抽象函数经典习题.doc

1、经典习题 11. 若函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为( )(21)fx322log)fxA. B. C. D.,41,41,2. 若 *(1)(fnfnN),且 f(=2,则 f(0)的 值 是 ( )A102 B99 C101 D1003. 定义 R 上的函数 满足：()fx（ ）(),98,(3)fxyfyf且 则A B2 C4 D64. 定义在区间（-1，1）上的减函数 满足： 。若()fx()(fxf恒成立，则实数 的取值范围是2()()0fafa_.5. 已知函数 是定义在(0,+)上的增函数,对正实数 ,都有:(fx xy成立.则不等式 的解集是()fxyy2(log)0fx

2、_.6. 已知函数 是定义在（-，3 上的减函数，已知()fx对 恒成立，求实数 的取值范围。2 2(sin1cos)faaxRa7. 已知 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的()fx都满足: .,abR()()fabffa(1)求 的值;(0),1f(2)判断 的奇偶性 ,并证明你的结论;x(3)若 , ,求数列 的前 项和 .(2)f*(2)nnfuNnuns8. 定义在 R 上的函数 y=f(x)，f(0)0，当 x0 时，f(x)1，且对任意的 a、bR，有 f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；（3）证

3、明：f(x)是 R 上的增函数；（4）若 f(x)f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。9. 已知函数 的定义域为 R,对任意实数 都有) ,mn,且 ,当 时, 0.1(2fmnffn()0f12x()fx(1)求 ;1)(2)求和 ;()(3.()fffn*)N(3)判断函数 的单调性 ,并证明.x10. 函数 的定义域为 R,并满足以下条件:对任意 ,有()f xR0;对任意 ,有 ; .()fx,xyR()(yfxf1()3f(1)求 的值; 0(2)求证 : 在 R 上是单调减函数;()fx(3)若 且 ,求证: .abc2ac()2()facfb11.已知函数 的定义域为 R,对

4、任意实数 都有()fx ,mn,且当 时, .(fmnn0x()1fx(1)证明 : ;0)1,fx且 时 f()(2)证明 : 在 R 上单调递减;(3)设 A= ,B= ,若 22(,)()1xyffyf(,)2)1,xyfaaR= ,试确定 的取值范围.ABa12.已知函数 是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线()fx对称.1x(1)求 的值;(0)f(2)证明 : 函数 是周期函数;()fx(3)若 求当 时,函数 的解析式,并画出满足 ()1,fR()fx条件的函数 至少一个周期的图象.x13.函数 对于 x0 有意义，且满足条件()f减函数。21,(),()xyfyfx是（

5、1）证明： ；0（2）若 成立，求 x 的取值范围。()3)2fx14.设函数 在 上满足 ，,(2)()ffx，且在闭区间0，7上，只(7)()fxf有 13（1）试判断函数 的奇偶性；()yfx（2）试求方程 =0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论 1. B 2. A 3. A 4. ,解:由 得,02a2(1)()0faf,得2(1)()ff21201a且 2a5. ；解：令 ，则 ，则x1xy()2ff()f.2(log)(1ff22logllogx函数 是定义在(0,+)上的增函数x ,2og01lx由得，不等式的解集为 。12x6. ；解： 等价于102a2

6、 2(sin)(cos)fafax2 2 22 2222 2sin33i 311cocos05is1in4xxaaax10221010aa或7. （1）解：令 ，则ab()0f令 ，则1ab()21()0fff（2）证明：令 ，则 ， ，21()0f(1)0f令 ，则,1axb()()()fxffxf 是奇函数。()f（3）当 时， ，令 ，则0()()fabfa()fxg()()gabgb故 ，所以(na 1()()()()nnnfagafa1(2)2nnfuf 1(),()20ffff ，故11(2)4ff 1nnuN 121nnns N8. （1）令 a=b=0，则 f(0)=f(0)2

7、f(0)0 f(0)=1（2）令 a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) )(1(xff由已知 x0 时，f(x)10，当 x0，f(-x)0 0)(1)ff又 x=0 时，f(0)=10对任意 xR，f(x)0(3)任取 x2x1，则 f(x2)0，f(x 1)0，x 2-x10 1)()( 21212 ffff(x 2)f(x1) f(x)在 R 上是增函数（4）f(x)f(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又 1=f(0)，f(x)在 R 上递增由 f(3x-x2)f(0)得：3x-x 20 00, 令 得,xR()fx02xy2(0)(0)1fff(2

8、)任取任取 ,则令 ,故122,xRx且 12,3xp12p函数 的定义域为 R,并满足以下条件:对任意 ,有()f xR0;对任意 ,有 ;()fx,xy()(yfxf()f 121212()33ppffp0 12()fxf函数 是 R 上的单调减函数.(3) 由（ 1） （2）知， ，()01fb()1fb (),a cfabffcf ，而()()()2()acacbbbfcfff2acb 22ab ()()fcf11. (1)证明 :令 ,则01mn(0)(1)ff当 时, ,故 , ,当 时,x()fx00x0()1f当 时, ,则x0x ()1()()ffxfxffxfx(2)证明:

9、 任取 ,则1212,R且21 11()()()()fxffxfxfxffx1 ,00 时，f(x)1，且对任意的 a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3）求证：f(0)=1；（4）求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；（3）证明：f(x)是 R 上的增函数；（4）若 f(x)f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。解 （1）令 a=b=0，则 f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1（2）令 a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) )(1(xf由已知 x0 时，f(x)10，当 x0，f(-x)0 0)1)(ff又 x=0 时，f(0)=10对任意 xR，f(x)0(3)任取 x2x1，则 f(x2)0，f(x 1)0，x 2-x10 )()11 fff(x 2)f(x1) f(x)在 R 上是增函数（4）f(x)f(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又 1=f(0)，f(x)在 R 上递增由 f(3x-x2)f(0)得：3x-x 20 0x32. 已知函数 (),g在 R 上有定义，对任意的 ,xyR有()fyfyf且 (1)0f（1）求证： ()x为奇函数