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1、数字图像处理,武汉大学电子信息学院梅天灿Email : ,第四章 频域处理,1. 傅立叶变换2. 离散傅立叶变换,一：傅立叶变换,二：频域滤波,1. 一维傅立叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,一维傅立叶变换 设f(x)为实变量x的连续可积函数，则f（x）的正反傅立叶变换定义为：,式中j为虚数单位，x为时域变量，u为频域变量。,1. 一维傅立叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,函数的傅里叶变换一般是一个复数，它可由下式表示： F(u)= R(u)+jI(u) R(u)，I(u)分别为F(u)的实部和虚部。F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角.,(1),(2),(3),例

2、：f(x)为一简单函数，如图3-18(a)所示，求其傅立叶变换F(u)。,1. 二维傅立叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,如果二维函数f(x，y)是连续可积函数，则有下面二维傅里叶变换对存在：.,(1),(2),1. 二维傅立叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱如下式：,(1),(2),(3),(1) 一维离散傅里叶变换 设f(x)用N个互相间隔x单位的采样来离散化为一个序列，即 f(x0),f(x0+x),f(x0+N-1 x) 则其离散傅立叶变换对为:,2. 离散傅立叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,(1),(2),(3),(

3、1),(2),(3),离散傅里叶变换的幅度谱、相位谱和功率谱如下式：,2. 离散傅立叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,2. 离散傅立叶变换实例,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,等间隔采样的M点离散序列记为：,其傅里叶变换为：,采样间隔的关系为：,2. 离散傅立叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,(2) 二维离散傅里叶变换 对M行N列二维离散图像f(x,y)的傅里叶变换对为:,(1),(2),2. 离散傅立叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,二维离散傅里叶变换的幅度谱、相位谱功率谱如下式：,(1),(2),(3),频谱的频域移中 常用的傅里叶正反变换公式都是

4、以零点为中心的公式，其结果中心最亮点却在图像的左上角，作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角，这和我们正常的习惯不同，因此，需要把这个图像的零点移到显示的中心。例如把F(u,v)的原零点从左上角移到显示屏的中心。,2. 离散傅立叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,0,M-1之间的两个半周期的傅里叶谱,中心化的傅里叶谱,当u0=v0=N/2时当周期为N时，应在频域移动N2。利用傅立叶的频域移动的性质：,2. 离散傅立叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,2. 离散傅立叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,中心化的傅里叶谱,图像的傅里叶谱,3. 频域滤波-流程,第四章：频

5、域处理,傅式变换,频域滤波,假定原图像f(x,y)，经傅立叶变换为F(u,v)，频域增强就是选择合适的滤波器函数H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行调整，然后经逆傅立叶变换得到增强的图像g(x,y)。该过程可以通过下面流程描述：,其中,G(u，v)= H(u，v)F(u，v)H(u，v)称为传递函数或滤波器函数。,频域滤波的主要步骤：(1) 对原始图像f(x，y)*(-1)x+y进行傅里叶变换得到F(u,v).(2) 将F(u,v).与传递函数H(u,v)进行乘法运算得到G(u,v)。(3)将G(u，v)进行傅里叶逆变换得到增强图 g(x，y). g(x，y) )*(-1)x+y得到滤波后

6、的结果。(4) 频域滤波的核心在于如何确定传递函数，即H(u，v)。,3. 频域滤波-步骤,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,3. 频域滤波与空域滤波的关系,两个M*N的二维离散函数的卷积定义： 卷积定理：F(u,v)、H(u,v)分别是f()和h()的傅里叶变换,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,3. 频域滤波与空域滤波的关系,冲激函数的傅里叶变换： 由冲激函数的性质：,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,频域低通滤波器,频域高通滤波器,空域低通滤波器,空域高通滤波器,低通滤波图像从空间域变换到频率域后，其低频分量对应图像中灰度值变化比较缓慢的区域，高频分量则表征图像中物体的边缘和

7、随机噪声等信息。低通滤波是指保留低频分量，而通过滤波器函数H(u，v)减弱或抑制高频分量的过程。低通滤波与空域中的平滑滤波器一样可以消除图像中的随机噪声，减弱边缘效应，起到平滑图像的作用。,3. 频率滤波,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,3. 频率滤波-常见的低通滤波器,(1)理想低通滤波器 一个二维的理想低通滤波器的传递函数如下：,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,D0是一个非负整数，D是从点（u，v）到频率平面原点的距离即：,理想低通滤波器的含义是指小于D0的频率，即以D0为半径的圆内的所有频率分量可以完全无损地通过，而圆外的频率，即大于D0的频率分量则完全被除掉。,理想低通滤波

8、器的剖面图和三维透视图。,3. 频率滤波-常见的低通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,原图,傅里叶谱,r0=5 r1 = 15 r2 = 30 r3 = 80 r4 = 230,92.0 94.6 96.4 98.0 99.5,r0=5,r2=30,r1=15,r4=230,r3=80,理想低通滤波器的平滑作用非常明显，但由于变换有一个陡峭的波形，它的反变换h(x,y)有强烈的振铃特性，使滤波后图像产生模糊效果。因此这种理想低通滤波实用中不能采用。,3. 频率滤波-常见的低通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,频域滤波器,空域滤波器,原图,滤波后结果,(2) 巴特沃斯（B

9、utterworth）低通滤波器 巴特沃斯低通滤波器的传递函数为： D0为截止频率，n为函数的阶。一般取使H(u，v)最大值下降至原来的二分之一时的D(u,v)为截止频率D0。,3. 频率滤波-常见的低通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,H=0.5，阶n=1时的巴特沃斯低通滤波器： 巴特沃斯低通滤波器的特点：在通过频率与截止频率之间没有明显的不连续性，不会出现“振铃”现象，其效果好于理想低通滤波器。,3. 频率滤波-常见的低通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,r0=5,r2=30,r1=15,r4=230,r3=80,n=1,n=2,n=5,n=20,BLPF的空间表示

10、,(3) 指数低通滤波器(高斯) 传递函数为 : 一般取使H(u,v)最大值下降至原来的0.607时的D(u，v)为截止频率D0，其剖面图如下图所示。,3. 频率滤波-常见的低通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,r0=5,r2=30,r1=15,r4=230,r3=80,特点：指数低通滤波器从通过频率到截止频率之间没有明显的不连续性，而是存在一个平滑的过渡带。指数低通滤波器实用效果比Butterworth低通滤波器稍差，但仍无明显的振铃现象。,3. 频率滤波-常见的低通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,低通滤波结果图象.,(a)为一幅256256的图像,(b)表示它的傅

11、里叶频谱,(c) D0=5保存能量的90,(d) D0=5保存能量的95,(e) D0=5保存能量的98,(f) D0=5保存能量的99,合理的选取D0是应用低通滤波器平滑图像的关键。,3. 频率滤波-常见的低通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,高通滤波 图像的边缘、细节主要在高频，图像模糊是由于高频成分较弱产生的。为了消除模糊，突出边缘，可以采用高通滤波的方法，使低频分量得到抑制，从而达到增强高频分量，使图像的边沿或线条变得清晰，实现图像的锐化。,3. 频率滤波-常见的高通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,(1)理想高通滤波器 转移函数 :,3. 频率滤波-常见的高通

12、滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,(2) Butterworth 滤波器 n阶高通具有D0截止频率的Butterworth高通滤波器滤波函数定义如下 :,3. 频率滤波-常见的高通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,3. 频率滤波-常见的高通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,(3) 指数形滤波器 具有截止频率为D0的指数高通滤波函数的转移函数定义为：,IHPF的空间表示,BHPF的空间表示,GHPF的空间表示,IHPF的的滤波结果,D0=15,D0=30,D0=80,3. 频率滤波-常见的高通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,3. 频率滤波-常见的

13、高通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,D0=15,D0=30,D0=80,BHPF的的滤波结果,3. 频率滤波-常见的高通滤波器,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,D0=15,D0=30,D0=80,GHPF的的滤波结果,高通滤波器比较,理想高通有明显振铃，图像的边缘模糊不清。Butterworth高通效果较好，振铃不明显，但计算复杂。 指数高通效果比Butterworth差些，但振铃也不明显。,4. 频率滤波-同态滤波,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,图像f(x,y)是由光源产生的照度场i(x,y)和目标的反射系数场r(x,y)的共同作用下产生的，可以 表达成: f(x

14、,y)=i(x,y)r(x,y) 该模型可作为频率域中同时压缩图像的亮度范 围和增强图像的对比度的基础。 但在频率域中不能直接对照度场和反射系数场频分量分别进行独立的操作。,如果定义： 则有:或者这里I(u,v)以及R(u,v)分别是lni(x,y)和lnr(x,y)的傅里叶变换。,同态滤波方法就是利用上式的形式将图像中的照明分量和反射分量分开。这样同态滤波函数就可以分别作用在这两个分量上。,4. 频率滤波-同态滤波,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,4. 频率滤波-同态滤波,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,图像中的照明分量往往具有变化缓慢的特征，而反射分量则倾向于剧烈变化，特别在不

15、同物体的交界处。由于这种持征，图像的自然对数的傅里叶变换的低频分量与照明分量相联系，而其高频分量则与反射分量相联系。同态滤波过程如下所示:,4. 频率滤波-同态滤波,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,同态滤波器的横截面,4. 频率滤波-同态滤波,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,5. 傅里叶变换的性质及实现,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,平移,5. 傅里叶变换的性质及实现,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,分配性和比例变换性,5. 傅里叶变换的性质及实现,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,周期和对称性,5. 傅里叶变换的性质及实现,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,

16、可分性,其中,5. 傅里叶变换的性质及实现,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,离散函数卷积,5. 傅里叶变换的性质及实现,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,离散周期函数卷积,5. 傅里叶变换的性质及实现,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,扩展函数卷积,1. 二维离散傅立叶变换,F=fft2(f);S=abs(F);Fc=fftshift(F);,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,第四章 频域处理,1. 频域滤波2. 从空间滤波器得到频域滤波器3. 在频域直接生成滤波器4. 锐化滤波器,一：二维离散傅立叶变换,二：频域滤波,1. 频域滤波,1. 使用函数paddedsize获得填

17、充参数2. 得到使用填充的傅立叶变换3. 生成滤波函数H4. 将变换乘以滤波函数G=H.*F5. 获得G的傅立叶变换的实部,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,2. 从空间滤波器得到频域滤波器,H=fft2(h,PQ(1),PQ(2)H=freqz2(h, R, C),第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,3. 在频域直接生成滤波器,建立用于实现频域滤波器的网格数组dftuv()低通频域滤波器lpfilter,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,频域滤波器的线框图线框图和表面图,4. 锐化滤波器,基本的高通滤波器hpfilter高频强调滤波,第四章：频域处理,傅式变换,频域滤波,第四章 频域处理,一：二维离散傅立叶变换,二：频域滤波,