1、第 1 页 共 4 页一、空间直角坐标系的建立的常见方法运用“坐标法”解答空间几何体问题时，往往需要建立空间直角坐标系依据空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系，是解决问题的基础和关键 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 例 1、在正方体 ABCDA BC D中，点 M 是棱 AA的中点，点 O 是对角线 BD的中点.（）求证：OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线；（）求二面角 MBCB的大小；w_w w. k#s5_u.c o*m例 2、如图，在直三棱柱 中，1ABCAB=1， ，ABC=60 .130()证明： ；（）求二面角 A B 的大小。w
2、.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1C二、利用线面垂直关系建系例 3、已知三棱锥 PABC 中，PA 面 ABC，ABAC，PA=AC= AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,12M,S 分别为 PB,BC 的中点.（）证明：CMSN ；（）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.DABCMOACBAC1B1A1第 2 页 共 4 页例 4、如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB= 2，CE=EF=1.（）求证： AF平面 BDE；（）求证： CF平面 BDE；（）求二面角 A-BE-D 的大小。例 5、如图，在三棱锥 中， ，PABC
3、2， ， 90ACB（）求证： ；（）求二面角 的大小；（）求点 到平面 的距离例 6、 如图 2，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C 1 的一点，EAEB1已知 ，BB 12，BC1，BCC 1 B3求二面角 AEB 1A 1 的平面角的正切值ACBPzxy第 3 页 共 4 页三、利用面面垂直关系建系例 7、如图 3，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD（1）证明 AB平面 VAD；（2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值例 8、在直三棱柱 中，1AB
4、CABBC，D、E 分别为 的中点，（1）证明：ED 为异面直线 与 的公垂线；1（2）设 ，求二面角 的大小12ACB11ADC例 9、四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC底面 ABCD。已知ABC45，AB2，BC= ，SASB 。23()证明：SABC；()求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小；例 10、如图，直三棱柱 1ABC中，ACB， 1， D为 的中点， E为 1AB上的一点，3E（）证明： E为异面直线 1与 C的公垂线；（）设异面直线 1AB与 D的夹角为 45，求二面角11AC的大小DBCASOyxz第 4 页 共 4 页bana四、利用
5、正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例 11 已知正四棱锥 VABCD 中，E 为 VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a，高为 h（1）求DEB 的余弦值；（2）若 BEVC，求 DEB 的余弦值二、求平面的法向量法向量的定义：如果向量 平面 ，那么向量 叫做平面 的法向量。平面的法向量aa共有两大类（从方向上分），且有无数条。方法：1、 找现成的面的垂线；2、 不定方程组法：设平面 的法向量为 ， 是平面 内的 2 个相交向量，(,)nxyz12(,)(,)axyzbxyz和 由可得一个含 的不定方程组，然后在 中任取一个好算的值（一般不能取0nab,z,z0）即可得一个法向量 。n3、 矢量积法：= =1122ijknabxyz111222,zxy2121221(,)zyxzyx注意： 与 都垂直，并且按 ， ， 这个顺序构成右手系。,b
