第二节 运用数形结合思想解题的策略.doc

1、客服热线：025-68801918、68801919 - 1 - 学科王教育资源网第二节 运用数形结合思想解题的策略数形结合思想通过“以形助数，以数解形” ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越.考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证

2、的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主.”考试要求 展望 2011 年高考考查数形结合思法，可能会与以下内容为载体来命题：函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.题型一 数形结合在函数与方程中的应用例 1.已知 0a且 1,试求使方程 )(logakx22log()ax有解的实数 k的取值范围.点拨:利用对数相等的意义,同时构造两个函数,通过函数的图象有没有交点进而得出方程有没有解,从而确定出 k的取值范围.解：

3、原方程等价于 0xa2构造曲线 2:Cy,直线 :lyk从而使问题转化为直线 l和双曲线2:xa( ) 在 x轴上半部分有交点，求实数 k的取值范围,如图 8-2 所示：有三条临界直线 1l、 2、 3l当 l在 和 之间时，直线 在 y轴上的截距ak满足 0ak时， l与 C有一个交点，解之可得 1当 l在 3上方时，直线 l在 y轴上的截距 ak满足xyol3l2l1图 8-2客服热线：025-68801918、68801919 - 2 - 学科王教育资源网ak时, l与 C有一个交点，解之可得 1k学科王综合可得，所求 k的取值范围是 0或易错点: 解方程时很可能扩大 x的取值范围,另外

4、数形结合不会利用双曲线渐近线.变式与引申 1:求函数 2|1ya的值域.题型二 数形结合在不等式中的应用学科王例 2.若不等式 24()xk的解集为区间 ,b,且 1a,学科王则 k .点拨：通过数形结合的思想把一个解不等式的问题转化为求一条直线与半圆何时有交点.解：令 214yx, )1(xky.其示意图如图 8-3:若 0k,要满足 21,则 b,此时 a.从而 31.若 0k,要满足 21y,则 a.则 1ab,从而 不存在.易错点：如不能联想到直线与圆的图象,则思维很容易受阻.变式与引申 2：已知函数 1()lg()2xfx有两个零点 21,x，则有（ ）A. 01x B. 1 C.

5、D. 102x题型三 数形结合在平面向量中的应用例 3.在 ABC中， 4,3A， G 为外心，求 ABC的值.点拨:结合图形，利用平面向量基本定理和平面向量的三角形法则解题.解：如图 8-4 所示， ABA11()()22AGBCGCGB设 的中点为 O，则 O，且客服热线：025-68801918、68801919 - 3 - 学科王教育资源网0GOBC11(2)()2AAGOBCABC27( .易错点：不能将表示成 )2，不能发现 GO与 的垂直关系.变式与引申 3：（1）如图 8-5， MAB，点 P在由射线 M、线段 B及 A的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且 Oxy,则

6、x的取值范围是 ；当 2x时, y的取值范围是 .（2）如图 8-6， AB是半圆 O的直径， CD、 是 AB三等分点， MN、 是线段 AB的三等分点.若 6,则 MN的值是（ ）A.34 B.26 C.10 D.2题型四 数形结合在解析几何中的应用例 4.求函数 22148yxx最小值.点拨：由题意可知，函数的定义域为 R，若从代数角度考虑，确实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决解： 222222148010yxxx令 (0,)A,B, (0)P 则问题化为:在 x轴求一点 ,x,使得 BPA取最小值CA OM BND图 8-6客服热线：025-688019

7、18、68801919 - 4 - 学科王教育资源网A关于 x轴的对称点为 AminPB1320易错点：如果用代数方法（如两边平方等）去求解问题，往往会陷入其中，不得其解.而将代数问题几何化则使问题变得容易解决.变式与引申 4： 已知 1230x，则 21log(),xa2log(),xb23log()xc的大小关系是（ ）.A. bac B. abc C. abc D. cab本节主要考查：数形结合思想一方面考查学生对数学的符号语言、图形语言的理解能力，另一方面考查学生的构图能力以及对图形的想象能力、综合应用知识等能力.学科王点 评:（1）数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研

8、究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法,它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化,“数缺形时少直观，形少数时难入微” ，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.学科王（2）函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数” ，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形” ，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.（3）在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题.用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果， “数形

9、结合千般好，数形分离万事休”.（4）是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的.xyA(0,1)B(2,2)图 8-7客服热线：025-68801918、68801919 - 5 - 学科王教育资源网习题 8-21.若 1|2xa对一切 0x恒成立，则 a的取值范围是（ ）.A. B. 32a C. 1a D. 12a2.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 不 等 式 组 0xya,（ 为 常 数 ） 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 是 4， 则yx2的最小值为 .3.函数 ()()nfaxg在区间0,1上的图像如图所示，则 n 可能是（A）

10、1 (B) 2 (C) 3 (D) 44.已知 (1,)A为椭圆2195xy内一点， 1F为椭圆左焦点 ,P为椭圆上一动点，求PF1的最大值和最小值.5. 已知不等式组 nxy209所表示的平面区域为 Dn,记 D 内的整点个数为)(Nna（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）.（1）数列 na的通项公式 na；（2）若 S21，记 nnST201736，求证： 221nT .客服热线：025-68801918、68801919 - 6 - 学科王教育资源网【答案】变式与引申 1:解：21()()xaxyf213()()4xax（1）当 12时，如图 1 知 3()24yfa（2）当 a时，如图

11、 2 知 21（3）当 时，如图 3 知， ()yf综上所述：当 12时，值域为 ,4a当 12a时，值域为 2)当 时，值域为 3,变式与引申 2： 解：函数 1()lg()xfx的两个零点 21,x，即方程 ()0fx的两根，也就是函数 |ly与 2x的图象交点的横坐标，如图易得交点的横坐标分别为 ,1显然 ,1,021x，则 21lg21xx,2l 2111xxx ，故选 D.变式与引申 3：（1）提示：由向量加法的平行四边形法则， OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以 B和 A的反向延长线为两邻边,客服热线：025-68801918、68801919 - 7 - 学科王教育资源网

12、x的取值范围是 (,0).当 21时，要使 P点落在指定区域内，即 P点应落在 DE上， 12COB，3CEOB， y的取值范围是 13(,)2.点评：平面向量经常和平面图形结合到一块，利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的平面向量基本定理处理实际问题.（2）B 提示： ,MDONC,()()NCMOCDNOC 00002cos1826cos26cos6cos26，故选 B变式与引申 4：C 提示：画出函数 2()lg()fx的图像， ,abc分别表示图像上的三点 13,()fxf与原点连线的斜率，有图像可知 abc，故选 C习题 8-21.A 提示：设函数 1()|,()2fxagx，作出

13、两个函数在 0x上的图像易知a的取值范围是 2a2. 14 提示：易知 0， 如 图 所 示 ， 画 出 不 等 式 组 0xya表 示 的 平 面 区 域 ，得 22a，令 2zxy，即yxz当抛物线 2与直线 0xy相切时， z最小联立 0yxz，得 2z， xy x-y=0x+y=0x=aOxyO-11x3 x2 x1客服热线：025-68801918、68801919 - 8 - 学科王教育资源网min11404z此时 ,2xy 3. 答案:A【解析】代入验证，当 1n时， ()()fxaxg，则()fxax，由 可知， 12,3x，结合图像可知函数应在 0,3递增，在 ,13递减，即

14、在 3x取得最大值，由()()fag，知 a 存在.故选 A.4.提示：由 1592yx可知 3, 5b, 2c，左焦点 1(2,0)F,右焦点 2(,0)F，由椭圆定义， 1226PFaPF, 2AAPF如图,由 22)10()2(知 2PAF当 在 2延长线上的 处时，取右“=”号；当 在 的反向延长线的 1P处时，取左“=”号.即 2PAF的最大、最小值分别为 2,于是 1的最大值是 6,最小值是 6.5.解：（1）当 07,x，2008 时，分别有 n,207,8 个整点,故 nnan 21382（2） naS1 )(6客服热线：025-68801918、68801919 - 9 - 学科王教育资源网20173621()nnTSn易得： 21nT