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1、第九章假設檢定, 滄海書局,第 9 章假設檢定,建立虛無假設與對立假設 型和型錯誤 母體平均數的單尾檢定：大樣本的情況 母體平均數的雙尾檢定：大樣本的情況 母體平均數的假設檢定：小樣本的情況 continued,第 9 章假設檢定,母體比例的假設檢定 假設檢定與決策 計算型錯誤的機率 在檢定母體平均數時決定樣本數,建立虛無假設與對立假設,利用假設檢定(hypothesis testing)來決定要不要拒絕某項針對母體參數所建立的假設。以 H0 來表示虛無假設，其針對母體參數做一個暫時性的假設。以 Ha 來表示對立假設，其與虛無假設的敘述剛好相反。 假設檢定類似於罪犯試驗，其假設為：H0: 被告

2、無罪Ha: 被告有罪,檢定研究的假設 研究的假設應表達為對立假設。 樣本資料顯示出應拒絕虛無假設，則可下結論此研 究性的假設為真。,建立虛無假設與對立假設,建立虛無假設與對立假設,檢定一項宣稱的有效性 我們通常會先對廠商的宣稱給予善意的回應，並將其敘述視為虛無假設。 假若樣本資料顯示出應拒絕虛無假設的話，即可下結論此宣稱為偽。,決策時的檢定 決策者必須在兩種可能的行動方案間做選擇的時候，其中一個與虛無假設有關，另一個與對立假設有關。 Example: 接受或退回整批零件給供應商。,建立虛無假設與對立假設,有等號的部分一定置於虛無假設中。 一般而言，對於母體平均數 的假設檢定有下列三種形式（ 0

3、 為母體平均數的假設值）： H0: 0 H0: 0 Ha: 0,虛無假設與對立假設的各種形式,範例,虛無與對立假設某飲料製造商宣稱他們的 2 公升容器中平均至少裝有67.6盎司之飲料，現抽出若干 2 公升容器的飲料以檢定此一宣稱。在此類的假設檢定中，我們通常先假設廠商的宣稱為真，除非有證據顯示其為假。因此，在此範例中，虛無假設與對立假設將為：,範例,虛無與對立假設假設 結論H0: 67.6 如果樣本資料顯示不能拒絕，則廠 商的宣稱將暫時得以成立 Ha: 67.6 若樣本資料提示可以被拒絕，則可 知廠商的宣稱是不正確的，2 公升 飲料瓶的平均裝瓶重量小於67.6盎 司，消費者可以進一步提出抗議。

4、,型和型誤差,因為假設檢定是以樣本資料為基礎，所以我們必須容許錯誤的可能性。 型錯誤(type error)，即我們拒絕 H0 ，但事實是 H0 為真。 型錯誤(type error)，即事實 H0 為假，卻接受 H0 。 實務上在進行假設檢定時，允許犯型錯誤的最大機率稱為該檢定的顯著水準，記為 。一般來說，型錯誤的機率則不在控制中，記為 。統計學家通常建議我們用不拒絕H0 (do not reject H0 )，而不用接受H0 ( accept H0)的陳述。,型和型誤差 事實 結論 H0 為真 Ha 為真 (24 ) (24 ) 接受 H0 正確的 型 (結論 24 結論 誤差 拒絕 H0

5、 型 I 正確的 (結論 24 誤差 結論,範例,p 值的用法,p 值為樣本結果至少比目前這個觀測值更不可能的機率。 p 值可對假設檢定做出結論：若 p 值小於顯著水準 ，則檢定統計值落於拒絕域。 若 p 值小於顯著水準 ，則檢定統計值並非落於拒絕域。 若 p 值 ，則拒絕 H0 。,假設檢定的步驟,決定適當的假設。 定出顯著水準 。選擇一個用來檢定假設的檢定統計量。使用檢定統計量利用 定出檢定統計量的臨界值及拒絕法則。 蒐集樣本資料並計算檢定統計量的值。 比較檢定統計量的值和拒絕法則的臨界值(s) ，以決定是否拒絕 H0 。使用 p 值 蒐集樣本資料以計算檢定統計量的值。運用檢定統計量的值計

6、算 p 值。若 p 值 ，則拒絕 H0 。,假設 或檢定統計量 已知 未知拒絕法則 ,若 z z ，則拒絕 H0,母體平均數的單尾檢定：大樣本的情況 (n 30),範例,母體平均數的單尾檢定：大樣本情況Hilltop咖啡的例子中，在 = 0.01下的 z 分 配,0.01,0,拒絕 H0,c = -2.33 (臨界值),範例,母體平均數的單尾檢定：大樣本情況在Hilltop咖啡的例子中，假設 n = 36罐， = 2.92磅， 0 = 3， = 8，計算檢定統計量 z由於 2.67小於 2.33，所以檢定統計量的值落在拒絕域內，因此，我們拒絕 H0： 0 3。,範例,運用 p 值假設檢定以Hi

7、lltop咖啡的例子而言，樣本平均數 = 2.92使得檢定統計量 z = -2.67，由於拒絕的分配在左尾， p 值是 z -2.67的機率。由於 p 值為0.0038 小於 z ，則拒絕 H0,母體平均數的雙尾檢定：大樣本的情況 (n 30),H0: =Ha: ,範例,母體平均數的雙尾檢定：大樣本情況美國高爾夫球協會(The United States Golf Association, USGA)定出一套規則，球具製造商必須遵守該規則，其產品才可在USGA的高爾夫球賽中使用。其中有一條規則是：任一品牌的高爾夫球必須在USGA總部的戶外練習場以USGA認可的設備進行測試。測試原則是一桿擊出後

8、到球停止時的平均距離不能超過280碼。假設Superflight公司最近發展出一種高科技製程，可使高爾夫球的平均移動距離為280碼。 但是Superflight公司了解其新製程若沒有善加調整，所製造的高爾夫球平均的移動距離可能會超過也可能會低於280碼。如果少於280碼，產品會被當成次級品上市；如果超過280碼， USGA可能會拒絕使用。因此，Superflight的主管當局建立了一套品管制度，以監控此一新的製程。,範例,母體平均數的雙尾檢定：大樣本情況在此品管制度中，檢驗員必須定期地從生產線中抽出高爾夫球樣本，並且依照USGA的規定進行測試。 虛無與對立假設 H0: 280Ha: 280拒絕

9、法則若 z 1.96，則拒絕 H0,範例,母體平均數的雙尾檢定：大樣本情況,0,0,1.96,拒絕 H0,接受 H0,z,拒絕 H0,0,-1.96,範例,母體平均數的雙尾檢定：大樣本情況假設隨機抽取一組36個高爾夫球的樣本進行測試，樣本平均數為 碼，而樣本標準差為 s = 12碼，以 代入虛無假設且以樣本標準差s = 12代替值，則檢定統計量的值為： 根據拒絕法則，H0 不能被拒絕，此抽樣結果顯示品管經理沒有理由懷疑目前的製造程序不會產生平均擊球距離為280碼的高爾夫球。,範例,雙尾檢定的 p 值在雙尾檢定下之 p 值是多少呢？在Superflight的例子中，p 值為2(0.2266)=0

10、.4532，這樣定義的好處是我們可以直接拿 p 值和顯著水準 相比；因 0.4532 0.05，所以虛無假設不能被拒絕。記得雙尾檢定的值為單尾檢定的兩倍，則先前的準則若 p 值 t ，拒絕 H0 H0: 若 t t ，拒絕 H0,母體平均數的假設檢定：小樣本情況 (n 7若H0被拒絕，則可認為Heathrow機場的確提供了優越的服務。,範例,母體平均數的單尾檢定：小樣本情況本問題的拒絕域是在抽樣分配的右尾。假設 n = 10, = 7.75且 s = 1.215，自由度 = 16-1 = 15，a = .05, ta = 1.753 由於2.14比1.796大，所以拒絕虛無假設，亦即，在0.0

11、5的顯著水準下，我們可以認為Heathrow機場評分大於7分。,母體平均數假設檢定之檢定統計量程序的彙整,n 30 ?,s 已知 ?,母體是否接近常態 ?,s 已知 ?,用 s 估計 s,用s 估計s,增加 n到 30,是,是,是,是,否,否,否,否,母體比例的虛無與對立假設的彙整,有等號的部分一定置於虛無假設中。 一般來說，有關母體比例 p 的假設檢定有下列三種形式(其中 p0 代表母體比例的特定假設值) ：,檢定統計量其中拒絕法則 單尾 雙尾 H0: pp 若z z ，拒絕 H0 H0: pp 若z z ，拒絕H0,母體比例的檢定統計量 ：大樣本情況 (np 5 及 n(1 - p) 5)

12、,範例,母體比例的右尾檢定：大樣本情況以Pine Creek 高爾夫球場的範例來進行說明。過去數個月中，Pine Creek 高爾夫球場只有20%的女球友，為了提高女性打球的比例，Pine Creek 推出了一種優惠方案。一個星期之後，隨機抽出400位球友，其中300位為男性， 100位為女性，球場經理想要根據樣本資料確定女球友之比例是否有增加。,範例,母體比例的右尾檢定：大樣本情況虛無與對立假設 H0: p = 0.20 Ha: p 0.20 統計檢定,範例,母體比例的右尾檢定：大樣本情況拒絕法則若 z 1.645，則拒絕H0結論由於檢定統計量的值 z = 2.5 1.645，所以我們拒絕H

13、0；亦即，Pine Creek 球場經理可以相信優惠方案的確會增加女球友的比例。,假設檢定與決策,在許多做決策的情況下，無論結論是拒絕 H0 或不拒絕 H0 ，決策者都不得不採取某些行動。在這種決策情況下，我們會建議在假設檢定時要進一步地考慮發生型錯誤的機率。,計算型 II 誤差的機率,1. 建立虛無及對立假設。2. 以顯著水準 建立檢定統計量的拒絕法則。3. 利用拒絕法則，計算樣本平均數以確認假設檢定的拒絕域。4. 由步驟 3 的結果來描述各種會導致接受 H0 的樣本平均數的值，也就是定義出檢定的接受域。 5. 從對立假設中找出任一 值的 的抽樣分配，由步驟4得到的接受域，計算樣本平均數會落

14、在接受域的機率。,範例,計算型 II 誤差的機率1. 虛無與對立假設為： H0: 0, Ha:0 2. 拒絕法則：z -1.645，則拒絕H03. 假定抽出36個電池，拒絕法則告訴我們在以下情況 時就拒絕H0 :4. 當 116.71，則拒絕 H0。,範例,計算型 II 誤差的機率5. 電池驗收問題的假設檢定中，發生型 II 錯誤的機率 m 值 b 1-b112 2.360.00910.9909114 1.3620.08690.9131115 0.860.19490.8051116.71 0.000.50000.5000117-0.150.55960.4404118-0.650.74220.2

15、578119.999-1.6450.95000.0500,範例,計算型 II 誤差的機率觀察上表：在 m 值越接近120時，型 II 錯誤就越接近上限，即0.95。當m 值離120越遠，型 II 錯誤的機率越低。,檢定力,在 H0 為偽時，正確地拒絕 H0 的機率稱為假設檢定的檢定力。對任何特定的 m 值，檢定力是 1 b。可將不同的 m 值與相對應的檢定力以圖形表示，此圖形稱為檢定力曲線。,其中z = 尾部面積為 時的 z 值z = 尾部面積為 時的 z 值 = 母體標準差0 = H0 中的母體平均數的值a = 發生型 II 錯誤時的母體平均數的真實值注意：若是雙尾檢定，式中的z則改為z /2。,在檢定母體平均數時決定樣本數,a, b 及 n 的關係,三個數值中只要有兩個已知，就可求出第三個數值。給定顯著水準 a 以後，增加樣本數 n 會降低 b 。給定樣本數 n 以後，, a 增加則 b 減少，a 減少則 b 增加。,End of Chapter 9,