1、第 1 页 共 5 页合理构造函数解导数问题构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键。例 1：已知函数 axaxf 231ln.(1) 若 32为 y的极值点，求实数 的值；(2) 若 xf在 ,上增函数，求实数 的取值范围；(3) 若 1a时，方程 xbxf31有实根，求实数 b的取值范围。变量分离直接构造函数抓住问题的实质，化简函数1、已知 xf是二次函数，不等式 0xf的解集是 5,，且 xf在区间 4,1上的最大值 2. （1 ）求 f的解析式；（2 ）是否存在自然数 m，使得方程 037xf
2、在区间 1,m内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由。变式练习：设函数 Rxf,563，求已知当 ,时，1xkf恒成立，求实数 k的取值范围。抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题例： 已知函数 xnfl的图像在点 ),(mfP处的切线方程为 ,xy设 .2xmg（1 ） 求证：当 1时， 0xg恒成立；第 2 页 共 5 页（2 ） 试讨论关于 x的方程 txexgnm23根的个数。一次函数，二次函数，指对数函数，幂函数，简单的分式根式函数，绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口
3、，使问题简单化明确化。复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。例：已知函数 232412xaxxf 在区间 1,上单调递减，在区间 2,1上单调递增。（1 ） 求实数 a的值.（2 ） 若关于 x的方程 mfx2有 3 个不同的实数解，求实数 m的取值范围.（3 ） 若函数 pylog的图像与坐标轴无交点，求实数 p的取值范围。复合函数尤其是两次复合，一定要好好掌握，构造两种函数逐层分解研究，化繁为简，导数仍然是主要工具。导数构造函数一：常规的构造函数例一. 若 ，则角 的取值范围是( )33sincosin,02(A) (B) (C) (D)0,4,45,43
4、,42变式、已知 成立，则下列正确的是（ ） 5xyxyA. B. C. D. 000xy0xy变式. 为 的导函数，若对 ， 恒成立，则下列命题可能()fxf R22()ff错误的是( )A B C D0f(1)4ff14ff4()1ff二：构造一次函数例二、对于满足|a| 2 的所有实数 a,求使不等式 x2+ax+1a+2x 恒成立的 x 的取值范围.第 3 页 共 5 页三：变形构造函数例三已知函数 ， 21()(1)lnfxaxxa（）讨论函数 的单调性； （）证明：若 ，则对任意 ， ，有 5a12,(0,)x12x12()1fxf例四、已知函数 .2()lnfxa（）讨论函数 的
5、单调性； （）设 ，证明：对任意 ， .2a12,(0,)x1212|()|4|fxfx四：消参构造函数例五、设函数 有两个极值点 ，且 21fxalnx12x， 12x（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；af（II）证明： 24lfx五：消元构造函数例六、已知函数 xfln， xeg （）若函数 1f，求函数 的单调区间； （）设直线 l为函数的图象上一点 0,xfA处的切线证明：在区间 ,1上存在唯一的 0x，使得直线 l 与曲线 gy相切 第 4 页 共 5 页六：二元合一构造函数例七、已知函数 且导数21()ln(0)fxaxb(1)0f（1 ） 试用含有 的式子表示 ，并求 的单
6、调区间；af（2 ）对于函数图象上的不同两点 如果在函数图象上存在点12,AyBx（其中 ）使得点 处的切线 ，则称 存在“跟随切线” 。0(,)Mxy012(,)xM/lAB特别地，当 时，又称 存在“中值跟随切线” 。试问：在函数 上是否存 ()fx在两点 使得它存在 “中值跟随切线” ，若存在，求出 的坐标，若不存在，说明理AB、 、由。七：构造函数解不等式例八、设函数 f(x) (其中 m - 2)的图像在 x=2 处的切线与直xm1223线 y= -5x+12 平行；（）求 m 的值与该切线方程；（）若对任意的 恒成立，则求 M 的最小值；xffx2121,0,（）若 0, b 0,
7、 c 0 且 a+b+c=1，试证明：a 1091222cba例九、设函数 ()ln1fxpx（）求函数 的极值点（）当 时，若对任意的 ，恒 有 ，求 的取值范围。00()0fxp（）证明：222ln3ln4l1(,2)nNn第 5 页 共 5 页例十、证明：对任意的正整数 n，不等式 都成立.321)1l(n1、移项法构造函数【例 1】已知函数 ，求证：当 时，恒有xxf)1ln() 1x xx)1ln(2、作差法构造函数证明【例 2】已知函数 求证：在区间 上，函数 的图象在函数.l2)(xxf ),()(f的图象的下方；3g3、换元法构造函数证明【例 3】证明：对任意的正整数 n，不等式 都成立.321)1l(n4、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数 y= 在 R 上可导且满足不等式 x 恒成立，且常数 a， b 满)(xf )(f)(xf足 ab，求证： a b f
