破解椭圆中最值问题的常见策略.doc

1、破解椭圆中最值问题的常见策略第一类：求离心率的最值问题 破解策略之一：建立 的不等式或方程cba,例 1：若 为椭圆 的长轴两端点， 为椭圆上一点，使 ，求此椭圆BA, )0(12byax Q012AQB离心率的最小值。分析：建立 之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦cb,点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中 的取值进行求解离心率的最值。yx,解：不妨设 ，则 ，利用到角公式及 得：),(0,(),yxQaBAaxykxykBQAQ, 012AQB（ ） ，又点 在椭圆上，故 ，消去 ， 化简得 又012tn1

2、axy 22bx23caby即 则 ，从而转化为关于 的高次不等式 解得 。故bbc234223)(4cae04324e16e椭圆离心率的最小值为 。 （或 ，得： ，由 ，故 ）622()bab0ba21()ba3（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立 之间的关系。常用椭圆上的点 表示成 ，并利用 椭圆中c, ),(yxc,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。yx,破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围例 2：已知椭圆 C： 两个焦点为 ，如果曲线 C 上存在一点 Q，使 ，求椭圆离21(0)xyab12,F12F心率的最小值。分析：根据条

3、件可采用多种方法求解，如例 1 中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：故 ，故椭圆离心率的最小cosin2cosinsiin90si22121 aPFPFc 2)45sin(210e值为 。2点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解 题，真是柳暗花明又一村。第二类：求点点（点线）的最值问题破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法）例 3：（05 年上海）点 A、B 分别是椭圆 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且12036yx位于 轴

4、上方， 。 （ 1）求点 P 的坐标；（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于xFP，求椭圆上的点到点 M 的距离 的最小值。|MBd分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。解：（1）略（2）直线 AP 的方程是 +6=0。 设点 M( ,0),则 M 到直线 AP 的距离是 。x3ym26m于是 = ,又6 6,解得 =2。 设椭圆上的点( , )到点 M 的距离 6mm xyd,由于6 6, 当 = 时,d 取得最小值22222549()40()15dxyxx2915点评：对于此类最值问题关键是

5、如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数二次函数的最值问题求解。破解策略之四：利用椭圆定义合理转化例 4：定长为 的线段 AB 的两个端点分别在椭圆dba2上移动，求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 的最短距离。)0(12byax l解：设 F 为椭圆的右焦点，如图作 于 A，BB 于 B，MM 于 M，则AllledABFAeBFeBAM 221212 | / 当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立。故 M 到椭圆右准线的最短距离为 。d点评： 是椭圆的通径长，是 椭圆焦点弦长的最小值， 是 AB 过焦点的充要条件。通过定义转化避免各种 烦2ba dba2琐的运算过程。第五类：求线段之和（

6、或积）的最值问题破解策略之五：利用垂线段小于等于折线段之和。例 7：若椭圆 内有一点 ， 为右焦点，椭圆上的点 使得 的值最小，则点1342yx,1PFM|2|FP的坐标为 A B C DM26(,)26(,)33(1,)2(,)提示：联系到 将 用第一定义转化成点到相应准线的距离问题，利用垂线段最短的思想容易得到正确答1e|F案。选 。思考：将题中的 2 去掉会怎样呢？B破解策略之六：利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边例 8：如图，在直线 上任意取一点 ，经过 点且以椭圆 的焦点作椭圆，问当 在09:yxl M132yxM何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？

7、分析：要使所作椭圆的长轴最短，当然想到椭圆的定义。基本的解题思路如下：长轴最短 三点一直线 寻求对称对称变换。在一系列的变化过程中巧妙的运用对称，使我们找到一种简明的解题方法。通过此对称性主要利用解：椭圆的两焦点分别为 （3，0）、 （3,0），| /121FNF1F2作 关于直线 的对称点 ，则直线 的方程为l 1yx由方程组 得 的坐标（6，3），9yxP由中点坐标公式得的 坐标（9,6）,所以直线 的方程 。1F12F32yx解方程组 得 点坐标（5,4）。由于 ， 932yxM568021a点评：对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和大于第三边或两点连线最短、垂线段最短的思

8、想。PMyOlF1 F2 x1N解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量 ku,1或 nmu,；（2）给出 OBA与 相交,等于已知 OBA过 的中点;（3）给出 0PNM,等于已知 P是 MN的中点;（4）给出 Q,等于已知 ,与 Q的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一： ACB/；存在实数 ABC且；若存在实数,1,O且,等于已知 ,三点共线.（6） 给出 P，等于已知 P是 的定比分点， 为定比，即 PBA（7） 给出 0MBA,等于已知 MBA,即 是直角,给出 0mM,等于已知 AMB是钝角, 给出 m,等于已知 是锐角,（8）给出 PBA,等于已知 是

9、 的平分线/（9）在平行四边形 CD中，给出 0)()(ADBA，等于已知 ABCD是菱形;（10） 在平行四边形 中，给出 |，等于已知 是矩形;（11）在 AB中，给出22OCB，等于已知 是 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在 C中，给出 0A，等于已知 是 ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在 AB中，给出 OCBO ，等于已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点） ；（14）在 C中，给出 AP()|)(R等于已知 AP通过 BC的内心；（15）在 AB中，给出 ,0OCcBba等于已知 是 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点） ；（16） 在 ABC中，给出 12DABC,等于已知 AD是 BC中 边的中线;