1、一、填空题 （共 10 题，每题 2 分，共 20 分）1只于自身合同的矩阵是 零 矩阵。2二次型 的矩阵为_ _。11212237,6xfx3963设 是实对称矩阵，则当实数 _充分大_, 是正定矩阵。At tEA4正交变换在标准正交基下的矩阵为_正交矩阵_。5标准正交基下的度量矩阵为_ _。E6线性变换可对角化的充要条件为_。7在 中定义线性变换 为： ，写出 在基 下2PabXcd1212,E的矩阵_。8设 、 都是线性空间 的子空间，且 ，若 ，则1V2V12V12imdiV_。9叙述维数公式_。10向量 在基 （1）与基 （2）下的坐标分别为 、 ，且从12,n1,n xy基（1）到
2、基（2）的过渡矩阵为 ，则 与 的关系为Axy_。二、判断题 （共 10 题，每题 1 分，共 10 分）1线性变换在不同基下的矩阵是合同的。 （ ）2设 为 维线性空间 上的线性变换，则 。 （ ）nV10V3平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。 （ ）4设 与 分别是齐次线性方程组 与 的解空间，则1V2 12nxx12nx（ ）nP5 为正定二次型。 （ ）2211iix6数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。 （ ）7把复数域 看作复数域上的线性空间， ，令 ，则 是线性变换。 （ CC）8若 是正交变换，那么 的不变子空间的真
3、正交补也是 的不变子空间。 （ ）9欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。 （ ）10若 为 ( )中的微分变换，则 不可对角化。 （ ）nPx1三、计算题 （共 3 题，每题 10 分，共 30 分）1设线性变换 在基 下的矩阵为 ，求 的特征值与特征向量，123,12A并判断 是否可对角化？2 取什么值时，下列二次型是正定的？t2213131232,54fxxtxx3设三维线性空间 上的线性变换 在基 下的矩阵为： ,求V123,12133aA在基 ， 下的矩阵 。12,0kPk且 3B四、证明题 （共 4 题，每题 10 分，共 40 分）1证明：与 相似，其中 是 的一2nA 12iii
4、nB 12,nii,个排列。2证明：和 是直和的充要条件为： 。1siV102,3ijVis3设 是 级实对称矩阵，且 ，证明：存在正交矩阵 ，使得： An2AT110T 4证明： 与 合同，12nA 12iiinB其中 是 的一个排列。12,nii,答案一1 2 3.充分大 4.正交矩阵 5. 6.有 个线性无关的特396 En征向量7. 8. 9. 0abcd 12V121212dimiimiVV10. XAY二1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三1.解： （3 分）221251AfE所以， 的特征值为 （二重）和 。把 代入方程组121得：0EX基础解系为 1
5、20x10n201因此， 属于 得两个线性无关得特征向量为： 1223,因而属于 的全部特征向量就是 ， 、 取遍 中不全为零的全部数对 112k1k2P（6 分） ，再用 代入 得：基础解系 ，因此，属于 5 的全部特250EAX3n征向量是 ， 是 中任意不等于零的数。 （9 分）3kP因为 有三个线性无关的特征向量，所以 可能对角化。 （10 分）2.解： 的矩阵为： f125tA， ， 。得：10210t240At405t当 时， 是正定的。405tf3解： （2.5 分）12131aka（2.5 分）22k（2.5 分）31233k在基下的矩阵为 （2.5 分）12133123aaBkk四1.证：任意 维向量空间 ， 的基 ，则 唯一 使nV12,nLV（3 分）121212nnn即 ii,11ii22iiinin在基 下的矩阵为 （6 分）12,iiB与 相似（1 分）AB2证： 是直和 （3 分）1sjiV0iijV（2 分）1ijiji1ij令 10ss 11ss（3 分）1sjV，同理0s 210s是直和。 （2 分）1siV3证：设 是 的任一特征值A，使022，2020或1实对称矩阵A正交矩阵 ，使T110A 4证： 、 对应的二次型分别为B2211,nnfxxx2iiigyyy令 ， 12inixy22111, ,niinngxfx所以， 与 合同。AB
