1、 1 / 3求锐角三角函数值的策略求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容，求锐角三角函数值的方法较多，解决时，要根据不同的已知条件，选择灵活的解题方法。一、利用定义求解例 1、三角形在正方形网格纸中的位置如图 1 所示，则 sin 的值是（ ）(A) (B) (C) (D) 43345354分析：由正方形网格可知角 的对边的长为 3，邻 边的长为 4，要求 sin，只要根据勾股定理求出三角形的 斜边，再根据三角函数的定义计算即可解：设 的对边为 a，邻边为 b，斜边为 c，则a=3，b=4，所以 c= ，5432所以 sin= ，选(C) c评注：解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三
2、边的长，然后直接根据定义进行求值二、设参数求解例 2、在ABC 中，C=90，sinB= ，求 tanA 的值54分析：正切函数的定义，sinB= = ，可设 AC=4k，AB=5k，再利用勾AC股定理，求出 AB=3k，根据正切函数的定义可求出 tanA 的值。解：在ABC 中，C=90，sinB= = ，则设 AC=4k，AB=5k，由勾54股定理可求，BC= =3k，所以 tanA A23CB评注：在直角三角形中，已知一个锐角的一个三角函数值，就可知道与此三角函数值有关的边的比值，若知道两条边的比值，就可求出与之对应的三角函数值，不需要知道具体的边长，所以当已知条件为某个角的三角函数值，
3、求其它三角函数值时，可设参数表示出边长，然后再利用三角函数的定义求解。三、等角代换法例 3、如图 2，在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，图 1图 22 / 3设 ADEACD,且 AB3，AD=4 ，则 tanBAC 等于多少分析：要求 tanBAC 需求 DE、AE 的长，但计算比较繁，而 RtABC 中的边易求出，而由条件易得ADE= BAC，所以只需求出 tanBAC 即可。解：在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，所以DEA=B=90 ，BC=AD=3，由 ADBC，得 DAE= ACB，所以ADE= BAC ，所以 tanBAC= =ABC。34评注：在一个图形中有多个直角三
4、角形时，当所求的角的三角函数值计算比较麻烦或不易解决时，可考虑等角代换。四、化“斜”为“直”法例 4、如图 3，已知 AD 为等腰三角形 ABC 底边上的高，且tanB= ，AC 上有一点 E，满足 AEEC=23那么，tan ADE 是（ ）（A） （B） （C） （D）532211分析：要求 tanADE 值，需要构造包含ADE 的直角三角形，为此需要过点作 FEAD， 只要求得 即可FE解：因为 ADBC 于 D，AB=AC ，所以BAD=CAD，因为 tanB= ， B+CAD=90，所以 tan CAD= ，34 43作 EFAD 交 AD 于 F，则 tan CAD= ，所以 EF
5、= ，AFEAF因为 ADBC，EF AD，所以 EF/CB，又 AE： EC=2：3所以 AF：FD=2：3，所以 FE= ，所以 tanADE=23，故选（C） 214AFDE评注：当所要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找与某个直角三角形相等的角本采用了构造直角三角形的方法五、利用方程思想图 33 / 3例 5、如图 4，ABC 中，C=90 ，AC+BC=7（ACBC） ，AB=5，则tanB= 分析： 要求 tanB，根据锐角三角函数的定义，则需要求到对边 AC 和邻边BC 的长，因为知道斜边 AB=5，且 AC+BC=7，所 以可以根据勾股定理进
6、行计算解： 设 AC=x，则 BC=7-x，根据勾股定理， 得x2+(7-x)2=52， 解得 x=4，所以 AC=4，BC=3 ，所以 tanB= 34BCA评注：本题的解题思路是根据已知条件确定B 的对边和邻边的长，然后根据定义进行求值同时体现了方程思想在求三角函数值中的应用实际上，本题是一道填空题，不通过计算直接观察就可以解决因为斜边是 5，且两条直角边的和为 7，所以两条直角边的长分别是 4 和 3 六、数形结合法例 6、已知 tan= ，求： 的值43cosin分析： 解决本题的关键是运用三角函数的定义由已知条件 tan= ，可43设在 RtABC，C=90 ，B =，则有 AC=3k， BC=4k，可求出sin= ，cos= ，将其代入计算即可534解：在 RtABC 中，令C=90 ，B =，由 tan= ，可设43AC=3k，BC=4k ，由勾股定理得 AB=5k，所以 sin= ，cos= 将5sin= ，cos= 代入得 7534cosin评注：解决本题的巧妙之处正是见“数” （三角函数）思 “形”（直角三角形），充分展示了数形结合思想的魅力。图 4
