1、5.1 任意角及其度量1、 角：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。2、 正角、负角与零角：一条射线绕着其端点按逆时针旋转所形成的角为正角，其度量值为正的，按顺时针旋转所形成的角为负角，其度量值为负的；特别的，当一条射线没有旋转时形成了零角（0 0） （始边与终边重合） 。注意：角的大小是由旋转方向与旋转量决定的。 思考：经过 10 分钟，分针所转过的角度是多少？秒针呢？（60 0，3600 0） 3、 象限角：在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边与 x 轴正半轴重合，此时角的终边在第几象限，即为第几象限角；当终边在坐标轴上时，即不属于任何象限，
2、称为轴角。思考：若角 为锐角，角 是第几象限角？第一象限角都是锐角吗？为什么？4、 终边相同的角：所有与角 终边重合的角(包括角 ) 的集合表示为,360Zkk举例：(1) 与 600 终边重合的角的集合： ,603Zkk(2) 与300 0 终边重合的角的集合： 写成 可以吗？,603Zk是否存在最大的负角和最小的正角？300 0 和 600与300 0 终边重合的负角的集合 0,36kZk若 与300 0 终边重合，且 ，满足条件的 的集合 72解： 401,36 、得、取Zkk注意：(1)kZ；(2) 可以是任意大小的角；(3) 终边重合的角有无数个，它们相差 3600 的整数倍。例 1
3、 你能否判断下列角分别属于哪个象限？ 108)3(20)(10)(解 ： (1) ，则 为第一象限角；36（2） , 则 为第二象限角；2(3) ，则 不是象限角。818解题规律：利用终边重合的角的表示方法，寻找 00360 0 之间的角，比较容易判断象限。 例 2 若角 是第一象限角，判断下列各角的终边所在的象限位置。(1) 360 0：第一象限角； (2) 360 0：第一象限角； (3) ：第四象限角； (4) 3600：第四象限角；(5) 180 0：第三象限角； (6) 180 0：第三象限角；(7) 1800：第二象限角； (8) 900：第一象限角；解题规律：先确定 或 的终边，
4、在360 0、180 0 等。思考：若 是第二象限角呢？例 3 写出下列角的集合。(1) 终边为 x 轴正半轴的角的集合： ,360Zk(2) 终边为 x 轴负半轴的角的集合： ,18(3) 终边在 x 轴上的角的集合： ,k(4) 终边在 y 轴上的角的集合： 90k(5) 终边在坐标轴上的角的集合： ,Z(6) 终边在一、三象限角平分线上的角的集合： ,4518Zk(7) 第一象限角的集合： ,9036360kk解题规律：先确定 或 的终边，在360 0、180 0 等。例 4 若角 是第二象限角，问 是第几象限角？2分析：若角 是第二象限角，即 k360090 0k360 0180 0，
5、kZ得 k180045 0 k180 090 0，kZ 可取 k0、1 等数值进行研究 k 为偶数时， 是第一象限角； k 为奇数时， 是第三象限角。22则 是第一或第三象限角。2思考：(1) 是第几象限角？ (2) 若 是第三象限角呢？3思考：若 ，且 角的 7 倍角的终边与 角的终边重合，求 角。60解： ZkZkk,60,7得 0 2418、1、 角度制：将圆周 360 等份，每一份叫作 1 度的角。2、 弧度制：把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。 （ ，l 与 r 的比值只与角度有关）rl180x公式： 180n【例 1】求经过 40 分
6、钟时钟的秒针、分针和时针各转过的角度数和弧度数。解：角度数分别为 ；204,0和弧度数分别为 91-38和【例 2】设扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，面积为 ，求证：rlS（1） ； （2） ； （3）rl21rSlrS21证明：因为角 的弧度数的绝对值是 ，所以当 取正值时， = ，即l r圆心角为 的扇形面积与所在圆的面积之比为 ，因此212rS用 代入上式得 rllr1【例 3】一个扇形的周长是 20 厘米，求它的半径 多大时，此扇形的面积最大？解：设扇形的半径为 ，则弧长为 )10(20由 )1()20(1rrS由基本不等式 可得ba25)10(rr所以，当半径 厘米时，此扇形的面积最大值 25 平方厘米.5【例 4】已知 是第三象限的角，试讨论 的终边位置。3,解：（1） ZkkZkk ,22,232 在第四象限；（2） ,44的终边在第一、第二象限或 轴的正半轴上；y（3） Zkk,23当 时， ，Zm, Zm,23所以，此时 的终边在第一象限； 时， ，k,13,672所以，此时 的终边在第三象限； 时，Zmk, Zm,1235所以，此时 的终边在第四象限；3综上所述， 在第一、三或四象限【备用例 1】自行车大链轮有 48 齿，小链轮有 20 齿，当大连轮转过一圈时。小链轮转过的角度是多少？合多少弧度？解： 弧 度 ）(52486302360
