1、一次函数的图象和性质的讲解这几天也正好在学习有关函数的内容，我就简单地介绍一下我是如何讲解一次函数的图像和性质。 （仅代表个人的见解）一、知识要点： 1、一次函数：形如 y=kx+b (k0, k, b 为常数)的函数。 注意：（1）k0,否则自变量 x 的最高次项的系数不为 1； （2）当 b=0 时，y=kx，y 叫 x 的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与 y 轴交于（0，b）；与 x 轴交于（-，0） （2）由图象可以知道，直线 y=kx+b 与直线 y=kx 平行，例如直线：y=2x+3 与直线 y=2x-5 都与直线 y=2x 平行。 3
2、、性质： (1)图象的位置: (2)增减性 k0 时，y 随 x 增大而增大 k0 时，y 随 x 增大而减小 4、求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：
3、 利用一次函数的定义构造方程组。 利用一次函数 y=kx+b 中常数项 b 恰为函数图象与 y 轴交点的纵坐标，即由 b 来定点；直线 y=kx+b 平行于 y=kx，即由 k 来定方向 。利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 利用题目已知条件直接构造方程 。二、例题举例： 例 1已知 y= ，其中 = (k0 的常数)， 与 成正比例，求证 y 与 x 也成正比例。 证明： 与 成正比例， 设 =a (a0 的常数), y= , = (k0 的常数), y= a =akx， 其中 ak0 的常数， y 与 x 也成正比例。 例 2已知一次函数 =(n-2)x+ -n-3
4、的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3- ) 是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解：依题意，得 解得 n=-1， =-3x-1, =(3- )x, 是正比例函数； =-3x-1 的图象经过第二、三、四象限， 随 x 的增大而减小；=(3- )x 的图象经过第一、三象限， 随 x 的增大而增大。说明：由于一次函数的解析式含有待定系数 n，故求解析式的关键是构造关于 n 的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与 y 轴交点纵坐标”来构造方程。 例 3直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行，且与直线 y=-3(x-6)相交，交
5、点在 y 轴上，求此直线解析式。 分析：直线 y=kx+b 的位置由系数 k、b 来决定：由 k 来定方向，由 b 来定与 y 轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数 k相等。例 y=2x,y=2x+3 的图象平行。 解：y=kx+b 与 y=5-4x 平行， k=-4, y=kx+b 与 y=-3(x-6)=-3x+18 相交于 y 轴， b=18， y=-4x+18。 说明：一次函数 y=kx+b 图象的位置由系数 k、b 来决定：由 k来定方向，由 b 来定点，即函数图象平行于直线 y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定 k，由与 y 轴交点定 b。 例 4直
6、线与 x 轴交于点 A（-4，0），与 y 轴交于点 B，若点B 到 x 轴的距离为 2，求直线的解析式。 解：点 B 到 x 轴的距离为 2， 点 B 的坐标为（0，2）， 设直线的解析式为 y=kx2, 直线过点 A（-4，0）， 0=-4k2, 解得：k= , 直线 AB 的解析式为 y= x+2 或 y=- x-2. 说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。 （1）图象是直线的函数是一次函数； （2）直线与 y 轴交于 B 点，则点 B（0， ）； （3）点 B 到 x 轴距离为 2，则| |=2； （4）点 B 的纵坐标等于直线解析式的
7、常数项，即 b= ； （5）已知直线与 y 轴交点的纵坐标 ，可设 y=kx+ ， 下面只需待定 k 即可。 例 5已知一次函数的图象，交 x 轴于 A（-6，0），交正比例函数的图象于点 B，且点 B 在第三象限，它的横坐标为-2，AOB 的面积为 6 平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。 分析：自画草图如下： 解：设正比例函数 y=kx， 一次函数 y=ax+b， 点 B 在第三象限，横坐标为-2， 设 B（-2， ），其中 0， =6， AO| |=6， =-2， 把点 B（-2，-2）代入正比例函数 y=kx，得 k=1 把点 A（-6，0）、B（-2，-2）代入 y=ax+b， 得 解得： y=x, y=- x-3 即所求。 说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示； （2）此例需要把条件（面积）转化为点 B 的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式 AOBD=6（过点 B 作 BDAO 于D）计算出线段长 BD=2，再利用| |=BD 及点 B 在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点 B 的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点 B 可能在第二象限（-2，2），结果增加一组 y=-x, y= (x+3).
