浅谈幂级数展开式的应用.doc

1、 毕业论文浅谈幂级数展开式的应用专 业： 数学与应用数学 毕业论文1目 录摘要1关键词1Abstract1Keywords1引言2一基本知识21.1幂级数的性质 21.2. 幂级数的收敛区间 2二幂级数的和函数3三幂级数的展开4四幂级数的展开及其应用64.1. 幂级数在近似计算的应用64.2. 幂级数在计算积分得应用64.3. 幂级数在求极限中的应用74.4. 幂级数在数项级数求和中的应用74.5. 幂级数用于推导欧拉公式84.6. 幂级数在求导中的应用94.7. 幂级数在不等式的中的应用94.8. 幂级数在组合中的应用10参考文献11致谢11毕业论文1幂级数展开式的应用摘 要在数学中，幂级数

2、是一类形式简单而应用广泛的函数级数。幂级数在微积分中也是个重要的题材，许多重要的函数可表成幂级数，而幂级数全体也代表了相当广泛的函数类别。 在本文中简介了幂级数的简单知识，注重探讨了幂级数展开式各方面的应用。关键词幂级数；展开式 ；应用Power series expansion of the type of applicationAbstractIn mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important the

3、me in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansionK

4、eywordPower series; expansion; applicati毕业论文2引言：幂级数的展开式应用广泛，但是由于不同研究者用的方法不同以及研究结果没有集中起来，现在用我粗浅的知识略把幂级数展开式的应用搜集了一下，以便大家更方便的应用更好的学习。由幂级数列 所产生的函数项级数0nax20010200n nnn naxaxxax ，称为幂级数，它是一类最简单的函数项级数。从某种意义上说，可以看作是多项式的延伸。幂级数在理论和实际上有很多的应用，尤其是在表示函数方面。特别地当 ，即0是一种重要的情况。2010n naxax 一 基本知识1.幂级数的性质（1）. 幂级数 的和函数是 内

5、的2010n naxax (),连续函数。（2）. 幂级数 在收敛区间左（右）端点上收2010n nxx 敛，则其和函数也在这一端上左（右）连续。(3). 设幂级数 在收敛区间 上的和函2010n naxax ,数为 ，若 为 内任意一点，则fx,） 、 在 可导，且f 1nfxa） 、 在 0 与 这个区间上可积，且fx100x nnaftdx2.收敛区间设幂级数 在 的和函数 ，则0nax,sx（1）. 在 内连续，若幂级数在 也收敛，则 在s, xsx毕业论文3处左连续（或在 处右连续） 。xx（2）. 在 内每一点都是可导的，且有可导公式：s, 100nn nsxaxax与原幂级数有相

6、同的收敛半径。（3）. 在 内可以积分，且有逐项积分公式：s,，其中 是 内任一点，积 10000nx xnnnatdatdtdx,分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。二幂级数的和函数幂级数的和函数在幂级数的计算中有着重要的作用，在计算过程中也有一定的难度，不过计算过程也要注意计算方法的使用。例 1：求幂级数 的和函数210nnx解： 易知级数的收敛域为 ,令 210()nnxsx有幂级数的逐项可导性得 222001()1()()nnnsxx对上式两端积分得：20()arct1xdts(,)例 2： 求级数 的和0n解：因为201n= 202nnn= 2111nnn毕业论文4其中 01223

7、nn下面求 22nn设 显然收敛域为221nnsxx 1,逐项积分得： 22002xxnnnsdttdx在次积分得： 210022xxnntt 1x故 231nsx= 232 12nns1671x故原式= + =14673有很多这样的例题，上面的题中主要的方法是逐项求导与逐项求积。逐项可导与逐项可积是幂级数和函数在其收敛区间上的两个主要分析性质。在很多方面都有重要的应用。在具体应用时，应根据具体的问题具体分析，再决定用逐项求导或者逐项可积。三. 幂级数的展开函数的幂级数展开式有两种形式，一种形如 称为一般（或叫做函00nnax数在 的幂级数） ，另一种形如 称为标准式，即函数在 0 处得幂级数

8、。若函数0x0nax在 U 内可以展成 的幂级数，那么这个幂级数一定是泰勒级数。f0,r当 时 又称为麦克劳林级数。具体展开式如下：0x0nax在 处的泰勒展开（幂级数的展开式）：f20000000!nnfxfxfxffx x毕业论文5（ 在 与 之间）110!nnnfxxx0令20000000!nnf fxfff 即为麦克劳林级数。0x幂级数的展开式中， 是一种应用广泛的展开。1fx0求出 ， ，1f021f1nf n形式上作用幂级数 20 00! !nnf ffxffxx = 2111!nn 当 时，即为牛顿二项式定理。下面讨论 的情形。求出收敛半径nz1limli1na分析在收敛区间 内

9、，柯西余项,， 的极限。 因级数1!nnx 01101!nnx当 1 时收敛（由比试判别法可得） ，故 10!nx由于 -1 时，有 ，且 ， 。又由于x1x1xnx1 时，00 绝对收敛，-10 绝对收敛， 0 时，收敛域为 。1,四幂级数的展开及其应用1.幂级数在近似计算的应用我们通过 的近似计算来研究，利用幂级数进行近似计算的方法。 可以用 的幂级数展开式取 = 近似计算。arcsinx3= ，取 得ri25711426x 1,xx32 上式两边同乘以 2 得：115( )467x它的部分和 135213( )22446ns 易计算 0.001.就是说用 s 表示 的近似值，其误差小于

10、0.001.1546 经计算 3.14159 利用此方法还可以计算其它数的近似值。2.幂级数在计算积分得应用当 的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来，计算 的定积分就遇到fx fx了困难。现在，我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值。具体计算时，要求被积函数能够展成收敛的幂级数。且积分区间必须在幂级数的收敛域之内，然后利用幂级数的逐项积分性质来计算所求定积分的值。例： 证明 2240 1cos1!nx xtxd证明：因为 20s!n,所以 =0coxtd210!nxtd毕业论文7= 21001!nxndtt= （ 224!nx x3.幂级数在求极限中的应用求函数极限的

11、方法很多，幂级数法也是其中之一例： 求 30arcsinlimxx解：因为 351ri24x 1x，3533sin!x 所以253300 514arcsilimln34!xxx=3016lixox4.幂级数在数项级数求和中的应用例：求 13nn解：设 0nnsxx1x= 0nn=毕业论文8 00011ln1ln11nxxxnxnxgdxxg= 1nx设 ，则 ，1ng1x1nxg且 11nxnx从而 000ln1xxgdx当 时，xln1x此时， 11ln1ln1nnnn xxx令 ，可得3x1l33nn 2l35.幂级数用于推导欧拉公式例： 试用幂级数的展开式来推导欧拉公式：，sin2txteicos2txte解：当 为实数时，有指数函数的幂级数展开知 x 0!nxe,x用纯虚数 代替是变量 有ix234011!nxeiiii因为 ， ， ， 41nii421n43nii4n0,所以5cosin!ixxxei x