立体几何2.1.2.doc

1、新希望教育培训学校资料心在哪儿 新的希望就在哪儿平面与空间直线和空间中的平行关系一、重难点：1 平面基本性质的理解与应用；文字语言、图形语言、符号语言三种语言的相互转化及两异面直线的判定与夹角。2掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线” “线面”平行的转化。二、基础知识(一)、平面的基本性质及其推论1、 平面的画法及其表示方法：常用平行四边形表示平面 奎 屯王 新 敞新 疆 通常把平行四边形的锐角画成 ，横边画成邻边的两倍45 奎 屯王 新 敞新 疆画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画。一般用一个

2、希腊字母 、 、 来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面 等。AC2、空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形 符号语言 文字语言（读法）A a a点 在直线 上。Aa A a A点 不在直线 上。A 点 在平面 内。 A A点 不在平面 内。A baA ab直线 、 交于 点。ab a 直线 在平面 内。 a 直线 与平面 无公共点。a aA aA直线 与平面 交于点 。Al平面 、 相交于直线 。l新希望教育培训学校资料心在哪儿 新的希望就在哪儿（平面 外的直线 ）表示 或 。aaaA3、平面的基本性质公理 1： 如果一条直线的两点在一个平面内，

3、那么这条直线上的所有点都在这个平面内 奎 屯王 新 敞新 疆公理 2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理 3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论 1： 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推论 2： 经过两条相交直线有且只有一个平面。推论 3： 经过两条平行直线有且只有一个平面。（二） 、空间两条直线1、空间两直线的位置关系：（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2、公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。推理模式： 。/,

4、/abca3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。4、等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等。5、异 面 直 线 判 定 定 理 ： 连 结 平 面 内 一 点 与 平 面 外 一 点 的 直 线 ， 和 这 个 平 面 内 不 经 过 此 点 的直 线 是 异 面 直 线 。推理模式： 与 是异面直线。,ABllABl6、异面直线所成的角：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ，abO/,ab所成的角的大小与点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线,ab O,所成的角（或夹

5、角） 为了简便，点 通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围： 。2,0(7、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作 。,abab8、求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。向量法：用向量的夹角公式。9、两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线。理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。两条异面直线的公垂线在

6、这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：新希望教育培训学校资料心在哪儿 新的希望就在哪儿几何法；向量法。例题1、 下列推断中，错误的是（ ） 。 CA lBll, BABC All, D C,，且 A、B、C 不共线 ,重合2、判断下列命题的真假，真的打“” ，假的打“” 。（1）空间三点可以确定一个平面 （ ） 。 （2）两条直线可以确定一个平面 （ ） 。（3）两条相交直线可以确定一个平面（ ） 。 （4）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） 。（5）三条平行直线可以确定三个平面（ ） 。 （6）两两相交的三条直线确

7、定一个平面 （ ） 。 （7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） 。 （8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） 。 。3、如下图，正四面体 SABC 中，D 为 SC 的中点，则 BD 与 SA 所成角的余弦值是（ ） 。A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析：取 AC 的中点 E，连结 DE、BE，则 DESA，BDE 就是 BD 与 SA 所成的角 头htp:/w.xjkygcom12

8、6t:/.j设 SA=a，则 BD=BE= 23a DE=21a，cosBDE= DEB22= 6。答案：C4、正六棱柱 的底面边长为 1，侧棱长为 2，则这个棱柱的侧11ACF面对角线 与 所成的角是_。 答案：601E解析：连结 、FD，则由正六棱柱相关性质可得 ，1/FEB在EFD 中，EF=ED=1，FED=120，FD= o120cs22D= 3,在 和 中，易得 = = )(= 3，1EF1D1ED 是等边三角形， =60。而 即为 与 所成的角。F1FE11BC考点一：点、线共面问题题型：判断和证明点、线共面例题、 如下图，四面体 ABCD 中，E、G 分别为 BC、AB 的中点

9、，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DFFC=23，DHHA=23 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j。求证：EF、GH、BD 交于一点。分析：只要证明点 E、F、G、H 分别所在的直线 EG 和 HF 平行，由公理的推论 3 就可知它们SEDCBAPG HFE DCBA新希望教育培训学校资料心在哪儿 新的希望就在哪儿共面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在ABD 和CBD 中，由 E、G 分别是 BC 和 AB 的中点及23DFHCA可得EG AC，HF 5AC，所以 EGHF, 直线 EF，GH 是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点 P，因此，要

10、证三条直线 EF、GH、BD 交于一点，只要证点P 在直线 AC 上即可。事实上，由于 BD 是 EF 和 GH 分别所在平面 ABC和平面 ADC 的交线，而点 P 是上述两平面的公共点，由公理 2 知 PBD。证法一：(几何法)连结 GE、HF，E、G 分别为 BC、AB 的中点，GEAC，又DFFC=23，DHHA=23，HFAC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jGEHF。故 G、E、F、H 四点共面。又EF 与 GH 不能平行，EF 与 GH 相交，设交点为 P。则 P面 ABD，P面 BCD，而平面 ABD平面 BCD=BD。EF、GH、BD 交于一点。证法二：（向量

11、法）由111()222EGBABCCA2()555FHDADC 54EGFH，从而 EG故 G、E、F、H 四点共面，又EF 与 GH 不能平行，EF 与 GH 相交，设交点为 P。则 P面 ABD，P面 BCD，而平面 ABD平面 BCD=BD。EF、GH、BD 交于一点。反思归纳证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线。考点二：异面直线题型：异面直线的判定或求异面直线所成的角及距离例题、A 是BCD 平面外的一点，E、F 分别是 BC、AD 的中点，（1）求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；（2）若 ACBD，AC=BD，求 EF 与 BD

12、 所成的角。（1）证明：用反证法。假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A、B、C、D 在同一平面内，这与 A 是BCD 平面外的一点相矛盾 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j故直线 EF 与 BD 是异面直线。（2）解：取 CD 的中点 G，连结 EG、FG，则 EGBD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的锐角或直角即为异面直线 EF 与 BD 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在 RtEGF 中，求得FEG=45，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45。反思归纳

13、 证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为 90；若不垂直，则利用平移法GFE DCBA新希望教育培训学校资料心在哪儿 新的希望就在哪儿求角，一般的步骤是“作（找）证算” 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j注意，异面直线所成角的范围是（0， 。2练习、长方体 中，已知 AB=a，BC=b， =c，且 ab，求：1ABCD1A（1）下列异面直线之间的距离：AB 与 ；AB 与 ；AB 与 。1CBC（2）异面直线 与 AC 所成角的余弦值。1（1）解：BC 为异面直线 AB 与 的公垂线段，故 AB 与 的距

14、离为 b。1 1为异面直线 AB 与 的公垂线段，故 AB 与 的距离为 c。A1AC1AC过 B 作 BE ，垂足为 E，则 BE 为异面直线 AB 与 的公垂线，BE= CB1=1 1B2cb，即 AB 与 的距离为 2cb。1BC（2）解法一：连结 BD 交 AC 于点 O，取 的中点 F，连结 OF、AF，则1DOF ，AOF 就是异面直线 与 AC 所成的角。1DAO= 2ba，OF=1= 2cba，BAF=4c，在AOF 中，cosAOF= OFA22= )(22cba。（三） 、直线与平面平行1直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点） ；符号表示为: ，（2）直线

15、和平面相交（有且只有一个公共点） ；符号表示为: ，aA（3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类符号表示为: /a2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式： ,/lmll3. 直线与平面平行证明方法：OF ED1 C1B1A1D CBA新希望教育培训学校资料心在哪儿 新的希望就在哪儿证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 线面平行的性质定 理 ： 如 果 一 条

16、 直 线 和 一 个 平 面 平 行 ， 经 过 这 条 直 线 的 平 面 和 这 个 平 面 相交 ， 那 么 这 条 直 线 和 交 线 平 行 推理模式： /, /lml（四） 、平面与平面平行1平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行2图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的3平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行推理模式： ， ， ， ，abaP/b/平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行推理模

17、式： ,/abPabPab4. 证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。 （2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：ab，a ，b ，a，b，则 。 （3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a，a 则 （4）平行于同一个平面的两个平面平行。/,/。5两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行” 。用符号表示是：，a ，则 a。（2）如果两个平行平面同时与第

18、三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行” 。用符号表示是：，=a，=b，则ab。（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：，a，则 a。（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。 （5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。（） 、线线平行、线面平行、面面平行间的相互转换新希望教育培训学校资料心在哪儿 新的希望就在哪儿例题 基础巩固训练1、若两条直线 m, n 分别在平面 、 内，且 /，则 m, n 的关系一定是（ ）。 D（A）平行 （B） 相交 （C）异面 （D）平行或异面2、一条直线若同

19、时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( ). CA 异面 B 相交 C 平行 D 不能确定3、a、b 是两条异面直线，A 是不在 a、b 上的点，则下列结论成立的是（ ） 。 （如图） DA 过 A 有且只有一个平面平行于 a、b B 过 A 至少有一个平面平行于 a、bC 过 A 有无数个平面平行于 a、b D 过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在4、在正四棱柱 1CBA中， HGFE,分别为棱 1C、 1、 D、D的中点， N是 的中点，点 M在四边形 及其内部运动，则 M满足条件 时，有 /M平面 1D 点 在线段 F上。5、a、b、c 为三条不重合的直线

20、，、 为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是_（将正确的序号都填上） 。 。考点一：线面平行的判定与性质题型：证明线面平行与线面平行性质的运用例题、 如下图，两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，MAC，NFB 且AM=FN，求证：MN平面 BCE 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法一：过 M 作 MPBC，NQBE，P、Q 为垂足，连结 PQ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jMPAB，NQAB，MPNQ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又 NQ= BN= CM=MP，MPQN 是平行四边

21、形 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2MNPQ，PQ 平面 BCE 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 而 MN 平面 BCE，MN平面 BCE 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法二：过 M 作 MGBC，交 AB 于点 G（如下图） ，连结 NG 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jMGBC，BC 平面 BCE，MG 平面 BCE，MG平面 BCE 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又 = = ，ABCNFGNAFBE，同样可证明 GN平面 BCE 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jQP NMFEDC

22、BANMG FEDC BA新希望教育培训学校资料心在哪儿 新的希望就在哪儿又面 MGNG=G，平面 MNG平面 BCE 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又 MN 平面 MNG 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jMN平面 BCE。反思归纳证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行 。练习、 如下图，设 a、b 是异面直线，AB 是 a、b 的公垂线，过 AB 的中点 O 作平面 与a、b 分别平行，M、N 分别是 a、b 上的任意两点，MN

23、 与 交于点 P，求证：P 是 MN 的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证明：连结 AN，交平面 于点 Q，连结 PQ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jb，b 平面 ABN，平面 ABN=OQ，bOQ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又 O 为 AB 的中点，Q 为 AN 的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a，a 平面 AMN 且平面 AMN=PQ，aPQ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jP 为 MN 的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j反思归纳本题重点考查直线与平面平行的性质 头

24、htp:/w.xjkygcom126t:/.j考点二：面面平行的判定与性质题型：证明面面平行与面面平行性质的运用例题、 如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q 分别是棱A1A，A 1B1，A 1D1，CB，CC 1，CD 的中点，求证：平面 EFG平面 MNQ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j分析：只要证明平面 EFG 内的两条相交直线 EF，FG 分别与平面 MNQ 内的两条直线 QN 和 MQ平行即可 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法一：由已知 EFAB 1，AB 1DC 1，DC 1QN， EFQN，同理 F

25、GMQ所以，面 EFGMNQ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法二：建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为 2，则 E（0，0，1） ，F（1，0，2） ，G（0，1，2） ，M（2，1，0） ，N（2，2，1） ，Q（1，2，0） =（1，0，1） ，EF=（1，0，1） ， =（ -1，1，0） ，= ， EFQN，FGMQ，EF又 EFFG=F，QNMQ=Q， 所以，平面 EFG平面 MNQ。练习、如图，在四棱锥 P ABCD 中，M,N 分别是侧棱 PA 和底面 BC 边的中点，O 是底面平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点求证：过 O、M、N 三点的平面

26、与侧面 PCD 平行. 证明： O、M 分别是 AC、PA 的中点，连接 OM，则 OM/PC。OM 平面 PCD，PC 平面 PCD，OM/平面 PCB连结 ON，则 ON/AB，由 AB/CD，知 ON/CDON 平面 PCD，CD 平面 PCD，ON/平面 PCD又OMON=O，OM、ON 确定一个平面 OMN由两个平面平行的判定定理，知平面 OMN 与平面 PCD 平行，即过 D、M、N 三点的平面与侧面 PCD 平行。ba PQONBMAQG NMFED1 C1B1A1DCBAxzy新希望教育培训学校资料心在哪儿 新的希望就在哪儿反思归纳 本题考查线线、线面、面面位置关系相互转化的基

27、本能力。若两条相交直线分别与某已知平面平行，则这两条相交直线确定的平面平行于已知平面。（二） 、强化巩固训练1、如下图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线 AB1、BC 1上分别有两点 E、F，且B1E=C1F 求证：EF平面 ABCD 。证法一：分别过 E、F 作 EMAB 于点 M，FNBC 于点 N，连结 MNBB 1平面 ABCD，BB 1AB，BB 1BCEMBB 1，FNBB 1EMFN 又 B1E=C1F，EM=FN故四边形 MNFE 是平行四边形 EFMN 又 MN 在平面 ABCD 中，EF平面 ABCD证法二：过 E 作 EGAB 交 BB1于点 G，连结 GF

28、，则 ABE1=GB 1E=C1F，B 1A=C1B， CF1= FGB 1C1BC 又EGFG=G，ABBC=B，平面 EFG平面 ABCD 而 EF 在平面 EFG 中， EF平面 ABCD【点评】证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行。2、已知正四棱锥 PABCD 的底面边长及侧棱长均为 13， M、 N 分别是 PA、 BD 上的点，且PM MA=BN ND=58。 （1）求证：直线 MN平面 PBC；（2）求直线 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值。（1）证明： PABCD 是正四棱锥， ABCD 是正方形 头htp:/w.xj

29、kygcom126t:/.j连结 AN 并延长交 BC 于点 E，连结PE 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j AD BC， EN AN=BN ND。 又 BN ND=PM MA， EN AN=PM MA。 MN PE。又 PE 在平面 PBC 内， MN平面 PBC。（2）解：由（1）知 MN PE， MN 与平面 ABCD 所成的角就是 PE 与平面 ABCD 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设点 P 在底面 ABCD 上的射影为 O，连结 OE，则 PEO为 PE 与平面 ABCD 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由正棱

30、锥的性质知 PO= = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jBP3由（1）知， BE AD=BN ND=58， BE= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j85在 PEB 中， PBE=60， PB=13， BE= ，根据余弦定理，得 PE= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j89在 Rt POE 中， PO= ， PE= ，sin PEO= = 。213891PEO724故 MN 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 。724NMGFED1 C1B1A1 D CBAPNMED CBAPNMED CBA新希望教育培训学校资料心在哪儿 新的希望就在哪儿【点评】

31、：证线面平行，一般是转化为证线线平行 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j本题若直接求 MN 与平面 ABCD 所成的角，计算困难，而平移转化为 PE与平面 ABCD 所成的角则计算容易 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j可见平移是求线线角、线面角的重要方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当然，也可以建立坐标系，用向量法求角，后面有专门的介绍。3、正方体 ABCDA1B1C1D1中 (1)求证：平面 A1BD平面 B1D1C； (2)若 E、 F 分

32、别是AA1， CC1的中点，求证：平面 EB1D1平面 FBD。证明：(1)由 B1B DD1，得四边形 BB1D1D 是平行四边形， B1D1 BD， 又 BD 平面 B1D1C， B1D1平面 B1D1C， BD平面 B1D1C同理 A1D平面 B1D1C而 A1D BD D，平面 A1BD平面 B1CD(2)由 BD B1D1，得 BD平面 EB1D1取 BB1中点 G， AE B1G从而得 B1E AG，同理 GF AD AG DF B1E DF DF平面 EB1D1平面 EB1D1平面 FBD【点评】 要证“面面平面”只要证“线面平面” ，要证“线面平行” ，只要证“线线平面” ，故

33、问题最终转化为证线与线的平行。3、下列图形中不一定是平面图形的是（ ） 。 D （ A）三角形 （ B）菱形 （ C）梯形 （ D）四边相等的四边形4、下列说法正确的是 。 空间四边形的对角线一定不相交 四个角都是直角的四边形一定是平面图形 两两相交的三条直线一定共面 在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5、若 a，b 是异面直线，则只需具备的条件是（ ） 。 答案：CA.a平面 ，b 平面 ，a 与 b 不平行 B.a平面 ，b 平面 ，=l，a 与 b无公共点.C.a直线 c，bc=A，b 与 a 不相交 D.a平面 ，b 是 的一条斜线（二） 、强化巩固训练2、在棱长为 2 的正方体 中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 、1ABCD 1CAD 的中点，那么异面直线 OE 和 所成的角的余弦值等于( )。 答案 B。FA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 50B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j33、四面体 ABCD 中，E、F 分别是 AC、BD 的中点，若 CD=2AB=2，EFAB，则 EF 与 CD 所成的角等于_。A1AB1BC1CD1DGEF