数学期望在经济决策中的作用.doc

1、河北北方学院本科生毕业论文I数学期望在经济决策中的应用摘 要 数学期望是研究随机变量总体取值平均水平的重要数字特征,经济生活中的许多问题都可以直接或间接地利用数学期望来解决,是人们做出经济决策的重要依据.第一章主要介绍数学期望的定义,包括离散型随机变量、连续型随机变量和随机变量函数三种期望.第二章对于数学期望在经济决策中的作用方式和方法进行介绍.第三章介绍数学期望在单级决策中的应用,通过几个实例将数学期望的应用方法具体化.第四章对于非简单单级决策,即需要多级决策的运用问题进行举例介绍.关键词 数学期望;经济决策;期望值决策;利润最大.河北北方学院本科生毕业论文IIThe Application

2、 of Mathematical expectation of the role in economic decision-makingAbstract The mathematical expectation of a significant number is the average of the overall value of the random variable features, many of the problems of economic life can be direct or indirect use of the mathematical expectations,

3、 is an important basis for people to make economic decisions.The first chapter introduces mathematical definition of expectations, including discrete random variables, continuous random variables and random variable function.Chapter II described the ways and means of the mathematical expectation of

4、the role in economic decision-making.The third chapter is devoted to the mathematical expectation of the single-stage decision-making, through several examples of application of the mathematical expectation of.Chapter IV is non-simple single-stage decision-making require the use of multi-level decis

5、ion-making issues and provide examples.Key words Mathematical expectation; economic decision-making; expectations of decision-making; the most profitable.河北北方学院本科生毕业论文III目 录引 言 .11 数学期望的定义 .21.1 离散型随机变量的期望 .21.2 连续型随机变量的数学期望 .21.3 随机变量函数的数学期望 .22 经济决策分析 .32.1 经济决策的定义 .32.2 决策问题的三要素 .32.3 期望值决策法选择方案的

6、基本步骤 .32.4 经济决策的基本公理 .33 数学期望在单级决策中的运用 .53.1 最佳进货量问题 .53.2 利润最大问题 .63.3 委托 代理问题 .73.4 超市抽奖问题 .83.5 资金投资问题 .93.6 决定生产批量问题 .103.7 减少工作量问题 .114 数学期望在多级决策中的运用 .13小 结 .16参考 文献 .17致 谢 .18河北北方学院本科生毕业论文1引 言概率论是一门研究事情发生的可能性的学问,但是最初概率论的起源与赌博问题有关.16 世纪,意大利的学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题.17 世纪中叶,法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏,游戏规则是玩家连续

7、掷 4 次骰子,如果其中没有 6 点出现,玩家赢,如果出现一次 6 点,则庄家（相当于现在的赌场）赢.按照这一游戏规则,从长期来看,庄家扮演赢家的角色,而玩家大部分时间是输家,因为庄家总是要靠此为生的,因此当时人们也就接受了这种现象.随着 18、19 世纪科学的发展,人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性,从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中;同时这也大大推动了概率论本身的发展.使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家 j.伯努利,他建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数定律,阐明了事件的频率稳定于它的概率.随后棣莫弗和 p.s.拉普拉斯又导出了第二个

8、基本极限定理（中心极限定理）的原始形式.拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了分析的概率理论,明确给出了概率的古典定义,并在概率论中引入了更有力的分析工具,将概率论推向一个新的发展阶段.19世纪末,俄国数学家 p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式,科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.20 世纪初受物理学的刺激,人们开始研究随机过程.这方面 an柯尔莫哥洛夫、n.维纳、aa马尔可夫、ar辛钦、p莱维及 w费勒等人作了杰出的贡献.虽然概率论最早产生于 17 世纪,然而其公理体系只在 20 世纪的 20 至 30 年代才建立

9、起来并得到迅速发展,在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性,例如：物理、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学,经济学以及几乎所有的工程学等领域.概率论作为从数量上研究随机现象统计规律性的学科,而随机变量的分布函数能够全面地反映随机变量的统计规律性随着经济社会的不断发展,竞争越来越激烈,企业所面临的风险是越来越大,为了在这残酷的竞争中能立于不败之地,必须的降低风险,降低成本,减少损失,获取较高收益.从而决策者们必须采用科学的方法来做出正确的经济决策.然而现实的经济社会是多面性和复杂性的有太多的不确定性因素,比如外界因素,管理者们的主观因素等.而数学期望正

10、好能综合这些因素从中筛选出最优的方案.河北北方学院本科生毕业论文21 数学期望的定义1.1 离散型随机变量的期望设离散型随机变量 的分布律为 ,若级数 绝对收敛,X.)21()(ipxXPi 1iipx则称 的值为 的数学期望（或均值）,记作 ,即 .1iipx )(E1)(iiX1.2 连续型随机变量的数学期望设 为连续型随机变量,其概率密度为 ,若 绝对收敛,称 为)(xf()dfx()dxf的数学期望（或均值）,记作 ,即)(XE()()f1.3 随机变量函数的数学期望设 是随机变量, 是函数, 是连续实函数.)(gN)(g当离散型随机变量 的分布律为 ,当级数 绝对收敛,.)21(ip

11、xXPi 1iipx随机变量 的数学期望为)(Xg1()()()iiEN=gxp当 为连续型随机变量,其概率密度为 ,若 绝对收敛,随机变量)(ffd)(的数学期望为)(XgN 1()()()diEN=gXxf河北北方学院本科生毕业论文32 经济决策分析2.1 经济决策的定义经济决策是指经济管理部门或企业为了达到某种特定的目标,在经济调查、经济预测和经济发展、管理活动等规律性认识的基础上,运用科学的方法,在几种可供选择的行动方案中,选择一个令人满意的方案并予以实施.2.2 决策问题的三要素（1） 状态集：把决策的对象称为一个系统,系统所处的不同情况称为状态.将其数量化后得到状态变量.所有状态构

12、成的集合称为状态集,记为: ,其中 是),(21msS1s第 种状态的状态变量; 表示各种状态出现的概率,其中i )(),.()(21mspspSP表示第 种状态 发生的概率.)(ispi,2is（2） 决策集：为达到某种目的而选择的行为方案称为方案;将其数量化后称为决策变量,记为 决策变量的集合称为决策集,记为 .a ,21naA（3） 效益函数：定义在 上的一个二元函数 ,他表示状态 出现时,决SA)(jisRjs策者采取方案 得到的收益或损益值,即称为效益.对所有的状态).2,1;,.(mjni和所有可能的方案所对应效益的全体构成的集合称为效益函数,记为 .),(jisaR对于实际问题,

13、如果决策的三要素确定了,则相应的决策模型也就确定了,在这里记为.)(RSPAD2.3 期望值决策法选择方案的基本步骤（1）在确定决策目标的基础上,设计各种可行的备选方案;（2）分析判断各种可行的备选方案实施后可能遇到的决策者无法控制的自然状态,并预测各种自然状态可能出现的概率;（3）估计、预测各种方案在各种不同的自然状态下可能取得的收益值（或损失值）;（4）根据以上数据列出收益或损失矩阵表;（5）以收益或损失矩阵表为依据,分别计算各方案的期望收益值或期望损失值 ,并根据收益期望值或期望损失值选择最优方案.河北北方学院本科生毕业论文42.4 经济决策的基本公理（1）方案之间的优劣是可以比较的,且

14、比较结果不能相互矛盾 ;（2）各被选方案应有独立存在的价值.若其中有一方案在各方面均显著劣于另一方案,则这一方案就可以被第二方案所替代,即其没有存在的价值 ,应从被选方案中删除;（3）分析方案时只有不同的结果才有比较.若多个方案某一方面均是相同的, 那么在进行比较时这一方面则可以不用比较;（4）主观概率与方案结果之间不存在联系.决策者估计某种状态出现的主观概率不受方案结果的影响, 两者是相互独立的,对自然状态出现的可能性大小的主观概率估计只与决策者主观上对自然状态发展趋势估计的乐观程度有关;（5）效用的等同性及替换性.然而由于心理、环境等多种因素的影响使人们常常处于不理智的状态,因而很多时候不

15、能保证完全遵循以上公理.河北北方学院本科生毕业论文53 数学期望在单级决策中的运用经济决策是指企业以及个人在确定行动政策或方案以及选择实施这些政策或方案的有效方法时所进行的一系列活动.经济决策类型按其影响范围分为宏观决策与微观决策.宏观经济决策是指对国民经济和社会的发展目标、战略重点、战略步骤、战略措施等重大经济问题所做的决定或选择.宏观经济决策是国民经济最高层次的决策.微观决策是指对带有局部性的某一具体问题的决策.微观决策包括企业根据市场确定产量,进行人、财、物的合理分配; 消费者根据自己的有限收入决定其对各种商品的需求量, 我们在这里研究数学期望在微观决策中的作用.事物的进展情况和信息往往

16、受随机因素的影响,使得决策带有风险性 .因此,在实际问题中为了最大限度地降低风险,人们常把数学期望作为决策参考的重要依据 .离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平, 正是因为它具备这样的特点, 使得数学期望能够从最大程度上刻画、反映出各种随机因素的影响, 从而成为风险决策的重要数字特征. 下面举几个例子来说明 .3.1 最佳进货量问题商场要进某种商品, 作为商场而言, 必定要考虑准备多少货源, 既能满足市场需求, 又不会产生积压, 使资金使用最佳、收益最优.例1 设某一超市经销的某种商品, 每周的需求量 是在10至30范围内等可能取值, 该x商品的进货量也在10至30范围内

17、等可能取值（每周只在周前进一次货）,超市每销售一单位的商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,每处理一单位商品亏损100元;若供不应求,可从外单位调拨,此时一单位商品可获利300元,试测算进货量多少时,超市可获得最佳利润?并求出最大利润的期望值.解 由于该商品需求量 (销售量)是一个随机变量,它在区间 上均匀分布,而销x 103售利润值也是 随机变量,它是 的函数,称为随机变量的函数.因此,本问题的解算过程是,先y确认 与 的函数关系,再求出y的期望 ,最后利用极值方法求出极大值点及最大值.xEy先假设每周的进货量为 ,则aaxy).(10,35当 当axay,10632当当河北北方学院本

18、科生毕业论文6利润 的数学期望为y30 2101(6)d(2)d7.53052a aExxaa5y127.*()3509.max3.2 利润最大问题下面这个例子是重庆两路的百乐自助烤吧老板经过多年的经验得出的相关数据：例 2 百乐自助烧烤吧每天腌制牛肉的多少问题,由于牛肉不易于保存,今晚腌制的明天必须卖完,如有剩余就会变质不能食用.每斤牛肉进价 17 元,能卖到 60 元.由以前的经验可知每天卖 5 斤的概率是 0.2,卖 10 斤的概率 0.4,卖 15 斤的概率 0.3,卖 20 斤的概率0.1.问百乐烤吧每天腌制多少斤牛肉能获得最大利润.解 第一步：由题意我们获得了四个备选方案：1、每天

19、腌制 5 斤;2、每天腌制 10 斤;3、每天腌制 15 斤;4、每天腌制 20 斤;第二步：由于天气、工作日、周末、人们消费意识等因素使得每天卖出的牛肉是不定的,由以往经验可以获知每天卖 5 斤、10 斤、15 斤、20 斤的概率分别为：0.2、0.4、0.3、0.1;分别求出四个方案的预期收益值.表 1 预期方案收益值表自然状态 5 斤 10 斤 15 斤 20 斤概率 0.2 0.4 0.3 0.1腌制 5 斤 215 元 215 元 215 元 215 元腌制 10 斤 130 元 430 元 430 元 430 元腌制 15 斤 45 元 345 元 645 元 645 元腌制 20

20、 斤 -40 元 260 元 560 元 860 元第三步：由以上收益表可以求得个方案的期望收益值： 215.02153.4.0215.1 E370432 86.3方 案河北北方学院本科生毕业论文7350861.053.2604.)(2.04 E第四步：从期望值计算结果可以看出每天腌制 15 斤时收益最大,即为最优行动方案.3.3 委托代理问题 在经济生活中委托代理是非常普遍的例 3 例如老板和员工、股东和经理等等,老板希望在给员工支付工资的同时确保员工能恪尽职守地工作,而员工则希望在拿到薪酬的同时尽量少工作 ,那么,应采取怎样的策略来确保两方面的平衡呢？我们可以用双方利润的数学期望来分析这一

21、问题.首先,如果不考虑外界因素的影响,老板的利润会随着员工的努力程度而增加;另一方面 如果员工的努力程度不变,老板的利润也会受到外界因素的影响 .简单综合为运气好和运气差.假设这两方面的影响可概括如下.表 2 老板的利润表（单位万元)运气差 运气好员工努力工作 20 40员工不努力工作 10 20由上表数据知当利润为最小(10 万)和最大(40 万)时老板可确定员工是否努力工作 .在其他情况下无法确定.因此,员工可能会偷懒.另一方面,员工工作只是为了工资收入,努力工作会增加他的劳动成本,简单起见,记其努力工作的劳动成本为 10 万元而不努力工作的劳动成本为 0 万元.因此,对于老板来说 最有利

22、的结果当然是员工努力工作这是因为老板的期望利润为：当员工努力工作时 万 ,当员工不努力工作时2.540.3E万 .那么如何能保证员工能够努力工作呢?我们可以考虑不同=(10.52.)13E的报酬形式:固定工资 12 万元,对员工的努力作出奖励,假设老板可制定报酬计划如下：若利润不超过 20 万,工资为 0,若利润达到 40 万,工资为 24 万,分享利润.假设老板可制定另一报酬计划如下：当利润少于 18 万时,工资为 0.当利润高于 18 万时,超过部分作为工资奖励给员工：在这三种报酬形势下,我们分别考虑老板和员工双方的利益.第一种情况员工无论努力与否,工资均为 12 万但若努力工作会增加劳动成本 10 万元,因此员工一定选择不努力工作.对于老板而言这种情况下得到的净利润只能为