数学建模流感问题模型.doc

1、摘要甲型 H1N1 流感为急性呼吸道传染病，其病原体是一种新型的甲型 H1N1 流感病毒，在人群中传播。与以往或目前的季节性流感病毒不同，该病毒毒株包含有猪流感、禽流感和人流感三种流感病毒的基因片段。人群对甲型 H1N1 流感病毒普遍易感，并可以人传染人，但是要提醒大家的是甲型 H1N1 流感是可防、可控的。只要积极作好预防，也是比较安全的。目前预防甲型 H1N1 流感 的疫苗已投入使用。本论文通过建立甲流传染模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来，如何处理潜伏期等等问题。甲型 H1N1 流感问题的研究一模型假设.在甲流传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流

2、动等种群动力因素。总人口数 N(t)不变，人口始终保持一个常数 N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为 s(t)，表示 t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为 i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；潜伏期者（incubation） ，其数量比例为q(t),表示在 t 时刻，染病但未被发现、可感染、不可治愈，在潜伏期之后变为感染病者；恢复者(Recovered)，其数量比例记为 r(t)，表示 t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病

3、者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。 ）占总人数的比例。.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数 ，感染者的日接触率（每个感染者每天有效接触的平均人数）为 ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数 ，显然平均传染2期为 1 ，传染期接触数为 =。二模型构成在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：在假设 1 中显然有：s(t) + i(t) + r(t)+q(t) = 1对于病愈免疫的移出者的数量应为（1 ）rtdNi不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别 rtdNiSIR 基础模型用微分方程组表示如下：（2

4、） 22ditsdrt1()()qisiqsiksq上述（2）方程无法求出 s(t) ， i(t)的解析解，我们先做数值计算。三数值计算在方程（2）中设 =2，=0.4，i （0）= 0.01，s （0 ）=0.99 ，用 MATLAB 软件编程：function y=ill(t,x)a=0.91;b=0.4;c=1.1;d=1;y=d*x(3)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)-c*x(2)*x(3),(a-d)*(x(2)*x(1)+x(3)*x(2);ts=0:50;x0=0.02,0.98,0.18;t,x=ode45(ill,ts,x0); t,x;plot(t,x(

5、:,1),r,t,x(:,2),g,t,x(:,3),b);legend(病人,康复者,潜伏期者);pauseplot(x(:,2)+x(:,3),x(:,1);title(病人，潜伏期感染者与康复者相轨线);,四相频线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解 i（t）,s（t）的性质。D = （s，i ）| s0，i0 ， s + i 1在方程（2）中消去 并注意到 的定义，可得td（3）1isd 0|si所以： （4）i sd 00i1ssd利用积分特性容易求出方程(3)的解为： （5）001()lnsisi在定义域 D 内 ,(4)式表示的曲线即为相轨线,如图 3 所示.

6、其中箭头表示了随着时间 t 的增加 s(t)和 i(t)的变化趋向下面根据(1),(5)式和上图分析 s(t),i(t)和 r(t)的变化情况(t时它们的极限值分别记作（ , s和 ).ir1. 不论初始条件 s0,i0 如何 ,病人消失将消失,即： 0i2.最终未被感染的健康者的比例是 ,在(5) 式中令 i=0 得到, 是方程001lnssi在(0,1/)内的根 .在图形上 是相轨线与 s 轴在(0,1/)内交点的横坐标3.若 1/,则开始有 ，i(t)先增加 , 令 =0，可得当 s=1/ 时,i(t) 达0s1isdo 1isd到最大值： 001ln)misi（然后 s1/(即 1/s

7、0)时传染病就会蔓延 .而减小传染期接触数 ,即提高阈值 1/ 使得 1/(即0s 0s 1/ ),传染病就不会蔓延( 健康者比例的初始值 是一定的, 通常可认为 接近 1)。0s0s并且,即使 1/,从(19),(20)式可以看出, 减小时, 增加(通过作图分析), 降低,也控制了蔓0s mi延的程度.我们注意到在 = 中,人们的卫生水平越高 ,日接触率 越小;医疗水平越高,日治愈率 越大,于是 越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.从另一方面看, 是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义1/s是一病人被 个健康者交换.所以当 即 时必有 .既然交换数不超

8、过 1,病人比01/s01s例 i(t)绝不会增加, 传染病不会蔓延。五群体免疫和预防根据对 SIR 模型的分析,当 时传染病不会蔓延 .所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗01/s水平,使阈值 1/ 变大以外 ,另一个途径是降低 ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法0s做到.忽略病人比例的初始值 有 ,于是传染病不会蔓延的条件 可以表为0i01sr01/s01r这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足上式，就可以制止传染病的蔓延。这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数 =5，由上式至少要有

9、80%的人接受免疫才行。世界卫生组织总干事陈冯富珍 2010 年 8 月 10 号宣布，甲型 H1N1 流感的大流行期已经结束，但世卫呼吁各国继续监察新型流感，防范病毒变种。 陈冯富珍听取世卫紧急委员会专家的意见后，宣布解除新流感的最高警戒。但她预期，未来几年新型流感会好像季节性流感一样继续流行，流感病毒也会对部分国家和地区存在隐患。即使花费大量资金提高 ，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得甲流 H1N1 才在全世界根除。而如果新流感的 更高，根除就更加困难。六模型验证新型流感 2009 年 4 月开始在墨西哥爆发，之后陆续在美国等地蔓延，五月香港确诊首起新型流感个案，为亚洲首宗确诊病例。六月

10、世卫将流感大流行警戒级别，调升至第六级别，世界各地因此储存新流感疫苗，以防万一。不过随着疫情减轻，本年初多个国家及地区，开始销毁疫苗，以及取消为民众接种疫苗。而新型流感爆发以来，在全球造成 18449 人死亡。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了 的实际数据，世卫组织rtd用这组数据对 SIR 模型作了验证。首先，由方程（1） ， （2）可以得到 s rtdisidt，两边积分得1srt上 式 两 边 同 时 乘 以 d可001srd0ln|s0re所以： (6)()()rtste再 (7)01)rrtdi se当 时，取（7）式右端 Taylor 展开式的前 3 项

11、得：/r200(1)rt sdsr在初始值 =0 下解高阶常微分方程得 :0021()()()2trtsh其中 ， 从而容易由（7）式得出：200i01st20()rtdtsch然后取定参数 s0, 等，画出（7）式的图形，如图 4 中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。七被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值 与 之差，记0s作 x,即 (8)0xs当 i0 很小，s0 接近于 1 时，由（8）式可得(9)01ln()s取对数函数 Taylor 展开的前两项有(10)20(1)xxs记 , 可视为该地区人口

12、比例超过阈值 的部分。当 时（10）式给出 11（11）0122xs这个结果表明，被传染人数比例约为 的 2 倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即 不变时，这个比例就不会改变。而当阈值 提高时， 减小，于是这个比例就会1降低。八模型评价1，本模型根据甲流实际传染情况建设了数学模型，并考虑了其中的潜伏期、日治愈率、日接触率等因素，对于如何控制流感爆发具有一定的科学借鉴价值；2，所选取的数值虽然参考了卫生部信息通告，但由于取样的数据量太小，没有大量采集相关的数据，可能导致运算结果有所偏差；3，本篇论文还有很多值得改进的地方，如如何利用数学建模推迟传染病高潮的爆发期、群体免疫和防治等等方面。参考文献：数学模型，姜启源编，高等教育出版社数学模型与计算机模拟，江裕钊、辛培情编，电子科技大学出版社(1989)数学模型选谈(走向数学从书) ，华罗庚，王元著，王克译，湖南教育出版社(1991) 数学建模-方法与范例，寿纪麟等编，西安交通大学出版社(1993)数学建模韩中庚等编，清华大学出版社（2009 ）