1、第十四 章 贝塞尔函数 柱函数(13)一、内容摘要1 阶 Bessel 方程：m（1） 22 0xyxmy由幂级数解法可解的其一个特解为：21021!nnmnyxcx另一个特解为：22021.!nnmnyxbxBessel 方程的通解可以表示为：12vyCJx其中 称为 阶 Bessel 函数。易知，Bessel0!kkkJx方程的级数解的收敛范围为 0x（2） 12ml ， ，这时方程的第一个特解为：0, l21/40yxyx；第二个特解为：112sin.yxJ21 112 22l cos.kkAxbxJx1/2 阶的 Bessel 方程的通解可以表示为： 1212yCJx 不为零时，方程的
2、解为：l1212llyxCJxJx（3） 1 23m， ， ，此时 Bessel 方程为 ,这时方程的第一个特解为：21/0ymxyx210!mkkmkyxJ可以证明方程的第二个特解可以选作 Neumann 函数：，因此，整数阶 Bessel 方程的通解为：22ln.mmxyxNCJ12JN通常, Bessel 函数又称作第一类柱函数，Neumann 函数又称作第二类柱函数；并且定义第三类柱函数或 Hankel 函数如下：12vvvHxJixN并称 为第一种和第二种 Hankel 函数。12,vv2Bessel 函数的母函数与积分表示母函数：12sin; 0.xzmmxieJxze积分表示：s
3、incos11cosin22 .xmmixiJxedxmdi 3递推公式用 表示一般 Bessel 函数，则有：Z1,/.vvvvvdxZx1112,/0.vvvxZx4Bessel 函数的正交关系与模用 Bessel 函数展开正交性：00 22 mmnmlnlnnJdNN用 Bessel 展开：012nmnn nffJdN二、习题1填空题（1）设 为 阶 Bessel 函数，则 _JxnndxJ（2） 0_.d2计算下列积分（1） （2） 0cosxJdx 0sinxJdx（3） （4） 30 00axbe3证明（1） 021cosmxJJx（2） nmnyy（3） 12()siJxx4已知
4、 ，求 1122()in,()cosJxx52J5 将函数 在区间 上按正交函数系 展成 Fourier)(f,0(1)m级数。6利用递推关系证明：（1） 2001JxJx（2） 3004三、参考答案1填空题（1） 1()nxJ（2） C2解：（1）先分部积分：00001coscoscosinx xxJdJJxd 由递推关系： ，所以上式右端积分中的被积函数10=dxJ101cossin=sindxJxJxJx由此即得： 010coid（2）同样先部分积分：00001sinsinsincox xxJdJJxd 又因为： 101sincossxJxJJxd所以， 001iincodx（3）根据递
5、推公式： 和 得：1mmJJx10J32320113210003211044JxdxdJJxxC（4）代入 的积分表示式：J2sin002si1axbxIed因为上述无穷积分绝对收敛，而且对 是一致性收敛的，所以可以交换积分次序，故有：2220022211sinsin1dabI dabab3证明：（1）令 ，则 ，由 可得 ，即：ti12xtixe12xt neJxtixneJi101012210 21021cosinnnnnnnmmmxJiixJxJixJxJiJxixJxi对比上式的实部，于是得： ，证毕。 021cosmJx（2）由贝塞尔函数的生成函数：exp21kkllltJxtytt
6、两式相乘，1exp2nnlkklkl nknknytJxyttJxyt根据洛朗展开的唯一性，比较系数，即得：，证毕。nmnJxyJxy（3） kkxJ202121 )(1(!)(1k122k0()()()!kxxkxk20k12!)(!)(21k0 !()!kx21k02()!kx 证毕。sin x4解： 根据递推公式 ,取 ,得)(2)()(11xnJJnn 21xxJxJ cosi2)(1)(21223 再次利用递推公式, 取 ,得3n= )(3)(21225xJxJ xcos3sin)1(25解： 由于 在区间 上连续且具有一阶连续导数，由定理得f,0,1)1(2)(mJAf其中 (1)
7、20(1)4mmmAJdJ.(1)20(1)2mm令 ，则有2)1(mx(1)21230(1)8()mmxAJdJ(1)20(1)3(1)4mmx(1)20(1)3(1)mJJ.()22(1)14m故所求展开式为.(1)(1)22(1)4mmJ6证明：（1） 在 中取 得 1()().nndxJxJ0n，0由此可得 01()().Jx和 两式相减可得2)()(11nxJnn )(2xJnnn 1()nnJx在上式中取 ，并将前面所得结果代入即得所要结果，证毕。（2）我们可以利用上题的部分结论进行证明。由 式有11()()2()nnnJxJx，对 两边求导后再代入102()JxJx01()()Jx得： ，由此式可02Jx得：0021133()2=4JxJxJxJx故： ，证毕。30031134 40JxJxJx
