第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答.doc

1、1第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、1如图所示，设滑块出发点为 ，离开点为 ，1P2P按题意要求 、 与竖直方向1PO2的夹角相等，设其为 ，若离开滑道时的速度为 v，则滑块在处脱离滑道的条件是2P(1)cos2mgRv由机械能守恒(2)1)cos(2vg(1)、(2)联立解得或 (3)54cos25364arcos2设滑块刚能在 O 点离开滑道的条件是（4）mgR20vv0 为滑块到达 O 点的速度，由此得（5）g0v设到达 O 点的速度为 v0 的滑块在滑道 OA 上的出发点到的连线与竖直的夹角为 ，由机械能守恒，有1 （6）2001)cos(vmmgR由（5） 、 （6）两

2、式解得（7）30若滑块到达 O 点时的速度 ，则对 OB 滑道来说，因vO1O2OABP1P22O 点可能提供的最大向心力为 mg，故滑块将沿半径比 R 大的圆周的水平切线方向离开 O 点对于 的滑块，其在0vOA 上出发点的位置对应的 角必大于 ，即 ，由于，根据机械能守恒，到达 O 点的最大速度2max（8）Rgmax2v由此可知，能从 O 点离开滑道的滑块速度是 v0 到 之间所max有可能的值，也就是说， 从 至 下滑的滑块都将在 O32点离开滑道以速度 v0 从 O 点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至 的距离2O（9）tx0v（10）21gR由（5） 、 （9） 、 （10）式得

3、（11）x20当滑块以 从 O 点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到maxv的距离2O（12）txmaxv由（8） 、 （10） 、 （12）式得（13）Rxma2因此，凡能从 O 点脱离滑道的滑块，其落水点到 的距离2O在 到 之间的所有可能值即R2（14）Rx23二、1由静电感应知空腔 1、2 及 3 的表面分别出现-电量为 、 和 的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导q23q体球的外表面呈现出电量 由静电屏蔽可知，点电321q荷 q1 及感应电荷（ ）在空腔外产生的电场为零；点电荷1qq2 及感应电荷（ ）在空腔外产生的电场为零；点电荷 q32及感应电荷（ ）在空腔外产生的电场为零因此，在导

4、3q体球外没有电荷时，球表面的电量 作球对称分布321q当球外 P 点处放置电荷 Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为 ，但这些电荷在球面上不再均匀分布，321q由球外的 Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零O3 处的电势由位于 P 点处的 Q、导体球表面的电荷及空腔 3 表面的感应电荷（ ）共同产生无论21q 3q在球面上如何分布，球面上的面电荷到 O 点的距离3都是 R，因而在 O 点产生的电势为 ， Q 在 O 点产Rqk321生的电势为 ，这两部分电荷在 O3 点产生的电势 与它们Qk2 U在 O 点产生的电势相等，即有 RqQkRqkU2231321（1）因

5、 q3 放在空腔 3 的中心处，其感应电荷 在空腔 3 壁上均3q匀分布这些电荷在 O3 点产生的电势为4(2)rqkU3根据电势叠加定理，O 3 点的电势为(3)rqRqQk321故 q3 的电势能(4)rqRqkUqW32132 由于静电屏蔽，空腔 1 外所有电荷在空腔 1 内产生的合电场为零，空腔 1 内的电荷 q1 仅受到腔内壁感应电荷的静电力作用，因 q1 不在空腔 1 的中心 O1 点，所以感应1q电荷 在空腔表面分布不均匀，与 q1 相距较近的区域电荷面密度较大，对 q1 的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q 1 最后到达空腔 1 表面，与感应电荷 中1q和同理，空腔

6、 2 中 q2 也将在空腔表面感应电荷 的静电2力作用下到达空腔 2 的表面与感应电荷 中和达到平衡2q后，腔 1、2 表面上无电荷分布，腔 3 表面和导体球外表面的电荷分布没有变化O 3 的电势仍由球外的电荷 Q 和导体球外表面的电量 及空腔 3 内壁的电荷 共同产生，21q 3q故 O3 处的电势 U 与 q3 的电势能 W 仍如(3)式与(4) 式所示三、答案如图所示5附计算过程：电阻通电后对气体缓慢加热，气体的温度升高，压强增大，活塞开始有向外运动的趋势，但在气体对活塞的作用力尚未达到外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和以前，活塞不动，即该过程为等容过程因气体对外不做功，

7、根据热力学第一定律可知，在气体温度从 T0 升高到 T 的过程中，气体从电阻丝吸收的热量， (1)0TCQ此过程将持续到气体对活塞的作用力等于外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和若用 T1 表示此过程达到末态的温度，p 表示末态的压强，Q 1 表示此过程中气体从电阻丝吸收的热量，由等容过程方程有abdQTT0 SpCFTQ01001SpFTtan2= FRSpCSp0021tan12601Tp(2)由力的平衡可知(3)FSp0由（2） 、 （3）两式可得(4)SpTFT01代入(1)式得(5)SpCFTQ01由以上讨论可知，当 时，T 与 Q 的关系为1(6)0CQ在 图中为一直

8、线如图中 所示，其斜率QTab(7)CKab1直线在 T 轴上的截距等于 T0，直线 ab 的终点 b 的坐标为（T 1，Q 1） 当电阻丝继续加热，活塞开始向外运动以后，因为过程是缓慢的，外界大气压及摩擦力皆不变，所以气体的压7强不变，仍是 p，气体经历的过程为等压过程在气体的体积从初始体积 V0 增大到 V，温度由 T1 升高到 T 的过程中，设气体从电阻丝吸收的热量为 ，活塞运动过程中与器壁Q摩擦生热的一半热量为 q，由热力学第一定律可知(8)01VpTCq 可由摩擦力做功求得，即(9)SVFq021代入（8）式得(10)0102VpTCSVFQ由状态方程式可知(11)10TRVp将（1

9、1）式和（4）式代入（10）式，得 102TFSpRCQ即（12）10022TQFRSpCSpT从开始对气体加热到气体温度升高到 T( T1)的过程中，8气体从电阻丝吸收的总热量（13）Q1把（13）式代入到（12）式，并注意到（4）式和（5） ，得 SpCFTQSpTFCTQFRSpCSpT 01000022（14）由此可知，当 时，T 与 Q 的关系仍为一直线，此SpFQ01直线起点的坐标为 ， ；斜率为C011T（15）FRSpSp0022在 图中，就是直线 bd，当热量 Q 从零开始逐渐增大，QT气体温度 T 将从起始温度 T0 沿着斜率为 Kab 的直线 上升ab到温度为 T1 的

10、b 点，然后沿着斜率为 Kbd 的直线 上升，d如图所示四、1相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度 v 趋向光源 S 运动由 S 发出的光经小孔射出后成锥r RlLS9形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大若距 S 的距离为 L 处光束的横截面正好是半径为 R 的圆面，如图所示，则有LRlr可得(1)rl设想车厢足够长，并设想在车厢前端距 S 为 L 处放置一个半径为 R 的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住此时，在车厢参考系中挡板离光源 S 的距离就是 L在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为(2)21cxAv故出

11、现挡板完全遮住光束的时刻为(3)vLcxtA21由（1） 、 （3）式得(4)vrRlcxtA212相对于地面参考系，光源与车厢以速度 v 向挡板运动光源与孔之间的距离缩短为(5)2c1vl而孔半径 r 不变，所以锥形光束的顶角变大，环到 S 的距10离即挡板完全遮光时距离应为 (6)21crRlLv初始时，挡板离 S 的距离为 xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为(7)21crRlxLtAvv五、用半径分别为 r1（a 1） ，r 2，r i，r n1（ a2）的 n-1 个同心圆把塑料薄圆环分割成 n 个细圆环第 i 个细圆环的宽度为 ，其环带面积1iiriiiiir2S2式中已略去高阶小量 ，该细圆环带上、下表面所带电)(i荷量之和为 iiiii rrSq42200设时刻 t，细圆环转动的角速度为 ，t0单位时间内，通过它的“横截面”的电荷量，即为电流 iii rqI20由环形电流产生磁场的规律，该细圆环的电流在环心产生的磁感应强度为20riiikrIB