行列式的计算及应用.doc

1、毕业论文论文题目：行列式的计算及应用所学专业： 数学与应用数学 （金融方向） 行列式的计算及应用摘要在高等代数这门课程里，行列式是最基本而又重要的内容之一，同时也是数学研究中的重要的工具之一，在线性代数、数学分析、解析几何等众多课程理论中以及实际问题中许也发挥着重要作用，了解如何计算和应用行列式显得尤为重要。本文首先阐述行列式的基本理论，在此研究的基础上介绍了降阶法，归纳法，化三角形法等几种常见的且有一定技巧的解行列式的方法,并列举了相关的例子，更直观地了解解行列式方法的精髓。另外，本文又介绍了行列式在解析几何、代数及其他课程当中的应用，进一步加深了对行列式的理解。最后本文又列举实例阐述行列式

2、在实际当中的应用，实现了行列式的理论与实际相结合。研究行列式的计算方法及其应用可以提高对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入。通过这一系列的方法可以进一步提升对行列式的认识，为以后学习奠定了基础。关键词：行列式，因式分解，化三角形法, 归纳法，加边法，Matlab 软件Determinant calculation and applicationAbstractThis course in advanced algebra, the determinant is one of the most basic and important content, while many math cu

3、rriculum theory is one of the important research tools, linear algebra, mathematical analysis, analytic geometry, etc. as well as practical problems also plays an important role in understanding how to calculate and apply the determinant is particularly important. This paper first describes the basi

4、c theory of determinants, based on this study describes the reduction method, induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive understanding of the essence of the solution determinant

5、method. In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant application in practice to achieve a theoretical and practical determinant comb

6、ined. Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen the study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants through this series of methods, laid the foundation for future learning.

7、Keywords: determinants, factorization of a triangle, induction, plus side method, Matlab software目录1. 行列式的定义及性质 .11.1 行列式的定义 .11.1.1 排列 .11.1.2 定义 .11.2 行列式的相关性质 .12. 行列式的计算方法 .52.1 几种特殊行列式的结果 .52.1.1 三角行列式 .52.1.2 对角行列式 .52.2 定义法 .52.3 利用行列式的性质计算 .52.4 降阶法 .62.5 归纳法 .72.6 递推法 .82.7 拆项法 .92.8 用范德蒙德行

8、列式计算 .102.9 化三角形法 .102.10 加边法 .112.11 拉普拉斯定理的运用 .122.12 行列式计算的 Matlab 实验 .133. 行列式的应用 .153.1 行列式应用在解析几何中 .153.2 用行列式表示的三角形面积 .153.3 应用行列式分解因式 .163.4 利用行列式解代数不等式 .173.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 .173.6 行列式在实际中的应用 .18总结 .20参考文献 .21附录 1.22附录 2.22附录 3.23谢辞 .2411. 行列式的定义及性质1.1 行列式的定义1.1.1 排列 1在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数

9、，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数.1.1.2 定义 1 阶行列式n nnnaaD 212112就相当于全部不同行、列的 个元素的乘积nnjj21 (1-1-1)的代数和，这里 是 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规nj21,则带有符号：当 是偶排列时， （1-1-1）是正值，当 是奇排列 nj21时， （1-1-1）是负值.这一定义可以表述为， (1-1-2)nnnjjjjnnn aaaD 212121)(2112这里 表示对所有 级排列求和.nj21由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以

10、定义又可以表述为. （1-1-niiiinnnn aaaD 21)(21211221213）1.2 行列式的相关性质2记 , ,nnnaaD 212112 nnnaD 212121则行列式 叫做行列式 的转置行列式.性质 1 行列式和它的转置行列式是相等的 2. 即 .D证明：记 中的一般项 个元素的乘积是 ,21njja它处于 的不同行和不同列，所以它也处于 的不同行和不同列，在 中D 应是 ,21njj所以它也是 中的一项.反之, 的每一项也是 的一项，即 和 有相 DD同的项.再由上面（1-2）和（1-3）可知这两项的符号也相同，所以 .性质 2 .nniiinnniii naaaaka

11、ka 2111221112证明： iniinniii AkakaAaakk 21211.)(21112nniii niniiaaaakAA 性质 3 如果行列式的某行(列)的元素都为两个数之和 2，如3，nnnnaacbcbaaD 211121那么行列式 就等于下列两个行列式的和： .2111221112 nnnnnnaaccabbaD 可以参照性质 2 的证明得出结论.性质 4 对换行列式中任意两行的位置，行列式值相反.即若设 ,21211nnkkinii aaaaD ,21211nniii knkaaD 则 .1证明：记 中的一般项中的 个元素的乘积是D.21 nki jjjj aa它在

12、中处于不同行、不同列，因而在 中也处于不同行、不同的列，所1D以它也是 的一项.反之， 中的每一项也是 中的一项，所以 和 有相同11 D1的项，且对应的项绝对值相同.现在看该项的符号：它在 中的符号为 .)()21nkijj由于 是由交换 的 、 两行而得到的，所以行标的 级排列1Dik变为 级排列 ，而列标的 级排列并没有发生变化.因nki212此 和 中每一对相应的项绝对值相等，符号相反，即1 .1D性质 5 如果行列式中任有两行元素完全相同，那么行列式为零.4证明：设该行列式为 ，交换 相同的那两行，由性质 4 可得 ,故DD.0D性质 6 如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比

13、例，则行列式为零.证明：设 阶行列式中第 行的各个元素为第 行的对应元素的 倍，由性nijk质 2，可以把 提到行列式外，然后相乘.则剩下的行列式的第 行与第 行两行k ij相同，再由性质 5，最后得到行列式为零.性质 7 把任意一行的倍数加到另一行，行列式的值不改变.nnn kkk knikiki aacacaa 2121 11nnkkknknnkkinii aacacaaa 2121121211.nnkkinii aaaa 2121152. 行列式的计算方法2.1 几种特殊行列式的结果2.1.1 三角行列式（上三角行列式） .nnnaaa 212210（下三角行列式） .nnnaaa 21

14、2112.1.2 对角行列式 .nnaa 212102.2 定义法例 1 用定义法证明 .002154321edcbb证明：行列式的一般项可表成 列标 只能在.54321jjjaa543,j中取不同的值，故 三个下标中至少有一个要取 中的一个数，5,4321543,j则任意一项里至少有一个 为因子，故任一项必为零，即原行列式的值为零.62.3 利用行列式的性质计算例 2 一个 阶行列式 的元素都满足 ， 那nijnaDnjiaij ,21,么 叫做反对称行列式,证明：奇数阶的反对称行列式的值等于 0.nD证明：由 知 ，即jiijaii nii ,21,0所以行列式 可写为 ，再由行列式的性n 0321 3322312 1 nn nnaaD质 2， 得到A0000 321 33 22312 11321323121 nn nnn nn aaaaaaD ， nnn nn Daa)1(00)1(321 33 22321 当 为奇数时，得 ，因而得到 .Dn2.4 降阶法例 3 计算 级行列式 .)2(n xyyxyd000 解：按第一列展开得到原式 一一 )1(1)1( 00)(000 nnn yxyxyxyx