数字图像的非线性混合异性扩散恢复算法.doc

1、马少贤等：数字图像的非线性混合异性扩散恢复算法_基金项目: 国家自然科学基金资助项目，（ 10571024）第一作者简介:马少贤(1984-)，男，郑州信息工程大学信息工程学院硕士研究生，主要研究方向为数值分析及优化计算、偏微分方程图像处理。数字图像的非线性混合异性扩散恢复算法马少贤 江成顺（信息工程大学信息工程学院，郑州，450002，）摘 要: 文中提出了一个基于非线性混合异性扩散方程和全变分方法的图像恢复模型。该模型通过引进非线性混合异性扩散方程的扩散项，将非线性扩散方程与全变分方法有机结合起来。实验表明该模型不但能够提高去噪性能，而且可增强边缘并保持边缘的位置，保持图像中的纹理特征，使

2、得处理后的图像清晰度和对比度大大增强，而且有意义的细节特征也被保留。关键词: 图像恢复；非线性异性扩散方程；全变分Digital Image Restoration Algorithm Based on Nonlinear Mixed Anisotropic DiffusionMA Shao-xian，JIANG Cheng-shun(Institute of Information Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450002)Abstract: A image restoration algorithm

3、based on nonlinear mixed anisotropic diffusion equation and total variation method is proposed, which combines the nonlinear anisotropic diffusion equation with the total variation method. The experimental results show that, the model can not only remove noise but also enhance edges and keep their l

4、ocality, and it can also keep textures. Because of these favorable characteristics, not only do the processed images look much clearer and smoother, but also significant details are kept, resulting in appealing vision.Keywords: image restoration; nonlinear anisotropic diffusion equation; total varia

5、tion1 引言图像恢复是数字图像处理中的一个重要分支，它的主要目的是改善退化图像的质量。由于实际中设备的不完善和物理的限制，所获得的图像通常达不到期望的质量。因此，原始图像的恢复是非常必要的。目前图像恢复的方法有很多种，采用偏微分方程方法处理是一种发展较快的新方法。基于偏微分方程的恢复方法大致可分为两类：基于非线性扩散方程的方法 1-6和基于能量泛函的变分方法 7-10。这些方法相互影响、相互作用，彼此之间存在着紧密的联系。针对这些联系，本文在这两种方法的基础上，将全变分和非线性混合异性扩散方程的扩散项有机结合，提出了一种新的图像恢复模型，较好的改善了图像的恢复质量，提高了去噪性能。2 预备

6、知识2.1 全变分模型对于降质图像，其通用的模型为* MERGEFORMAT (1)0uR其中 为原始图像， 为观测图像， 通常为标准0偏差为 的高斯白噪声， 为一个模糊算子。要通过 来恢复 显然是一个不适定问题，0u而求解不适定问题的一个经典方法就是正则化方法。1992 年 Rudin、Osher 和 Fatemi7提出了一种2 第十四届全国图象图形学学术会议正则化方法，即全变分(TV: Total variation)正则化方法。它能够很好的保持图像边缘，是目前为止保持边缘图像恢复问题中比较成功的方法。其提出了如下的能量极小化问题：* 20()min()uBVEudxyudxyMERGEF

7、ORMAT (2)其中 是正参数， 为观测图像。0由变分原理，式* MERGEFORMAT (2)对应的 Euler-Lagrange 方程为* 0()()udivMERGEFORMAT (3)相应的扩散方程为* 0()()udivutMERGEFORMAT (4)在式* MERGEFORMAT (4)中，方程右边第一项 可以理解为非线性扩散算子，影(/|)divu响着算法的扩散性能，其扩散系数 决定了1/|u光滑程度。从这个角度去看，TV 方法是一种具有自适应性质的光滑问题。因此，全变分最小化也可以看成是基于非线性扩散方程的一种特殊形式。2.2 非线性扩散模型Perona 和 Malik1首

8、先将各向异性扩散方程(anisotropic diffusion equation)引入图像处理，其提出了传导系数可变的异性扩散方程：* MERGEFORMAT (5)(,)udivcxytut其中 为散度算子， 为梯度算子。当i为常数 1 时，方程* MERGEFORMAT (5)(,)cxyt就变为各向同性的热传导方程。Alvarez 等对 P-M 模型进行了改进，提出了退化扩散模型 2：* ()0uugGdivt MERGEFORMAT (6)其中 为高斯平滑核， 为梯度 的局部G估计， 为非增实函数，且 时， 趋()gss()gs向于 0。方程* MERGEFORMAT (6)中的因子

9、用于边缘的增强，它控制着扩散的速(|)u度。因为 表示图像梯度的高斯平滑，如果Gu图像梯度在点 处的邻域内具有较小的加权平(,)xy均值，则点 邻域内的灰度变化比较平缓。为非增实函数，所以此处的扩散速度较强。()gs反之，在图像的边缘点上，其梯度的邻域内具有较大的加权平均值，从而扩散速度较小。所以，退化扩散模型的解使得图像边缘得以保持，而灰度变化不大的地方更加平滑。结合退化扩散方程和热扩散方程，我们考虑下面的非线性扩散模型：* 0(1)(),),u uhuhudivtxyxy MERGEFORMAT (7)在方程的右端，第 1 项是平滑项，第 2 项是锐化项； 为初始图像， 为 t 时刻的0(

10、,)uxy(,)uxy扩散图像； 是权重系数； 是 区间hs0,1内的光滑非降函数，满足：存在 ，使得2* MERGEFORMAT (8)120,()sh在目标边界上的点 ，其邻域内的灰度变(,)xy化通常较剧烈 ，由函数 的定义2(|us()hs可知，此时 ，模型* MERGEFORMAT )1h(7)转化为如下的退化扩散模型：* 0,0,(,)()uudivtTtxyxyMERGEFORMAT (9)将其转化成局部坐标系，可以更清楚的看出其物理意义。选择局部正交坐标系 ，其中 是与(,)梯度正交的方向。则在局部坐标系下，下面的等式成立：* MERGEFORMAT (10)2()udiv因此

11、，模型* MERGEFORMAT (9)可以转化为如下定向扩散模型：* MERGEFORMAT (11)20,(,)()utTtxyxy它只在 方向上对初始图像 进行扩散。由0(,)uxy于 正交于梯度 的方向，因此它在梯度 方向u3 马少贤等：数字图像的非线性混合异性扩散恢复算法上不进行任何扩散。该模型的优点是在光滑图像的同时保留了边缘，但在光滑区域有可能将平坦的部分转变为分段部分，产生阶梯效应。对于位于图像同质区域的点 ，其邻域内(,)xy的灰度变化比较平缓 。由函数1(|,|us的定义可知，此时 ，模型* ()hs)0hMERGEFORMAT (7)转化为热扩散模型：* MERGEFOR

12、MAT 0,()(,)tutTxyxy(12)它在各个方向进行相同的扩散，它在光滑图像的同时模糊了边缘。因此，只要选取合适的函数 ，该模型既能克h服由 TV 模型引入的阶梯效应，又能克服由调和模型所引入的边缘模糊，达到一个较好的恢复效果。3 新模型根据上一节的理论分析可知，混合扩散模型的扩散性能要大大优于 TV 模型，本节将给出一种基于混合各向异性扩散方程的图像恢复模型。3.1 图像恢复模型构造新的图像恢复模型：* 0(1)()tuhuudivMERGEFORMAT (13)其中 为权重系数， 的作用是调整平,0,滑和锐化的比例，其不同取值控制着该模型平滑或锐化的强度。本文取 , 。()/1)

13、hss3.2 新模型的数值格式这里主要采用迎风格式进行差分，首先，对时间方向导数采用如下方式,1(,)()nntuijijt其中， 为时间步长。对于式* MERGEFORMAT (13)中的扩散项,xyu,22xyxyyxuudiv利用中心差分可以得到,1(,)()2nnxuijijk,2,nnyijij,1(,)(,)()nnnxuijuijijk,2,1nnnyijijij.12(,)(,)4,1,nnxyuijuijkijij其中 分别为 方向上的步长， 为一个小的12,k,xy正参数。对于模型中存在的非线性项 ，为此记|u,(,)(1,)()nnnxDuijijij,(,)(,)()n

14、nnyijijuij.1u令 221/(max(,)0,(a(,)nxnyDijuij这里采用的是前向和后向差分格式，由此可得，.1(,)(,)(,)nnnuijijEuijt其中.0()()()Ehuudiv4 结果分析本文对 TV 模型和新模型进行了仿真比较，实验是在 Pentium4 CPU 3.00GHz，512MB 内存，Matlab7.0 环境下运行。采用峰值信噪比(PSNR)作为客观的衡量标准，PSNR 定义为 22,5*PSNR10lgdB(),ijMNffij其中， 为原始图像， 为恢复后的图(,)fxy,xy像， 为图像大小。M4 第十四届全国图象图形学学术会议我们选取边缘

15、丰富的 Lena 灰度图像和 Peppers灰度图像作为测试图像，所加噪声均为标准偏差不同的高斯白噪声。其中图 1 为 Lena 图像恢复效果，图 2 为 Peppers 图像恢复效果。实验结果表明，本文模型能更好的平滑平坦区域并保持有意义的纹理，提高了去噪性能，较好的改善了图像的恢复质量。实验结果对比见表 1。表 1 图像处理前后 PSNR 对比5 结论在 Rudin，Osher 和 Alvarez 等人的工作基础上对全变分模型和各向异性扩散模型做了改进，提出了基于全变分和非线性异性扩散方程的图像恢复模型。实验结果表明该模型能够有效的去除噪声、保持边缘，较好的恢复了图像质量。本文选取了比较简

16、单的函数 ，今后需对函数 的选取hh做进一步研究。参 考 文 献1P. Perona, J. Malik. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusionJ. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell, 1990, 12(7):629 -639.2L. Alvarez, P.L. Lions and J.M. Morel. Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion IIJ. SIAM J. N

17、umer. Anal, 1992, 29(3):845-866.3L. Alvarez, L. Mazorra. Signal and image restoration using shock filters and anisotropic diffusionJ. SIAM J. Numer. Anal, 1994,31(2):590-605.4R. Terebes, O. Lavialle, P. Baylou, and M. Borda. Mixed anisotropic diffusionC. Pattern Recognition, Proceedings. 16th Inter,

18、 2002:760- 763.5P.Kornprobst, R. Deriche, G.Aubert, Nonlinear operators in image restorationC. IEEE Computer Society Conference, 1997:325-330.6Y. You, M. Kaveh and A. Tannenbaum. Analysis and design of anisotropic diffusion for image processingC. In International Conference on Image Processing, volu

19、me II, 1994:497-501.7L. Rudin, S. Osher and E. Fatemi. Nonlinear total variation based noise removel algorithmsJ. Physica D, 1992, 69:259-268.8L. Rudin and S. Osher. Total variation based image restoration with free local constraints. In International Conference on Image Processing, volume I, 1994:

20、3135.9T.Chan, C.Wong. Total variation blind deconvolution J. IEEE Transactions on Image Processing, 1998, 7(3):370- 395.10郑精灵,王树根. 整体变分算法在图像修补中的应用研究J. 计算机辅助设计与图形学学报, 2003,15(10):1218-1223.实验图像 Lena 图像 Peppers 图像实验参数 0.5,.1噪声偏差 120图像加噪后 PSNR 21.801dB 21.659dBTV 模型恢复后 PSNR 28.744dB 29.602dB本文模型恢复后 PSNR 29.635dB 30.439dBPeppers 原始图像 噪声图像TV 模型恢复效果 本文模型恢复效果图2 Peppers图像恢复效果Fig.2 The restoration of Peppers gray imageLena 原始图像 噪声图像本文模型恢复效果TV 模型恢复效果图1 Lena图像恢复效果Fig.1 The restoration of Lena gray image