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1、- 1 -求数列通项问题的思维流程研究山东博兴县第二中学 （256500） 卢振路 求数列的通项是高中数学中数列部分的最基本问题之一，对它的研究涉及到的知识点多，综合性强，是学生学习的一个难点。本文试图在详细剖析各类求数列的通项问题的基础上，从学生解题的思维流程角度，找出各类问题之间的内在联系，总结出解决这类问题的一般的思维模式.求数列的通项问题的基本类型及其解题规律如下：一、已知数列 的递推关系式，求通项nana【例 1】已知数列 满足 =8 , =2 , 且 -2 + =0 (nN+)，求通n142n1an项 .n解：nN+ ， -2 + =0，2na1n - = - ,2a1n - =

2、- = - = - ，n2n32a1数列 是等差数列.故可设其通项公式为 = -(n-1)d ( nN+), 由 = +(4-1)d 可n 4a1得,d= -2, =-2 n+10( nN+).na本题给出的递推公式稍加变形后,正好符合等差数列的定义,所以可根据给定的条件由待定系数法直接求得.【例 2】已知：各项均为正数的数列an满足 =1, (n+1) + -1a21n1nan =0（nN+), 求其通项 .ana解法一：(n+1) + -n =0，212n (n+1) + -n=0 ，2)(nan =-1（舍去） ，或 = n1na，- 2 -由 = （n N+)可得, 1na= = =

3、112na123nna= = ,n3即 = .a解法二：同解法一 得到 = （n N+)， 即(n+1) -n =0（n N+),1na1na故n 是公差为 0 的等差数列，所以 n =1 =1，即 = （n N+).n 1a解法三：同解法一 得到 = （n N+)，由 =1 可得， = 1 121， = ， = ，故可猜想 = （n N+) ，再由数学归纳法证明（略） .3a14a本题在无法直接使用基本数列（指等差数列和等比数列，下同）定义的情况下，可连续使用递推公式（以下称这种方法为“迭代法” ）而得到数列的通项.如果考虑不到这一点或者无法实施这种迭代,可考虑引进辅助数列 ,使得 =f(

4、)（n N+),如果 的nbnabnb满足基本数列的定义或者可使用迭代而能求出其通项,也就得到了 的通项.如果引进辅助数列的方法仍旧无法奏效,还有最后一招，即采用归纳猜想证明的方法,之所以把它作为最后一招,因为毕竟它是以上各种方法中最繁琐的一种,而我们的学生却往往把它作为首要的方法,这种思维顺序上的颠倒应予纠正.二、已知数列 的前 n 项和 求通项asna【例 3】已知数列 的前项和 = +3,nN+,求通项 an.2解：当 n=1 时， = =2+3=5 ；1s当 n2，nN+时, = - = +3- -3= ，na1n1n故 an= .,51n已知数列 的前 n 项和 求通项 问题可直接利

5、用 与 的关系式 = asnansnana- 3 -(以下简称该关系式为 “基本关系” ）求得 ，但需要特别注意的是,使用1,1nsn这个关系式必须对 n=1 时的情形单独讨论 ，特别是 不适和当 n2 时 的表达式时，1ana忽略这一点就会致错.【例 4】数列 对于 nN+,r 为常数, 都满足 + + + = 9-6n,求通项 .a123nn解： + + + = 9-6n（nN+）即为数列 的前 n 项1r231nra1ra和 ,ns当 n=1 时， = =9-6=3 ,1as当 n2，nN+时， = - =9-6n-9+6(n-1) =-6,1nrns1 = .na,631n本题表明在未

6、知数列 的前 n 项和 的情况下,和第一类问题类似的是 ,如果知道了as 的辅助数列 的前 n 项和,则可通过求出 的通项而得到 的通项.nabnbna三、已知数列 的前 n 项和 与通项 的关系式求通项 sa【例 5】已知 是数列 的前 n 项和，且 =5 -3（nN+） ，求数列 的通nsansn项. 解： nN+ 都有 =5 -3, nsn2 时 , - =5（ - ）=5 ,na11na 4 = 即 = - （n2）, n11n4又当 n=1 时，由 =5 3 可得 = ，as1a3 是一个首项为 ，公比为 - 的等比数列，故 = . na44na431)(n- 4 -本例表明已知数列

7、 的前 n 项和 与通项 的关系式求通项 问题,在多数情况下可asnana直接利用基本关系 = 消去与 有关项 后可得到 的递推公式,从而n1,1nnsn转化为第一类问题而解决.因此解决此类问题的首要步骤是力求获得 的递推公式.na【例 6】 已知各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，且 = ( + ) ans21nna,（nN+ ） , 求此数列的通项 . n解：n2 时 = - ,nas1 = ( + )可化为 = ( - + ),化简得 ns1nnns11ns= 1 , 2n又当 n=1 时，由 = = ( + ) 可得 ， =1,1as1a1 是一个首项为 1，公差为 1 的等差数列

8、,2ns =1+n-1=n，从而 = ,ns n2 时 = - = - ，na1又 当 n=1 时，a =1 也适合上式, = - （nN+）.n本题在探索思路时也试图象例 5 那样获得 的一个递推公式,但事实表明,这种努na力是徒劳的,也就是说通向转化为第一类问题的道路被堵塞了.此时,考虑到求出 转化为ns第二类问也可求出通项,就果断地利用基本关系消去 ,先得到 的递推公式,根据第一nns类问题的解法求出 ,再根据第二类问题的解法求出 .当然作为一种几乎是万能的解法,ns a- 5 -如果以上的思路无法奏效,我们还可以利用归纳猜想证明的方法来解决,但是考虑到它的繁琐,我们把它作为最后的出路.

9、根据以上的分析,我们可以的出如下结论:1.对于每一类数学问题,仅仅知道它有几种解法是不够的,更重要的是我们应该弄清每种解法的使用条件及其相互关系,建立正确合理的思维顺序.2.对于求数列的通项这类问题,我们已经看到第三类问题的解决涵盖了前两类问题,前两类问题解决过程只是第三类问题的解决过程的一部分.因此,掌握了第三类问题,也就掌握了整个求数列的通项问题的解法.基于以上认识,我们把第三类问题的解题思维过程用流程图的形式在下面给出,作为本文的结束语: - 6 -求数列通项问题的思维流程图已知的 与 关系式求通项nasna已知 的递推公式,求通项 nana归纳猜想证明已知 ns求通项 na求出通项 na是是否否否否否是是是是否可利用基本关系得到的 na递推公式是否符合基本数列的定义?是否可使用迭代法?是否可引进基本数列,使得 =f( ) ?nbna是否可利用基本关系得到 的递 ns推公 式