6.第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证.doc

1、第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证- 3 -第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证2.1 反射定律和折射定律在教材中我们早就学习了折射定律和反射定律 ，反射定律的传统表达为：1入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角 等于反i射角 ，或 。折射定律的传统表达为：光折射时，折射光线、入射光线、ii法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧。折射角随入射角的改变而改变：入射角增大时，折射角也增大；入射角减小时，折射角也减小。这两个定律通俗易懂，但它们在教材中都是通过实验推出，并没有从理论的角度进行推证。本章利用费马原理从理论

2、角度对反射定律和折射定律进行推导。我们已经学过 nds 称为光程，并且当两列波在同一点相遇并叠加时，其光强取决于相位差，而相位差又取决于光程差。可以证明，几何光学中，有关光线的实验事实也可以归结为光程问题，即不考虑光的波动性，而只从光线的观点出发通过光程的概念。2.2 费马原理费马原理是费马在 1650 年概括光线传播的实验定律提出的 2，其内容为：连结给定两点 P 和 Q 可以有许多路径，而光线只遵循两点间光程为极值的路径，数学表达形式为：极值（极小值、极大值或恒值） （2-1）Pnds费马原理要求光程为极值，可以是最小值，这是最常见的，也可以是最大值，还可以是稳定值。几何光学的核心就是费马

3、原理，虽然几何光学被看作是波动光学的近似，但现在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学的知识，费马原理是物理学和数学的精妙结合。2.3 折射定律的推导设光线由 P 点传播到 Q 点， P 和 Q 两点分别在折射率为 和 的均匀媒1n2质中，首先建立笛卡儿空间直角坐标系，选两种介质的分界面为 x y 平面，选第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证- 4 -过 P 和 Q 两点并与媒质分界面垂直的平面为 yz 平面，如果 P 和 Q 两点的连线与分界面不垂直，yz 平面选取为唯一，否则 yz 平面的选取不唯一，任选一个即可，如图 2-1 所示。设光线交

4、xy 平面于 A 点，由于在均匀媒质中光线沿直线传播，任意可能的路径是光线沿着直线 PA 传播到 A 点，并沿着直线 AQ 前进到 Q 点。设 p 点坐标为 ，Q 点坐标为 ，A 点坐标为 ，10,yz20,yz(,0)xyP 和 Q 分别在两种均匀媒介中，不在 xy 平面上，即， ， 。令：12z211()lPAx22yz光程 ： 222212111()()()PAQnlxnxyz光程 是 x， y 的二元函数，实际光线所走路径的光程为极值，则其对x，y 的偏导数为零，这时的 A 点设为 ，即实际光线与媒质分界面得交点为0，0图 2-1 光线在折射中任意可能路径示意图坐标标为 ，则 ，即 点

5、在 yz 平面上，因此光线沿着 yz 平面传播，(,0)xy0x0A12(,)0xfynl过 点作 xy 平面得垂线 即为法线，其也在 yz 平面上，由此得出折射光线，0AOM法线，入射光线在同一平面上，如图 2-2 所示。图 2-2 中的 为入射角， 为折1i2i射角。光程 在 点对 y 的偏导数也为 0。()PQ0A第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证- 5 -图 2-2 光线在两种媒质分界面的折射 1122(,)()()yfxnlynly0,yf110202()()ll则：（2-2）11020()()n由（2-2 ）式又得到：（2-3）01201()()yyll因此：

6、 2100102()()nl即：（2-4）12012mi(,)ax(,)yy设 ： ，则：12y（2-5）102不失一般性，如果 ，由（2-2）式则 ， 否则 。因此：12y01y02y12y（2-6）1022由（2-6 ）式可知，如果 P，Q 两点的连线与分界面不垂直，折射光线和入射光线分居在法线的两侧。如果 ，由（2-5）式可得 因此：12y012y（2-7）012y在图 2-2 中，分别过 P，Q 两点做垂直于 OM 的垂线，垂足分别为 B，C，由于第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证- 6 -， 点都在 yz 平面上，并且法线 OM 与 z 轴平行，所以 ，P0A

7、01yPB，并且 ， ，把这些关系式代入（2-3）式 得到：2yCQ10lPA20lQ（2-8）1200BCn由于 ， ，可以得到下式：10sinPBA20siQ（2-9）12sini综合了（2-6 ）式和(2-9)式得出斯涅耳定律：折射光线、法线和入射光线在同一个平面上，折射光线和入射光线分居在法线的两侧，并且入射角和折射角的正弦之比为常量 3（入射角不为 0 时） 。如果 P，Q 两点的连线与分界面垂直，由（2-7）式及 P， ，Q 三点都0A在 yz 平面上， P， ，Q 三点共线，则(2-9)式也满足，这时折射角和入射角都0A为 0，入射光线和折射光线垂直于分界面，折射光线、入射光线和

8、法线都在同一直线上。为了证明光线遵循折射定律所走路径的光程为极值还需要证明：成立。0),(),0(),0(2 yffyf xxyx由于： ，1122(,)x nlfynl 12(),xynlf xy因此：（2-10）11020(,)xfyll（2-11）y（2-12）13321122(,)()()yfxnlnlynly根据前面 ， 的定义，由于 ， ，因此 ，1l210z21l，则： 因此2()y3321 2()()lyll则：,0fx（2-13）0,yf根据（2-10 ）（2-13 ）式得到：（2-14）0),(),(),0(02 yfffxxy根据 可知，遵循折射定律的路径的光程的确为极小值。0(,)xf第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证- 7 -2.4 反射定律的推导对于反射定律的推导和折射定律的推导相似只是把折射定律中的折射率和 都用 代替，折射角 用反射角 代替，而 P，Q 两点在 xy 平面的同侧，1n2 2i1i（2-9）式变为：（2-15）1sini和 都小于 ，则有：i190（2-16）1i由此得到反射定律。2.5 本章小结利用费马原理，不须假设就能严格得推证反射与折射这两个实验定律，前提只是折射时折射光线、法线和入射光线在同一平面内；反射时反射光线、法线和入射光线在同一平面内。