1、1运用分类讨论思想，解决排列组合问题 河南省新乡市第一中学 453100 吴 磊排列组合问题是历年高考的必考点，求解这类问题往往有多个不同的思路，若选择方法得当，求解过程简单，容易让人接受；否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”等错误因此，排列组合问题是高中数学的难点之一。本文试图从分类讨论思想方法出发，给出解决这些问题的一个有效方法，有效避免出现“重复”和“遗漏”等错解一、解决站位问题1、有 5 名男生，4 名女生排成一排，要求甲男生不站在排头，乙女生不站有排尾，则不同的排法有多少种？解析：将排法分成两类：一类是甲站在排尾，其余的可全排，有 种排法；另8A一类是甲既不排尾又不站在排头有 种站法
2、，乙不站在排尾而站在其它位置，其余的17A可全排，有 种排法，故不同的排法共有 287280 种.717A 8A7172、 （08 年辽宁卷）一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有（ ）A24 种 B36 种 C48 种 D72 种解析：按题目要求分成两类解决，第一道工序安排甲，第四道工序安排丙，安排方案有 ；第一道工序安排乙，第四道工序安排甲或丙，安排方案有124种方案，共计 12+24=36 种不同的安排方案故应
3、选择 B 选项24A二、解决染色问题3 （2003 年全国高考题）如图所示，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？解析：依题意至少要用 3 种颜色,当先用三种颜色时，区域 2 与 4 必须同色，区域3 与 5 必须同色，故有 种；34A 243 1 52当用四种颜色时，若区域 2 与 4 同色，则区域 3 与 5 不同色，有 种；若区4A域 3 与 5 同色，则区域 2 与 4 不同色，有 种，故用四种颜色时共有 2 种由加A法原理可知满足题意的着色方法共有 +2 =24+2 24=72344如图， 6 个
4、扇形区域 A、B、C、D、E、F，现给这 6 个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有 4 种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？解析：（1）当相间区域 A、C、E 着同一种颜色时，有 4 种着色方法，此时，B、D、F 各有 3 种着色方法，此时，B、D、F 各有 3 种着色方法故有 种方4108法（2）当相间区域 A、C、E 着色两不同的颜色时，有 种着色方法，此时234CAB、D、F 有 种着色方法，故共有 种着色方法.3234A（3）当相间区域 A、C、E 着三种不同的颜色时有 种着色方法，此时 B、D、F34各有 2 种着色方法。此时共有
5、 种方法.3419故总计有 108+432+192=732 种方法.5将一个四棱锥 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点SBD异色，如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解析：满足题设条件的染色至少要用三种颜色.(1) 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种涂 A、B、C、D 四点，此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色，故有种方法；125460C(2) 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种染 A 与 B，由于 A、B 颜色可以交换，故有 种染法；再从24A余下的
6、两种颜色中任选一种染 D 或 C，而 D 与 C，而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有 种方法；12540(3) 若恰用五种颜色染色，有 种染色法,512A综上所知，满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种.三、解决“多面手”问题6现有翻译 8 人，其中 3 人只会英语，2 人只会日语，还有 3 人英语、日语都ABCDEF3会，现从这 8 人中选取 3 名英语、2 名日语翻译，有多少种不同的选法？解析：按选择只会日语的翻译人数进行分类，若从 2 人中选 2 名日语翻译，有 种选法；362C若从 2 人中选 1 名日语翻译，有 种选法；51若从 2 人中不选日
7、语翻译，有 种选法；342故共有 + + =92 种不同的方法.36C3512四、解决数字问题7.用 0，1，2，3，4 这五个数字可组成多少个没有重复数字且是 3 的倍数的三位数？解析：构成 3 的倍数的三位数，各个位上数字之和是 3 的倍数，将0，1，2，3，4 按除以 3 的余数分成 3 类，按照取 0 和不取 0 分类：取 0，从 1 和 4中取一个数再取 2 进行排列，先填百位 ，其余任意排 ，故有 种；不取 0，12A2A21则只能取 3，从 1 和 4 中再任取一类，再取 2，然后进行全排列为 ，所以共有3+ =8+12=20 个三位数.21A五、解决几何计数问题8四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（ ）A150 种 B147 种 C144 种 D141 种解析：从 10 个点中任取 4 个点有 种取法，其中 4 点共面的情况有三类。第410一类，取出的 4 个点位于四面体的同一个面内，有 种；第二类，取任一条棱上的63 个点及该棱对棱的中点，这 4 点共面，有 6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱） ，它的 4 个点共面，有 3 种以上三种情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有 （种） 136C10
