《电动力学》第21讲 §41 介质中的Maxwell方程组.doc

1、第 21 讲 介质中的 Maxwell 方程组第 4 章 介质中的电动力学（1）4.1 介质中的 Maxwell 方程组4.1.1 介质的电磁性质1. 关于介质的概念 现在讨论介质存在时电磁场和介质内部的电荷电流互相作用问题。介质由分子组成，分子内部有带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子。从电磁场观点来看，介质是一个带电粒子系统，其内部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场。在研究宏观电磁现象时，我们所讨论的物理量是在一个包含大数目分子的物理小体积的平均值，称为宏观物理量。由于分子是电中性的，而且在热平衡时各分子内部的粒子运动一般没有确定的关联，因此，当没有外场时介质内部一般不出现宏观的电流分

2、布，其内部的宏观电磁场亦为零。有外场时，介质中的带电粒子受场的作用，正负电荷发生相对位移，有极分子（原来正负电中心不重合的分子）的取向以及分子电流的取向亦呈现一定的规则性，这就是介质的极化和磁化现象。由于极化和磁化的原因，介质内部及表面上便出现宏观的电荷电流分布，我们把这些电荷、电流分别称为束缚电荷和磁化电流。这些宏观电荷电流分布反过来又激发起附加的宏观电磁场，叠加在原来外场上而得到介质内的总电磁场。介质内的宏观电磁现象就是这些电荷电流分布和电磁场之间相互作用的结果。2. 介质的极化 存在两类电介质。一类介质分子的正电中心和负电中心重合，没有电偶极距。另一类介质分子的正负电中心不重合，有分子电

3、偶极矩，但是由于分子热运动的无规则性，在物理小体积的平均电偶极距为零，因而也没有宏观电偶极距分布。在外场作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极距平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极距分布。宏观电偶极距分布用电极化强度矢量 P 描述，它等于物理小体积 V 内的总电偶极距与 V 之比，P = (4.1-1)Vip式中 pi 为第 i 个分子的电偶极距，求和符号表示对 V 内所有分子求和。由于极化，分子正负电中心发生相对位移，因而物理小体积 V 内可能出现净余的正电或负电，即出现宏观的束缚电荷分布。我们现在首先要求出束缚电荷密度 p 和电极化强度 P 之间的关系。我们用一个简

4、化模型来描述介质中的分子。设每个分子由相距为 l 的一对正负电荷 q 构成，分子电偶极距为 p = ql。图 1-7 示介质内某曲面 S 上的一个面元 dS。介质极化后，有一些分子电偶极子跨过 dS。由图可见，当偶极子的负电荷处于体积 l dS 内时，同一偶极子的正电荷就穿出界面 dS 外边。设单位体积分子数为 n，则穿出 dS 外面的正电荷为（4.1-nqdpPl2）对包围区域 V 的闭合界面 S 积分，则由 V 内通过界面 S 穿出去的正电荷为Sd由于介质是电中性性的，这量也等于 V 内净余的负电荷。这种由于极化而出现的电荷分布称为束缚电荷。以 p 表示束缚电荷密度，有dVPS把面积分化为

5、体积分，可得上式的微分形式= （4.1-P3）非均匀介质极化后一般在整个介质内部都出现束缚电荷；在均匀介质内，束缚电荷只出现在自由电荷附近以及介质界面处。现在我们说明两介质分界面上的面束缚电荷的概念。图 1-8 示介质 1 和介质 2 分界面上的一个面元 dS.在分界面两侧取一定厚度的薄层，使分界面包含在薄层内。在薄层内出现的束缚电荷与 dS 之比称为界面上的束缚电荷面密度。由（4.1-2）式，通过薄层右侧面进入介质 2 的正电荷为 P2 dS，由介质 1 通过薄层左侧面进入薄层的正电荷为P1 dS。因此，薄层内出现的净余电荷为 ( P2 P1) dS。以 p 表示束缚电荷面密度，有，P2dS

6、)(1由此，= ， （4.1-12n4）n 为分界面上由介质 1 指向介质 2 的法线。由以上推导可见，所谓面束缚电荷不是真正分布在一个几何面上的电荷，而是在一个含有相当多分子层的薄层内的效应。介质内的电现象包括两个方面。一方面电场使介质极化而产生束缚电荷分布，另一方面这些束缚电荷又反过来激发电场，两者是互相制约的。介质对宏观电场的作用就是通过束缚电荷激发电场。因此，若在麦氏方程中电荷密度 包括自由电荷密度 f 和束缚电荷密度 p 在内，则在介质内麦氏方程（ 3.10）式仍然成立。（4.1-。PfE5）在实际问题中，自由电荷比较容易受实验条件的直接控制或观测，而束缚电荷则不然。因此，在基本方程

7、中消去 p 比较方便。把（4.1-3 ）式代入（4.1-5）式得（4.1-f)PE。（6）引入电位移矢量 D,定义为（4.1-。7）（4.1-6）式可写为（4.1-fD8）在此式中已消去了束缚电荷，但引进了一个辅助场量 D.由（4.1-5）和（4.1-8）式看出，E 的源是总电荷分布，它是介质中的总宏观电场强度，是电场的基本物理量；而 D 并不代表介质中的强场，它只是一个辅助物理量。由于在基本方程（4.1-8）中引入了辅助场量 D,我们必须给出 D 和 E 之间的实验关系才能最后解出电场强度。实验指出，各种介质材料有不同的电磁性能，D 和 E 的关系也有多种形式。对于一般各向同性线性介质，极化

8、强度 P 和E 之间有简单的线性关系（4.1-9）EP。ee 称为介质的极化率。由（4.1-7）式得（4.1-10）D， （4.1-11）。rer1 称为介质的电容率， r 为相对电容率。3. 介质的磁化 介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规则性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外磁场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度 JM。分子电流也可以用磁偶极距描述。把分子电流看作载有电流 的小线圈，线i圈面积为 a，则与分子电流相应的磁矩为（4.1-ima12）介质磁化后，出现宏观磁偶极距分布，用磁化强度 M 表示，它定义为物理小体积 V 内的总磁偶极距与

9、V 之比，（4.1-13）Vi现在我们求磁化电流密度 JM 与磁化强度 M 的关系。如图 1-9，设 S 为介质内部的一个曲面，其边界线为 L.为了求出磁化电流密度，我们计算从 S 的背面流向前面的总磁化电流 IM.由图可见，若分子电流被边界线 L 链环着，这分子电流就对 IM 有贡献。在其他情形下，或者分子电流根本不通过 S，或者从 S 背面流出来后再从前面流进，所以对 IM 都没有贡献。因此，通过 S 的总磁化电流IM 等于边界线 L 所链环着的分子数目乘上每个分子的电流 i 。图 1-10 示边界线 L 上的一个线元 dl。设分子电流圈的面积为 a 。由图可见，若分子中心位于体积为 a

10、dl 的柱体内，则该分子电流就被 dl 所穿过。因此，若单位体积分子数为 n，则被边界线 L 链环着的分子电流数目为Al此数目乘上每个分子的电流 i 即得从 S 背面流向前面的总磁化电流MLLLInddalmlMl以 JM 表示磁化电流密度，有SLAJl把线积分变为 M 的面积分，由 S 的任意性可得微分形式（4.1-14 ）除了磁化电流之外，当电场变化时，介质的极化强度 P 发生变化,这种变化产生另一种电流，称为极化电流。设 V 内每个带电粒子的位置为 xi，电荷为ei，则VeixP（4.1-15）iPtvJJP 称为极化电流密度。磁化电流 JM 和极化电流 JP 之和是介质内的总诱导电流密

11、度。介质内的磁现象也包括两个方面，一方面电磁场作用于介质分子上产生磁化电流和极化电流分布，另一方面这些电流又反过来激发电场，两者也是互相制约的。介质对宏观磁场的作用是通过诱导电流（J M+JP）激发磁场。因此，若在麦氏方程（3.10）式中的 J 包括自由电流密度 Jf 和介质内的诱导电流密度JM+JP 在内，那么麦氏方程在介质中仍然成立，（4.1-1fMPtEB。16）在实际问题中，自由电流分布 Jf 可以直接受实验条件控制和测定，而 JM和 JP 则不然。因此，在基本方程中消去 JM 和 JP 比较方便。把(4.1-14), (4.1-15)式代入（ 4.1-16）式，并利用（ 4.1-7）

12、式得（4.1-17）()ftBD。 MJ引入磁场强度 H，定义为（4.1-。18）则（4.1-17）式写为（4.1-ftDHJ19）在此式中已消去了诱导电流 JM 和 JP，但引进了辅助场量 H.由（4.1-16 ）和（4.1-19）式看出，B 描述所有电流分布激发的场，因此它代表介质内的总宏观磁场，是基本物理量，而 H 并不代表介质内的场强，它仅是一个辅助物理量。为了解出磁场，还需要定出 H 和 B 的关系。实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度 M 和 H 之间有简单的线性关系（4.1-20 ）MM 称为磁化率。把（4.1-20）式代入（4.1-18）式得（4.1-21）B， （4.1

13、-22 ）。rMr1 称为磁导率， r 为相对磁导率。从物理本质上看，E 和 B 是场的基本物理量，而 D 和 H 是辅助物理量。历史上由于人们对磁场曾有不正确的认识，把 H 称为磁场强度而和电场强度 E 对比。现在人们知道这种看法是错误的，但由于历史原因，仍保留着 B 和 E 的原来名称。在实践上，物理量 H 有一定的重要性，这是因为 H 与自由电流分布Jf 有关，而 Jf 是直接受实验条件控制的。4.1.2 介质中的 Maxwell 方程组从现在起，我们略去 f 和 Jf 的下角标 f，除特殊说明外，以后公式中出现的 和 J 都代表自由电荷和自由电流分布。介质中的麦克斯韦方程组为，tBE，

14、DHJ， （4.1-23）0B其中第二和第三式已在上面讨论过。至于第一和第四式，它们本来就是电磁场内部的规律，两式中只出现总电场和总磁场，与电荷电流没有直接关系，因此在介质中仍然成立。解实际问题时，除了这组基本方程外，还必须引入一些关于介质电磁性质的实验关系。上面我们举出了这些关系中最简单的形式， （4.1-24）ED（4.1-25 ）HB在导电物质中还有欧姆定律（4.1-26）J（ 为电导率） 。这些关系称为介质的电磁性质方程，它们反映介质的宏观电磁性质。必须指出， （4.1-24）（4.1-26 ）式只适用于某些介质。实验指出存在许多不同类型的介质。例如许多晶体属于各向异性介质，在这些介质

15、内某些方面容易极化，另一些方向较难极化，使得 D 和 E 一般具有不同方向，它们的关系就不再是（4.1-24）式而是较复杂的张量式。这些介质中 D 和 E 的一般线性关系是31211ED（4.1-2E27）32313（指标 1，2，3 代表 x,y,z 分量） 。上式可简写为i = 1,2,3 （4.1-jjiiED3127a）这情况下电容率不是一个标量 ，而是一个张量 ij 。在强场作用下许多介质呈现非线性现象，这情形下 D 不仅与 E 的一次式有关，而且与 E 的二次式、三次式等都有关系。在非线性介质中 D 和 E 的一般关系式是（4.1-28）., lkjlkjijkjijii ED除第

16、一项外，其他各项都是非线性项。 （4.1-28）式在非线性光学中有重要的应用。铁磁性物质的 B 和 H 的关系也是非线性的，而且是非单值的。一定的 H所对应的 B 值依赖于磁化过程。一般用磁化曲线和磁滞回线表示铁磁性物质的B 和 H 的关系。由以上的例子可以看出物质的电磁性质是多样的，这种多样性使得各种物质材料有多方面的特殊应用。为了研究各种物质的电磁性质，必须从物质的微观结构着手。这超出了本课程的学习范围，本书不准备详细讨论这些问题。4.1.3 电磁场边值关系麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦氏方程组不再适用

17、。因此，在介质分界面上，我们要用另一种形式描述界面两侧的场强以及界面上电荷电流的关系。在场作用下，介质界面上一般出现面束缚电荷和电流分布。这些电荷电流的存在又使得界面两侧场量发生跃变。例如图 1-11（a）所示的介质与真空分界的情形，在外场 E0 。作用下，介质界面上产生面束缚电荷，这些束缚电荷本身激发的电场在介质内与 E0。反向，在真空中与 E0。同向。束缚电荷激发的场与外场 E0。叠加后得到的总电场如图 1-11（b）所示，由图看出两边的电场E1 和 E2 在界面上发生跃变。边值关系就是描述两侧场量与界面上电荷电流的关系。由于场量跃变的原因是面电荷电流激发附加的电磁场，而积分形式的麦氏方程

18、可以应用于任意不连续分布的电荷电流所激发的场，因此研究边值关系的基础是积分形式的麦氏方程组。下面我们分别求出场量的法向分量和切向分量的跃变。1. 法向分量的跃变 麦氏方程组（4.1-23）的积分形式为SLdtlBESftIlDH （4.1-29）SfdQ0B式中 If 为通过曲面 S 的总自由电流，Q f 为闭合曲面内的总自由电荷。把这组方程应用到界面上可以得到两侧场量的关系。为了弄清楚边界条件的物理意义，我们先把总电场的麦氏方程fpEdSA。 Q （4.1-30 ）应用到两介质边界上的一个扁平状的柱体（图 1-12） 。上式左边的面积分遍及柱体的上下底和侧面，Q f 和 QP 分别为柱体内的总自由电荷和总束缚电荷，它们等于相应的电荷面密度 f 和 P 乘以底面积 S。当柱体的厚度趋于零时，对侧面的积分趋于零，对上下底积分得(E 2n E1n)S 由（ 4.1-30）式得