1、第十讲 数的整除性数的整除具有如下性质：性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48 能被 16整除，16 能被 8整除，那么 48一定能被 8整除。性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21 与 15都能被 3整除，那么 2115 及 21-15都能被 3整除。性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126 能被 9整除，又能被 7整除，且 9与 7互质，那么 126能被 9763 整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整
2、除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是 0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被 2整除。（2）一个数的个位数字如果是 0或 5，那么这个数就能被 5整除。（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被 3整除，那么这个数就能被 3整除。（4）一个数的末两位数如果能被 4（或 25）整除，那么这个数就能被 4（或 25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被 8（或 125）整除，那么这个数就能被 8（或 125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被 9整除，那么这个数就能被 9整除。其中（1）（2）（3）
3、是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。因为 100能被 4（或 25）整除，所以由整除的性质 1知，整百的数都能被 4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质 2知，只要这个数的后两位数能被 4（或 25）整除，这个数就能被 4（或 25）整除。这就证明了（4）。类似地可以证明（5）。（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。837800307810031078（991）3（91）789983937（89939）（837）。因为 99和 9都能被 9整除，所以根据整除的性质 1和性质 2知，（8x993x9）
4、能被 9整除。再根据整除的性质 2，由（837）能被 9整除，就能判断 837能被 9整除。利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以 4，8，9 的余数：（4）一个数除以 4的余数，与它的末两位除以 4的余数相同。（5）一个数除以 8的余数，与它的末三位除以 8的余数相同。（6）一个数除以 9的余数，与它的各位数字之和除以 9的余数相同。例 1 在下面的数中，哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？哪些能被 9整除？234，789 ，7756，8865，3728 ，8064。例 2 在四位数 562 中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被 9，8 ，4 整除？例 3 从 0，2，
5、5 ，7 四个数字中任选三个，组成能同时被 2，5 ，3 整除的数，并将这些数从小到大进行排列。例 4 五位数 能被 72 整除，问：A 与 B 各代表什么数字？例 5 六位数 是 6 的倍数，这样的六位数有多少个？例 6 要使六位数 能被36 整除，而且所得的商最小，问 A， B， C 各代表什么数字？练习十16539724 能被4，8 ，9 ，24，36，72 中的哪几个数整除？2个位数是 5，且能被 9 整除的三位数共有多少个？3一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是 6，并且它们既能被 2 整除又能被 3 整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？4五位数 能被 12 整除，求这个五位数。5有一个能被 24 整除的四位数23，这个四位数最大是几？最小是几？6从 0，2，3 ，6，7 这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8 整除的没有重复数字的四位数？7在 123 的左右各添一个数码，使得到的五位数能被 72 整除。8学校买了 72 只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是67.9元，你知道每只小足球多少钱吗？
