导数常见题型与解题方法总结.doc

1、导数题型总结1、分离变量-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）2、变更主元-已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布 4、判别式法-结合图像分析5、二次函数区间最值求法-（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 得到两个根；0)(xf第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数） -（已知谁的范围就把谁作为主元） 。例 1：设函数 在区间 D 上的导数为 ， 在区间 D 上的导数为 ，若在区间 D()yfx()fxf

2、 ()gx上， 恒成立，则称函数 在区间 D 上为“凸函数 ”，已知实数 m 是常数，()0gx()yfx43216mxf（1）若 在区间 上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；()yf0,3（2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函数” ，求 的最2()fx,abba大值.解:由函数 得 432()16xmxf32()fx2gx（1） 在区间 上为“凸函数” ，()yf0,3则 在区间0,3上恒成立 2xm解法一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于 max()0g(0)3029gm解法二： 分离变量法 ： 当 时, 恒成立,0x2()30gxm当 时, 恒成立3等价于 的

3、最大值（ ）恒成立，2xx03x而 （ ）是增函数，则3()h0max()2h2m(2)当 时 在区间 上都为“凸函数” ()fx,ab则等价于当 时 恒成立 230gx变更主元法再等价于 在 恒成立 （视为关于 m 的一次函数最值问题）2()Fmxm2(2)0301Fxxba例 2：设函数 ),10(3231)(2Rxaxf （）求函数 f（x ）的单调区间和极值；（）若对任意的 不等式 恒成立，求 a 的取值范围.,()f解：（） 22()43fxaxxa01a令 得 的单调递增区间为（a,3a）,0)(xf)(xf-2 23aa ()fx a 3a令 得 的单调递减区间为（ ，a）和（3

4、a，+ ）,0)(xf)(xf 当 x=a 时， 极小值 = 当 x=3a 时， 极大值 =b. ;43ba)(xf（）由| |a，得：对任意的 恒成立)(xf ,2,1x2243a则等价于 这个二次函数 的对称轴 gmain()g2()gxxa01,（放缩法）12a即定义域在对称轴的右边， 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。()gx上是增函数. （9 分）22431,axa、 min()()4.g于是，对任意 ，不等式恒成立，等价于2,1ax(2)41.15ga、又 ,0.a点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系例 3：已知函数 图象上一点 处的切线

5、斜率为 ，32()fxa(1,)Pb326()10tgxtt（）求 的值；,ab（）当 时，求 的值域；4x()fx（）当 时，不等式 恒成立，求实数 t 的取值范围。1, ()g解：（） ， 解得 /2()3fxax/13fba32ab（）由（）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减f,00,4又 (1)4,(0),(2)4()16f f 的值域是x162xa1,2（）令 2()()(1)31,4thxfgxx思路 1：要使 恒成立，只需 ，即 分离变量0h2()6tx思路 2： 二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1： 转化为

6、 在给定区间上恒成立， 回归基础题型0)()( xff或解法 2： 利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚 “在（ m , n）上是减函数 ”与 “函数的单调减区间是（ a , b） ”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例 4：已知 ，函数 Raxaxxf )14(21)(3（）如果函数 是偶函数，求 的极大值和极小值；fgf（）如果函数 是 上的单调函数，求 的取值范围)(x),a解： . 14(41)(2 af（） 是偶函数， . 此时 ， ， xxxf312)(341)(2xf令 ，解得： . 0)(f

7、32列表如下： x(, 2 ) 2 (2 ,2 )32 3(2 ,+)f+ 0 0 +(x递增 极大值 递减 极小值 递增可知： 的极大值为 ， 的极小值为 . )f 34)2(f ()fx34)2(f（）函数 是 上的单调函数，(xf, ，在给定区间 R 上恒成立 判别式法21)(1)04fa则 解得： . 2(4a， 02a综上， 的取值范围是 . a20a例 5、已知函数 31()()(1)0.fxxa（I）求 的单调区间；（II）若 在0，1上单调递增，求 a 的取值范围。 子集思想()fx解：（I） 2()1()1).xxa1、 20,)0,afx当 时 恒 成 立当且仅当 时取“=

8、”号， 单调递增。 1()fx在2、 1212,(),fxax当 时 由 得 且单调增区间： ()()单调增区间： ,（II）当 则 是上述增区间的子集：()0,1,fx在 上 单 调 递 增 0,11、 时， 单调递增 符合题意a()在2、 ， 0,aa综上，a 的取值范围是0，1。 2、题型二：根的个数问题题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点，即方程根的个数问题解题步骤第一步： 画出两个图像即 “穿线图 ”（即解导数不等式）和 “趋势图 ”即三次函数的大致趋势 “是先增后减再增 ”还是 “先减后增再减 ”；第二步： 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看

9、极大值和极小值与 0 的关系；第三步： 解不等式（组）即可。例 6、已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数23)1()(xkxfkxg31)()(f),2(（1） 求实数 的取值范围；k（2） 若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围)(fg解：（1）由题意 在区间 上为增函数，xkx)1(2 )(f),2(a-1-1()f 在区间 上恒成立 （分离变量法）0)1()(2xkxf ),2(即 恒成立，又 ， ，故 的取值范围为 k11k1k1k（2）设 ，32)(3)()( xxgfxh)1(12 kk令 得 或 由（1）知 ，0)(xhx当 时， ， 在 R 上递增，显然不合题

10、意k0)(2 )(xh当 时， ， 随 的变化情况如下表：1)xh),(kk)1,(k),1()x0 0(h 极大值 31263k 极小值 21k由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，021k)(xfg 0)(xh故需 ，即 ，解得3630)212kk212k31k综上，所求 的取值范围为k3根的个数知道，部分根可求或已知。例 7、已知函数 321()fxaxc（1）若 是 的极值点且 ()f的图像过原点，求 ()fx的极值；（2）若 2()gxbxd，在（1）的条件下，是否存在实数 b，使得函数 ()gx的图像与函数f的图像恒有含 的三个不同交点？若存在，求出实

11、数 的取值范围；否则说明理由。高 1 考 1资 1 源 2 网解：（1） ()fx的图像过原点，则 ，(0)fc2()3fxa又 x是 ()f的极值点，则 (1)321faa2()3(32)10fxx(1)f、 2()37ff、（2）设函数 ()gx的图像与函数 ()fx的图像恒存在含 1x的三个不同交点，等价于 有含 的三个根，即：f1()(1)2fgdb整理得：3221()xxb即： 恒有含 的三个不等实根()01x有含 的根，321()hxxb则 必可分解为 ，故用 添项配凑法因式分解，()()、3x221()()0xb221()b22()(1)0xxb十字相乘法分解： 1()b2(1)

12、()02xxb恒有含 的三个不等实根3211()()0xbxb等价于 有两个不等于-1 的不等实根。22211()4()0bb(,1)(,3,)题 2 切线的条数问题，即以切点 为未知数的方程的根的个数0x例 7、已知函数 在点 处取得极小值4，使其导数 的 的取值范围32()fabc0x()0fx23-1 ()fx为 ，求：（1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的(,3)()fx(1,)Pm()yfxm取值范围（1）由题意得： 2()33(),(0)fabxcaxa在 上 ；在 上 ；在 上(,0x(1,)0f3(fx因此 在 处取得极小值)f 4 ， ， 4abc(

13、)32fabc()2760fabc由联立得： ， 169c32()69fxx（2）设切点 Q ，(,)tf,()()yftt2323169yxt2(9)(1)()ttt过2x,m32(31)(6mtt2)90g令 ，2(6()ttt求得： ，方程 有三个根。1,g需： ()02g3129064m16故： ；因此所求实数 的范围为：16m(,)题 3 已知 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数()fx解法： 根分布或判别式法例 8、解：函数的定义域为 （）当 m4 时，f (x) x3 x210x ，R13 72x 27x10，令 ， 解得 或 .()f ()0fx5,令 ， 解得

14、05可知函数 f(x)的单调递增区间为 和（5，） ，单调递减区间为 (,2)2,5（） x2(m3) xm 6, 要使函数 yf (x)在（1，）有两个极值点, x 2(m 3)fxm6=0 的根在（1， ）根分布问题：则 ， 解得 m32(3)4(6)0;1.mf例 9、已知函数 ， （1）求 的单调区间；（2）令231)(xaxf)0,(aR)(xf x4f（x） （xR）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围()g1解：（1） )1()(2 ax当 时，令 解得 ，令 解得 ，0a0)f 0x、0)(xf 01xa所以 的递增区间为 ，递减区间为 .)(xf ),(,(a,当 时，

15、同理可得 的递增区间为 ，递减区间为 .)xf )1(a、 ),(),(（2） 有且仅有 3 个极值点4321)(gx=0 有 3 个根，则 或 ，23(1)axa 0x210ax2方程 有两个非零实根，所以210x 24,a1或2a而当 或 时可证函数 有且仅有 3 个极值点()ygx其它例题：1、 （最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在 上的函数 在区间R32()fxaxb）（ 0a上的最大值是 5，最小值是11.2,（）求函数 的解析式；()fx（）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.1,t 0(txf） x解：（） 32 2(),()34(34)fxabfa令 =0,得 1240,1因为 ，所以可得下表：x,0 0,1()f+ 0 -x 极大 因此 必为最大值, 因此 ， ，)0(f 50）（fb(2)165,(),(1)2faff即 ， ， 162aa.23x）（） ， 等价于 ， xxf43)(2 0(txf） 04t令 ，则问题就是 在 上恒成立时，求实数 的取值范围，tg)g1,t x为此只需 ，即 ， 0)1(（ 052x解得 ，所以所求实数 的取值范围是0，1.0x2、 （根分布与线性规划例子）已知函数 32()fxabc() 若函数 在 时有极值且在函数图象上的点 处的切线与直线 平行, 求1(0,1)30xy