《理论力学》习题解.doc

1、理论力学题解1-3 已知曲柄 , 以匀角速度 绕定点 O 转动,此曲柄借连杆 AB 使滑动 BOAr沿直线 运动.设 , , .求连杆上 C 点的轨道方程xCBaAB及速度.解: 设 C 点的坐标为 ,则xycosinixray联立上面三式消去 得,22(1/)4xayr整理得轨道方程 22224()(3)xa设 C 点的速度为 ,即v22 2sinsinvyrra考虑 A 点的速度 co2cAa得 coss2rra所以 2s4incosi()cv1-4 细杆 OL 绕 O 点以匀角速度 转动,并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动,图中的 为一已知常数.试求小环的速度 及加速度dva解:

2、 小环 C 的位置由 坐标确定xtanx22secdv22tanxaxd解法二:设 为小环相对于 AB 的速度, 为小环相对于 OL 的速度, 为小环相绕 O 点v1v2v转动的速度,则 12v又设 OL 从竖直位置转过了 角,则, 2sinxd2cosdx22()cossvd2212tantx所以, 小环相对于 AB 的速度为 ,方向沿 AB 向右.2()vd沿滑杆 OM 滑动的速度为 ，方向沿 OM 杆向上。21x求加速度用极坐标横向加速度2221xdav22()cosxd第一章第五节例题一解：坐标向上为正时，速度 也向上为正，而实际速度向下，则有 阻力x vx，动力学方程 ，满足初始条件

3、的解为fmkvxkg2(1)ktgxhe坐标向下为正时，速度 也向下为正，实际速度向下，则有 阻力y vy，动力学方程 ，满足初始条件的解为fmkvkyg（ ）2(1)ktgye0h可以看出 xyh第一章第五节例题二解：双曲正切函数 ，双曲余弦函数()ket()2kech反双曲正切函数 （ ）1()ln2thkk 11()ln()2xxedchxthd C12 1()l1xtxx 1-10 一质点沿着抛物线 运动.其切向加速度的量值为法向加速度量值的2ypx倍.如此质点从正焦玄( )的一端以速度 出发,试求其达到正焦玄另一端2k,u时的速率.解: 设条件为, , nak2vdvsdvatt上面

4、三式联立得 2dv两边积分 , 0(2)vudkd 2kvue由 可得 2ypxyp在正焦玄两端点 和 处, , .可看出,两点处抛物线得(,)2A()B1AyB切线斜率互为倒数,即 ,代入得kvue1-15 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后 的甲板,蓬高 .2m4但当轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前 ,如果雨点的速率为3,求轮船的速率.8/ms解: 设相对于岸的速度为 ,雨相对于岸的速度为 ,雨相对于船的速度为 则0vvrv0rv速度三角形与三角形 ABC 相似,得02314BCvA所以 08/vms方程 的解320yph解: 作变换 ,原方程变为2z6320pz

5、h设 , , , 则642Rph21/3()AR21/3()BRA32i实根 21/321/31yBph两个虚根: ,23y对于该题,只取实根.1-38 已知作用在质点上的力为 , ,1213xFayz2123yFaxyz其中 都是常数,问这些 应满足什么条件才3123zFaxyz,()ij ,ij有势能存在?如果这些条件满足,试求其势能.解: 由 得: 0,(1,23)ijjia21233123()()xyzdVdFxyazdxayzdaxyzd12131230002312()()( zazaxyzxc000(5)()(6)xyzVFdFdzd1-39 一质点受一与距离 3/2 次方成反比得

6、引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达 时的速度 和自 静止出发到达 时的速率 相同.a1va/4a2v解: 依题意有 ,两边积分3/2dmtx, 13/20va1va再积分 ,243/201avmddx21mva可知 121-43 如果质点受有心力作用而作双纽线 的运动时，则2cosra4273mahFr试证明之。解：比耐公式2()duFhm而 代入得221cosura4523du427mahFr1-44 质点所受的有心力如果为 23()r式中， 及 都是常数，并且 ，则其轨道方程可写成2h。试证明之。式中 ， ， （A 为积分1cosarek2k2ka2khe常数） 。解：比耐公

7、式 将 F 代入得2()duhm，式中22duk2hk其解为20cos()A2 0021cos()1cos()kharAek式中 ，2kha2khe将基准线转动一角度，可使 得01cosrek2-1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为 ，所对的圆心角为 。a2并证明半圆片的质心的距离为 43a解：取对称轴为 轴，则质心比在对称轴上。设密度为x 02cos2sinaCrdx对于半圆片，取 ，2i/432Cax或者直接积分2302()/aCdax2-2 如自半径为为 的球上，用一与球心相距为 的平面，切出一球形帽，ab求此球形帽的质心。解：方法一球形帽可看作由许多圆薄片沿 Z 轴叠成，其质心坐标

8、 0cxy2 32cos1242/cs3o/cs(in)(sco)(s1(os)3()crbc brrrdzdzr方法二取任一垂直于 OZ 轴的两平面来截球冠，截得一微圆球台近似地等于圆柱。 2()dmVsdzrzd242 231()() ()rrrbb bc rzzdzdr2-3 重为 的人，手里拿着一个重为 的物体。此人用与地平线成 角Ww的速度向前跳去。当他达到最高点时，将物体以相对速度 水平向后抛出。问：u由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？解：选人与重物组成一个系统，此系统在水平方向无外力作用，水平方向动量应守恒。人在抛出重物以前，水平速度为 ，在最高点抛出重物之0cosv后，其水平

9、速度变为 ，则v00(cos)()csWwWwvuvgg人抛出重物后，做以 为初速的平抛运动，比不抛重物落地点要远，增加的距离 000sinsincovvxgg两式联立得 0iwuxW讨论：若抛出物体时速度是相对人后来的速度即 ，则上面第一个方程变为v0()()cosvuvgg结果是 0inwxW一个例子：人重 60 公斤，物重 2 公斤，起跳速度 ，抛物速度5/ms，则10/ms.12x2-13 长为 的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边l沿垂直，此时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子的边沿时，链条的速度。解：【方法一】

10、设链条的线密度为 ，则 时刻下落的链条质量为 ，此时链t ()2lmy条所受的重力为 ，根据牛顿第二定律有()2lmgydvllt作变换 代入上式,ydvt()2lvdg两边积分 ，200()lvygd132vgl【方法二】设链条的线密度为 ，当链条往下移 ，重力做的功为y0yWgdy238l lm，1lvg12vgl216 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。解：变质量动力学方程 ()dmvugtt设水蒸气凝结在雨滴上之前在空气中的速度 ，代入上式得0ut设雨滴半径 的增长率为 ， ，式中 为 时雨滴的半径，rratat雨滴的质量，式中为 密度34mrd

11、vgtat其解 34()()atc设 时， 的0tvc434()gavtt问题：轴为竖直而定点在下的抛物线形金属丝，以匀角速度 绕轴转动。一质量为 的小环套在此金属丝上，并可沿金属丝滑动。是研究其运动。m抛物线方程 24xay建立动参考系 ，则o动能 221()Tx势能 Vmgy运动微分方程 22(1)()044xdxdxmgatata对上式积分一次222()()Ct再积分一次 120 02/()/4xcnxgtaa一个自由度下，应用虚功原理求平衡问题半径为 的光滑半球形碗固定在水平桌面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗r内，另一端在碗外，在碗内长度为 ，试证棒长为c24()crl解：主动力 ， ，体系平衡时，由虚功原理得0xFymgyW上式中如选 为广义坐标，得出 这与广义坐标的变分独立性相矛盾，故0y不能选 为广义坐标。选 为广义坐标，则，(2cos/)inyrl2cos(/)csrl，0(s0而 ， 得棒长cos/2r2in4/rc4()l取直角坐标为广义坐标，如 ，因为 则(),xy,dxy()0xyydWFQ广义力 yxy独立，平衡方程为 ，即0yQ0xydF两种特殊情况当 ， 时，平衡方程简化为 ；0xFy dy当 ， 时，平衡方程 改写为 ，即 。yx0xyF0xydFyx