用射影面积法求二面角在高考中的妙用.doc

1、1用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码 530007）立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理 已知平面 内一个多边形的面积为 S，它在平面 内的射影图形的面积为 ，平面 和平面S所成的二面角的大小为 ，则 .cos本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平

2、面 内的ABC 在平面 的射影为 ，作 于 D，连结 AD.BCA 于 ， ，AD在 内的射影为 .A又 ，BC,（三垂线定理的逆定理）.为二面角 BC 的平面角.设ABC 和 的面积分别为 S 和 ， ，则 . ADDABCSS21,21.ADBC21cos典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例 1 如图, 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 A A1 棱的中点，则面 BE C1 与面 AC 所成的二面角的大小为( )A. B. C. D. 452arctn42arctn32arcos解：连结 AC，则 在面 AC 内的射影是ABC，设它们的1E面积分别为

3、S 和 ，所成的二面角为 . 设正方体的棱长为 2，则 AB = BC = 2， .31)2(,2,511 ECBE0cossin,10cos11 BBCB .3,2,3sin2 SASES .3arco故答案选 D.例 2（04 北京）如图, 已知四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形, SD面 AC, SB = . 3(1) 求证:BC SC;(2) 求面 ASD 与面 BSC 所成的二面角的大小 ;(3) 设棱 SA 的中点为 M, 求异面直线 DM 与 SB 所成的角的大小.（1）证明： SD面 AC，SC 在面 AC 内的射影是 SD.又 四边形 ABCD 是正方形， 面

4、AC，BCBCSC（三垂线定理）.AB D CA BD1 C1D CA1 B1EA BD1 C1D CA1 B1EA BD CS BM B2（2）解： SD面 AC， 面 AC， .CDCDS又 四边形 ABCD 是正方形， .A而 ， CD面 ASD.SA又 ABCD， BA面 ASD.SBC 在面 SAD 的射影是 SAD，设它们的面积分别为 S 和 ，所成的二面角为 . .1,2,3,1,90 22 CDBSBCB故 .cos,1221 DASS 4所以面 ASD 与面 BSC 所成的二面角的大小为 .4（3）解：取 AB 的中点 E，连结 DE、ME.， MESB.BAMS,异面直线

5、DM 与 SB 所成的角就是 ，设 .ME，25,2312ADE.1,SSDS. 故 .02cos2EM2所以异面直线 DM 与 SB 所成的角的大小为 .解法二：面 SAD，BASB 在面 SAD 内的射影是 SA.又 .SADSD,1而 面 SAD， （三垂线定理）.B所以异面直线 DM 与 SB 所成的角的大小为 .2例 3 （04 浙江）如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB = ，AF = 1，M 是线段 EF 的中点. 2(1) 求证：AM平面 BDE；(2) 求证：面 AE平面 BDF；(3) 求二面角 ADFB 的大小 .证明：（1）设 ，则 ，

6、连结 OE.ODCAC2四边形 ACEF 是矩形， ，EF1，EMAO.EM四边形 AOEM 是平行四边形，从而 AMEO.又 平面 BDE，OAM平面 BDE.（2） 四边形 ABCD 是正方形， .ACBD又 正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， ，面 BD 面 AE= AC ，ACE，从而 .BDEC面EC而 ， .A面平面 BDF，面 AE平面 BDF.D AMC BE FD AMC BE FOA BD CS BM BEA BD CS BM B3（3）解： ， .AFDAB, DFB面BDF 在面 ADF 上的射影是 ADF，设它们的面积分别为 S 和 ，所成的二面

7、角为 . AB = ，AF = 1， .2 3,2,连结 FO，则 .,OFO.21cos, SASBDS 故 .3所以二面角 ADFB 的大小为 .3例 4 （08 天津）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，已知 AB = 3，AD = 2，PA = 2， .60,2PABD（1）证明：AD平面 PAB；（2）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小；（3）求二面角 PBDA 的大小 .（1）证明： ,D.22A，即 .90又 四边形 ABCD 是正方形，.B而 ，AB 、PA 面 PAB，PAD平面 PAB.（2） ADBC，异面直线 PC 与 AD 所成的角就是 P

8、C 与 BC 所成的角，即 .PCB在PAB 中，AB = 3，PA = 2， ，60,APD.72BABP由（1）得，AD平面 PAB.，即 . C90又 BC = AD = 2，. .7tan2arctnPC所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为 .7（3）作 于 E，连结 DE.ABP由（1）知， ，而 ，DAD面 ABCD.EPBD 在面 ABCD 内的射影是 EBD，设它们的面积分别为 S 和 ，所成的二面角为 . .2,160cos,132 AEBPEAB.145cosin42cos PDDBP.,5sin21 DSS， .54cosarcosD AMC BEFOPA DB

9、 CEPA DB C4所以二面角 PBDA 的大小为 .54arcos点评：例 1 和例 2 中的二面角就是无棱二面角，例 3 和例 4 中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛1.（05 全国）如图，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面VAD底面 ABCD.（1）证明：AB平面 VAD；（2）求面 VAD 与面 VDB 所成二面角的大小 .2.（06 全国）如图，在直三棱柱 ABC 中，AB = BC ，D、E 分别为

10、 、 的中点.1CBA1BAC（1）证明：ED 为异面直线 和 的公垂线；1（2）设 ，求二面角 的大小.AC2113.（07 陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，AD BC， ，PA 平面90ABCABCD，PA = 4，AD = 2， ，BC = 6.3AB（1）求证：BD平面 PAC；（2）求二面角 APCD 的大小.4. （ 09 湖北）如图，四棱柱 SABCD 的底面是正方形，SD 平面 ABCD，SD = AD = a ，点 E 是 SD上的点，且 （0 ）.aDE1（1）求证：对任意 ，都有 ACBE；,（2）若二面角 CAED 的大小为 ，求 的值.60金指点

11、睛的参考答案1.（05 全国）如图，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面VAD底面 ABCD.（1）证明：AB平面 VAD；（2）求面 VAD 与面 VDB 所成二面角的大小 .（1）证明：取 AD 的中点 E，连结 VE.ADAVD,又 平面 VAD底面 ABCD，VE 平面 VAD，SA BD CEVD CA B1C BADE1EB CA DPVD CA B5VE底面 ABCD. VA 在底面 ABCD 的射影是 AD.ABAD，AB 底面 ABCD， ABVA（三垂线定理）.而 VA、AD 平面 VAD，,ADV故 AB平面 VAD.（2）由

12、（1）可知，AB平面 VAD，VBD 在平面 VAD 的射影是VAD ，设它们的面积分别为 S 和 ，所成的二面角为 . 设正方形的边长为 1，则 .2,22VABB.47cos1sin432cos BDVDVB.436021,7in21 DSS， .7cosarcos所以面 VAD 与面 VDB 所成二面角的大小为 .71arcos2.（06 全国）如图，在直三棱柱 ABC 中，AB = BC ，D、E 分别为 、 的中点.1CBA1BAC（1）证明：ED 为异面直线 和 的公垂线；1（2）设 ，求二面角 的大小.AC211（1）证明：取 AC 的中点 F，连结 EF、BF. .E,1112

13、,F在直三棱柱 ABC 中， 面 ABC， ， ， ，B1BC112BDDB，EF= DB， 面 ABC.EF四边形 BDEF 是矩形. 从而 .1D在 Rt ABD 和 Rt 中，C1.AB1 ,90, Rt ABDRt .B. 而 D,1E1AC所以 ED 为异面直线 和 的公垂线.（2）解：连结 . .1 22,2BCAB，即 面90CA11在面 内的射影是 .1AB 在面 内的射影是 .设它们的面积分别为 S 和 ，所成的二面角为 .1D 设 AB = BC = 1，则 .2,26,2,2 221 AEDBA. 4,1 BSDEACS .3,1cos S所以二面角 的大小为 .133.

14、（07 陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，AD BC， ，PA 平面90ABCABCD，PA = 4，AD = 2， ，BC = 6.A（1）求证：BD平面 PAC；1CC BADE1CC BADE1F 1CC BADE16（2）求二面角 APCD 的大小.（1）证明：在 RtABD 和 RtABC 中， ，90BADCAD = 2， ，BC = 6.3B.3tan,tanA. 而 ，0AC90，即 .9DB又 PA平面 ABCD， 平面 ABCD， .BDP，PA 、AC 平面 PAC，P故 BD平面 PAC.（2）解：连结 PE. 由（1）知， BD平面 PAC.PDC

15、 在平面 PAC 内的射影是 PEC，设它们的面积分别为 S 和 ，所成的二面角为 . PA平面 ABCD， ， （三垂线定理）.ABC，从而 . 722PAB 82BCP.7)(,52ADDD.30cos30,90EE.5431cos1in,42cos 22 PPC.6,1sin1 PACSS所以二面角 APCD 的大小.39arcos,39cos .319arcos4. （ 09 湖北）如图，四棱柱 SABCD 的底面是正方形，SD 平面 ABCD，SD = AD = a ，点 E 是 SD上的点，且 （0 ）.DE1（1）求证：对任意 ，都有 ACBE；,（2）若二面角 CAED 的大小

16、为 ，求 的值.60（1）证明：连结 BD. 四边形 ABCD 是正方形， .BAC又 SD平面 ABCD，SD = a ，点 E 是 SD 上的点，且 （0 ） ，a1点 E 在线段 SD 上，且不与点 D 重合，因而 BE 在平面 ABCD 内的射影是 BD.对任意 ，都有 ACBE（三垂线定理）.,（2）解：设 ，连结 EO.OBACSD平面 ABCD，点 E 是 SD 上的点， 平面 ABCD， .CCDS又 四边形 ABCD 是正方形， .A而 ，SD、AD 面 SAD. CE 在平面 SAD 内的射影是 AE.DSCAE 在在平面 SAD 内的射影是DAE. 设它们的面积分别为 S 和 ，所成的二面角为 ，则 .60.aaEaaEA 2221)(,2, .AOCO4.21cos,21,2121 SDSS解得 ，所以 的值为 .EB CA DPEB CA DPSA BD CEO1