函数的凸性曲线的曲率.doc

1、第 7章 函数的凸性曲线的曲率内容摘要凸函数 函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。例如，曲线 (图 1)在 轴左边是向下弯曲的(称为上凸)，3xyOy而在 轴右边是向上弯曲的(称为下凸) 。虽然说“弯曲方向 ”O或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数理论在其它数学分支中也是很有用的。 从图 2 中看出，向上弯曲(下凸 )的曲线上任何两点的连线 (弦)的中点 在弧 的上方；而从图 3 中看出，向下弯曲(上凸) 的曲线上任何两点的连线ABCAB(弦) 的中点 在弧 的下方。根据上面几何上的启示，我们引入下面的定义：称连续函数 在区间 内为下凸(上凸)函数，假若对于 内任意两点

2、)(xf,ba),(ba和 ，都有1x2() 121212()()fxff x【注 1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书) 中，都把下凸函数称为 “凹函数” ，而把上凸函数称为“凸函数” 。这里的称呼与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的。请读者注意到这些区别。【注 2】还请读者注意，通常说“函数 在区间 内是下(上)凸函数” ，若对于 内任意两()fx,ab(,)ab点 和 与任意 ，都满足琴生(Jesen)不等式1x212()x(0,1)t212() )ftttftfx它等价于不等式 1212( ()ftxtfxtf（其中 和 为正数且 ）显然，不等式()是琴生不等式的特

3、殊情形。不过，对于连续函数来说，不等式 ()与琴生不等式是等价的。因此，我们就用简单的不等式( )定义函数的凸性。关于连续函数情形下两者等价性的证明，有兴趣的读者可去看本网站上的专题选讲。【注 3】若函数 在区间 内可微分，则从下图 4 看出，下凸(上凸) 函数的图形上，每一点处(xf,(ba图 2ABCD xyO x1 (x1+x2 )/2 x2yABCD图 3O x1 (x1+x2)/2 x2x图 13xyxyO108的切线都在图形的下面(上面)，而且导函数 (切线的斜率) 是增大( 减小)的。我们也可以证明这个结论 xf(见专题选讲) 。定理 设函数 在区间 ),(ba内有导数。若导数

4、在 ),(ba内是增大(减小)的，则)(xf xf函数 在区间 ,内是下凸(上凸) 的。(逆命题也成立。专题选讲中有证明)。)(xf假若函数 在区间 内有二阶导数，那么根据上述定理和判别函数单调性的方f,法，就有下面判别函数凸性的方法。判别法 设函数 在区间 内有二阶导数)(xf),(ba)(xf若 ，则 在区间 内是下凸函数因为导数 是增函()0fxf,ba)(xf数；若 ，则 在区间 内是上凸函数因为导数 是减函)f )(f),( f数。拐点(变曲点) 函数图形可能在这一段上是上凸的，而在相邻的另一段上又是下凸的(如图 1 中原点的两边)。这样两段弧的连接点，就称为函数图形(曲线)的拐点

5、(曲线拐弯的点)或变曲点(曲线改变弯曲方向的点)。同时，也把函数图形拐点的横坐标称为这个 函数的拐点或变曲点。请读者注意到函数的拐点与函数图形(曲线) 的拐点之间的区别 !若点 是函数 的拐点且有二阶导数 ，则0(,)xab()fx0()fx0()f这是因为，例如函数 在点 的左边近旁下凸时，由于 (见注 3)，f0 x所以(极限运算单调性)()lim)(000xffxfx且函数 在点 的右边上凸时，由于 ，所以)(xf0 0xff(极限运算单调性)()li)(000fx因此 . 同理，若函数 在点 的左边上凸且在点 的右边下凸时，也有0()ffx0x. 但是要注意，仅有 时，点 不一定是函数

6、 的拐点。例如函数x )(00)(f，尽管有 ，但 不是函数 的拐点，4f()f 4()f因为 21(|fxx即函数 在原点 的两边都是下凸的(图 5)。4()fx0图 4 下凸切线 上凸切线图 5O xy 4109特别，假若函数 在区间 内有二阶导数,且 在点 的两边有相反()fx0(,)x()fx0的符号,则 就是函数 的拐点。此时，当然有0x 0)(xf勾画函数图形的方法 在中学数学中，画函数图形用的是描点法。它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状态。微积分中讲的绘图方法称为解析法，而它的优点正好弥补了描点法的缺陷。我们利用导数的有关信息所画出的略图，使我们能够看出函数的变化状态。例如在

7、哪个区间内，它是增大的或减小的，是下凸的或上凸的；又在哪个点上取到极大值或极小值。因此，把描点法和解析法结合起来就是最好的绘图方法。函数图形的渐近线 不管是描点法，还是解析法，都只能画出函数图形的有限部分。对于那些能够伸向无穷远处的函数图形，当函数图形伸向无穷远时，它有可能无限接近某一直线( 称它为渐近线)。例如，函数 xyarctn的图形有两条渐近线 (图 6)。因为它们与 轴平2yO行，所以称它们为水平渐近线。求水平渐近线的方法很简单。若存在有穷极限或bxf)(limbxf)(li则曲线 就有水平渐近线 yy函数图形也可能有垂直渐近线。例如函数 的图形(图 7)有两条垂直渐近线xytan.

8、求垂直渐近线的方法也很简单。若函数 有无穷间断点 ，即2x )fa(左极限) 或 (右极限)lixfa limax则曲线 就有垂直渐近线 .可见，当函数有无穷间断点时，它才有垂直渐近线。)(xfya函数图形还可能有斜渐近线 。如图 8，设曲线 上点bkxy)0()(xfy到直线 的距离为 . 在直角三角形 中， (,)PxybkxdPANxy2图 6O2图 7yxO 22图 8 AOdNP ykxb()fxy110()fxkbPA22tandsecd按定义，直线 是曲线 的渐近线，当且仅当点 沿曲线 伸向无y(xfyP)(xfy穷远时，有 ；而 ，当且仅当有常数 和 ，使0dkb或 lim()

9、0xfklim()xfkxb于是，当条件满足时，可以按下面的方法求常数 和 ：第一步，先求斜率 因为且 xfkf)()()lili0xxkf所以 ；()limxfk第二步，再求截距 ，即 blim()xfk曲线的曲率（理工科专业学生用，经济类专业学生不用）曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为 . 一般情形下，如图 9，弧0的全曲率规定为起点 A 处切线方向与终点 B 处切线方向的偏AB差 . 可是，弧 的全曲率与弧 的全曲率相同，但前者显CD然比后者弯曲得更厉害一些。这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关。因此，就像测量物

10、理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为 的弧的全曲率 同弧长 的比值 ，称为该弧的ss/s平均曲率。它有点像质点运动的平均速度。像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限 ssKdlimli0AB定义为弧 在点 A 处的曲率 (其中 为弧 的全曲率, AB为弧 的长度)。s对于半径为 R 的圆周来说 (图 10)，由于 ，Rs所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为(半径的倒数)sKs1dlim0对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点 处的曲率A时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点 相切 (即有公切线)且0A

11、半径 . 这样的圆周就称为弧上点 处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点 处的曲1/ARA率中心。如图 11 中那个抛物线在原点 或点 的曲率圆。请读者注意，因为曲率有可O(1,)aAsR图 10OBBA图 9CsD111能是负数(在实际应用中，有时把绝对值 称为曲率) ，而曲率半径要与曲率保持相同的正AK负号，所以曲率半径也有可能是负数。保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向。对于用方程 表示的弧(图 12)，由于)(xy)ba， tnarctn()yx所以，若有二阶导数 ，则 2()dd1yx注意到 ，则弧上点 处的曲率为2d1()syx,A(曲率公式) 32ds(yxK当 时，曲率

12、半径为()0yx(曲率半径公式) 321yxR其中， 时，曲率 和曲率半径 都大于 ，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的()yxKR0上方(图 12)。反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方。例如图 11 中那个抛物线，因为 ，所以2a,2ay(曲率 ) , (曲率半径) 3)41(x axKR2)41(3显然，原点 处有最大曲率 ，最小曲率半径 . 点 处的曲率和曲率0,OKa,A半径依次为， 23)41(aR2)41(3可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大。第 7-1节 看我做题R图 11xO曲率圆y ),1(aA曲率圆2xa图 12x x()yxyO曲率圆A1121.勾画

13、出函数 的略图。132xy解 ， 236()x 6(1)yx用驻点 和 (它们有可能是极值点 )，与二阶导数等于 的点 (它有可能是拐点)，将函0 0数的定义区间 划分为四个小区间：),(),2(,( 再把函数 在这些小区间内有关 和 的信息，填在下面的表格中。按照表格(xf )xff中提供的信息，就可以画出它的略图(它没有渐近线。为什么？) 。(,2)(2,1)(1,0) 0(0,)y+ 0 - - +- - - 0 + + + 3极大(1,)拐点1极小2.勾画出函数 的略图。12xy解 因为 ，所以它有垂直渐近线 (没有水平渐近线) 。又x1lim1x，)(li2xkx2li()1xxby

14、x2lim1所以它有斜渐近线 (见图)1其次， ， 2)(xy3)1(2xy像第 1 题那样，用函数的驻点 和 (没有其它临界点和二阶导数等于 的点) ，把函数00的定义域分成若干小区间(注意 , 是间断点) ，并把有关信息填入下面的表格中：12y=x1yxO 1 212 x=1第 2 题图-1第 1 题图0x3y-2132x113x(,0) 0 (0,1)1 (,2) 2 (2,)y 0 0 2极大间断点 2极小有垂直渐近线 和斜渐近线1x1xy根据表格中提供的信息，就可勾画出函数的略图(见上图)。（*） 3.对于用参数方程 )()ty表示的曲线弧，其中 和 有二阶导数且)(tx不妨认为 2

15、2()0t ()0xt因为， d()ytx2 3ddd()()()()yytyttxytxx把它们依次代入曲率公式和曲率半径公式，则得(曲率公式)232(Ky(曲率半径公式)xR0xy第 7-2节 根据提示做习题1.用判别法，验证下列函数在所示区间内是下凸的： ； ；(1),0yx),(exy ； ln02.用判别法，验证函数与)(xln在区间 内是上凸的。),0(3.根据判别法，求下列函数的下凸区间或上凸区间： ； ；32xy xysin ； e )1l(2答案：在 内下凸，在 内上凸；,),1(在 内上凸，在 内下凸；),(k )2,(k（*） 经济类专业学生不用看。114在 与 内下凸，

16、在 内上凸；)21,(),()21,(在 与 内上凸，在 内下凸。),4.设函数 为连续偶函数。若在区间 内有()xf )0,(且 0(f)xf则在区间 内，下列哪一种情形是对的？,0(； ；A)(,fxf (B)(,xff； CD)0提示：注意 答案：()ffx又问：若函数 为连续奇函数且在区间 内有),(且 0(f0)(xf那么上述情形中哪一种是对的？点 是它的拐点吗？答案：； 是拐点05.证明下列不等式： ；)1,0,(2 yxxyyx ；)ee2 。),0,(lnlln)( yxxyxyx提示：选择适当的下凸函数。6.勾画下列函数的图形：【注】勾画函数图形之前，要注意以下事项：确定函数

17、的定义域；函数是否具有奇偶性或周期性；求出函数的连续区间，并查明它是否有间断点；若有零值点，求出函数的同号区间；求出函数的极值点、最大(小)值点和拐点；确定函数的增大或减小区间、下凸或上凸区间；查明是否有渐近线；查明函数是否还有其它特性。 ； ； xy3 2exy ； ； 211 ； xye)6( 2sinxy7.证明：若 ，则有),1(0nii(几何平均值不超过算术平均值)xnn 22提示：考虑下凸函数 ()l(0fx115(理工科学生做以下习题)8.求下列曲线的曲率和曲率半径： (双曲线)； (抛物线)； 1yx xpy2)cos1(intayx答案： ； ；234)1(K)0()(sgn

18、232pKyaK29.在对数曲线 上，求出曲率绝对值最大的点。 答案：xyln )ln,(10.证明：极坐标系中曲线 的曲率公式为)(r提示: 232Ksin)(coryx并由此求下列曲线的曲率: (阿基米德螺线)； (对数螺线)；ar mae (心形线)； (双纽线)cos1 2cos2r答案： ； ； ；23K1rKrK323ar第 7-3节 试做研究生入学考试题(三)2004/选择题 设 ，则 。1fx是 的极值点，但 不是曲线 的拐点(A)0()(0,)()yfx不是 的极值点，但 是曲线 的拐点Bf是 的极值点，且 是曲线 的拐点C,f不是 的极值点， 也不是曲线 的拐点(D)x()fx()()2000/六求函数 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。arctn21exy第 7-4节 试做研究生入学考试题(一)2005/填空题曲线 的斜渐近线方程为21xy_1991/选择题曲线 【 】2ex没有渐近线。 仅有水平渐近线。(A) (B)仅有铅直渐近线。 既有水平渐近线又有铅直渐近线。CD1161989/选择题当 时，曲线 【 】0x1sinyx有且仅有水平渐近线。 (A)有且仅有铅直渐近线。B既有水平渐近线，也有铅直渐近线。C既无水平渐近线，也无铅直渐近线。(D)