否定模型”时，还要多运用“检验法”和“挖去法” ，使结论更加严密准确。
