证明 学案.doc

1、- 1 -4.2 证明（2） 学案金东实验中学 朱群芳 13575950382【学习目标】1、进一步体会证明的基本步骤和书写格式；2、探索并理解三角形内角和定理的几何证明；3、通过一些简单命题的证明，训练学生的逻辑推理能力；【学习的重点、难点】重点：探索三角形内角和定理的证明，进一步掌握证明的方法和表述；难点：证明的基本步骤和书写格式，由合情推理到演绎推理的转化.【学习过程】一、复习回顾：（证明的一般格式和表述）（1）求证：全等三角形对应边上的高相等。（2）根据上述题目回顾证明一个命题的一般格式： ； ； 。二、课前预习 1、 （1）三角形的 3 个内角和等于 ；（2）直角三角形的两个锐角 ；

2、（3）三角形的一个外角等于 ；2、在ABC 中，AB=120 0，C=A，则ABC 是( )A.钝角三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形3、下列叙述中正确的是( )A.三角形的外角等于两个内角的和 B.三角形的外角大于内角 C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和 D.三角形每一个内角都只有一个外角。4、 实验 1：先将三角形纸片一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(如图 1)，然后把两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合，(如图 2、3，最后得到图 4)所示的结果，从中，你发现了什么？实验 2：将三角形纸片三顶角剪下来，随意将它们拼凑在一起，你发现了什

3、么？5、如图，P 是ABC 内一点，求证：BPCA。【方法点拨】实验 1、2 实质是借助拼图实践，为定理的证明铺垫了基本思路把 3 个角“搬”到一起，利用平角的定义来证明，同时使添加辅助线有必要、有意义，由于学生经(4)(3)(2)(1) CA BCA BCA BCBA PCBA- 2 -历了“直观判断不可靠” 、 “直观无法做出确定的判断” ，所以实际教学中，学生对三角形 3个内角和结论的正确性需要确认，也就是证明.三、新课(一)、情境创设：1、三角形三个内角的和等于多少度？2.你是如何知道的？这个结论正确吗(二)、探索活动：1.如何证明三角形内角和等于 180？2.你有没有办法在平面图形中

4、把三角形的三个内角“搬”到一起？3.你还有没有其他的办法把三角形的三个内角“搬”到一起？【方法点拨】：添加辅助线，实质是构造新图形；辅助线起到桥梁的作用，架起了条件和结论之间的“桥” ，几何证明中辅助线一般用虚线表示。通过证明我们现在对三角形内角和等于 180不再产生怀疑了，于是得到：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180.3、思考：如图， 是ABC 的一个外角， 与ABC 的内角有怎样的大小关系？三角形内角和定理的推论： ； .4、练习：（1）在ABC 中，以 A 为顶点的一个外角为120，B15， 求C 的度数。（2）如图，比较1 与2+3 的大小，并证明你的判断。AB C- 3

5、 -（三） 、例题讲解例、已知：如图，AD 是BAC 的角平分线，BCAD 于点O，ACDC 于点 C。求证：（1）ABC 是等腰三角形；（2）D=B。例 2、如图，已知，ABCD，直线 EF 分别交 AB、 CD 于点 E、F，BEF 的平分线与DFE 的平分线相交于点 P，求证：P90例 3、如图 1，ABCD，（1）A、P 、C 三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.（2）如果将 P 点向右移，如图 2， ABCD，此时A、P、C 三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.CPDBA EF12图1A BC DP图2A BC DP- 4 -【方法点拨】：添加辅助线，构造基本图形利用

6、基本图形解题。例 4、 如图，在ABC 中，BE 平分ABC ，CE 平分ACD ，BE 、 CE 相交于点 E（1）若A=90，求E 的度数；（2）若A=x,求E 的度数；（3）证明：E A21（四） 、归纳小结：1、本节课你学到了什么？最大的收获是什么？2、教师做补充：三角形内角和定理的证明方法作平行线法；常用的几何证明方法：由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路分析法。（五） 、随堂练习（1）基础训练1、三角形的三个内角中，最多 个锐角，最多 个直角，最多 个钝角；2、在ABC 中，（1）C=90，B=30 则A= ；（2）A=100，B=C，则B= ；(3)若ABC 中的三个

7、内角度数之比 2：3：:4，则相应的外角之比为 ；（4）在ABC 中，AB=36，C=2 B，则A= B= C= ；3、图 1，AC 是ABD 的外角EAD 的平分线，B=30，CAE=65那么ADC= 4、如图 2，1+2+ 3+ 4= ；5、如图 3，在ABC 中，A：ABC：ACB=3：4：5，BD,CE 分别是 AC、AB 上的高，BD,CE 相交于点 H，则BHC= ；6、如图，AB 与 DE 相交于点 E，D= B+ E，试判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由。EB DCA4 321图3图2图1EB CD B CAADE- 5 -7、如图，已知正方形 ABCD 中，E 是对

8、角线 BD 上的一点，过点 F 作 EFBD 交 BC 于点F，连线 DF，点 G 为 DF 的中点，连接 EG,CG；求证：EG=CG；8、如图，AC、AD、BE、EC、BD 五条线段构成的图形，点 C 是线段 BD 上的一点，求证： A+ B+ACE+D+ BEC=180（2）拓展延伸9、如图，已知B=67，ACB=74，AED=48 求BDF 的度数。10、如图，ABC 的三条高 AD、BE、CF 交于点 O，求1+2+3 的度数？- 6 -（3）能力提高11、已知：如图，D 是ABC 内的任意一点求证：BDC1A212、如上图，ABC 和ACD 的平分线交于点 O，（1）若A=70，求

9、BDC= ； （2）若BDC=120,求A 的度数；（3）若A=n，求BDC 的度数；13、如图，BE、CE 分别平分ABD，ACD ，猜想A 、 D、E 之间的关系，试说明理由；课后练习答案：1、3；1；1；2、60；40；7:6:5；A=72，B=36， C=72；3、80；4、360；5、135；6、 CDAB证明：7、证明：由题意得：8、证明：令 AC 与 BE 的交点为 FBFC=BEC+ACEDCBA1 2FECGEDF21,90为 中 点 ；- 7 -ACB=A+DA+B+ACE+D+BEC=BFC+ACB+B=1809、BDF=87；10、1+2+3=90 ；11、证明：BDC

10、=180-(DBC+DCB)=180-(180-(A+1+2)= A+1+212、BDC=125;A=60;；209nBDC13、 2E=D+A证明：由第 11 题：D=A+ABD+ACDE=A+ (ABD+ACD)= A+ (D-A)= (D+A)121212E=D+A【教学反思】：1. 在情景引入前，安排了课前预习模块，预习中的两个实验，学生能通过折叠、拼接等方式完成对三角形内角和的关系的了解，为合作学习中的多种探究证明做了模型铺垫；2. 合作学习中的关注过程性还是有些欠缺，自己感觉整个过程性教学有些伧俗了，过程教学是我以后要注意的要提高的一个环节。3. 本节课着重培养学生掌握推理证明的基本要求，如明确前提和结论，能够用数学的符号语言正确表达；明确每一步推理的依据并能准确地表达推理的过程。因需要通过一定数量的推理证明的训练，逐步使学生掌握证明方法和思路，所以自己预设的例题可能会有点多，时间关系，最后一个例题讲解中，为学生对证明思路和方法的思考没有留充分空间，这点也是有些欠缺；4. 自己改编了一些题型，作业分成三个模块，也是尊重学生的个体差异的需要，对学习证明有困难的学生给予尽自己所能的帮助和指导。