《概率论与数理统计》课程练习计算题.doc

1、 三、解答题1设对于事件 、 有 ， ，ABC、 )(P4/1)(CB0)()(BCPA，求 、 至少出现一个的概率。8/)(ACP、解：由于 从而由性质 4 知， ，又由概率定义知，0A，所以 ，从而由概率的加法公式得0B0)( )()()()()( ABPPBPBA851342设有 10 件产品，其中有 3 件次品,从中任意抽取 5 件，问其中恰有 2 件次品的概率是多少？解：设 表示：“任意抽取的 5 件中恰有 2 件次品” 。则 。5 件产品中恰有 2A 10)(Cn件次品的取法共有 种，即 。于是所求概率为 23C73)(CAn7/ Pn()/()23784/5103一批产品共有 1

2、0 个正品 2 个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回） 。求：（1）第二次取出的是次品的概率；（2）两次都取到正品的概率； （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：设 表示：“第 次取出的是正品” （ =1，2） ，则iAii（1）第二次取到次品的概率为 )(21P60（2）两次都取到正品的概率为)(21A)|(121AP3250（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 )(21P36504一批产品共有 10 个正品 2 个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回） 。求：（1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。解：设 表示：“第

3、次取出的是正品” （ =1，2） ，则iAii（1）至少取到一个正品的概率)(21P)|()121AP65（2）第二次取到次品的概率为 )(21A)|()|() 12121AP60（3）恰有一次取到次品的概率为 )(21AP )|()|() 12121APAP3005一批产品共有 10 件正品 2 件次品，从中任取两件，求：（1）两件都是正品的概率；（2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。解：设 表示：“取出的两件都是正品是正品” ； 表示：“取出的两件恰有一件次品” ；AB表示：“取出的两件至少取到一件次品” ；则C（1）两件都是正品的概率)(P2150C（2）恰有一件次品的

4、概率)(B3120（3）至少取到一件次品的概率 )(CP27151)(20CA6一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是 0.6，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是 0.5 和 0.8。求在一小时中，（1）没有一台机床需要照看的概率；（2）至少有一台机床不需要照看的概率。解：设 表示：“没有一台机床需要照看” ； 表示：“至少有一台机床不需要照看“；AB表示：“第 台机床需要照看 ”（ =1，2，3） 。则 ； 。 iCii 321CA321CB)()321CP)(3P04.)2()321B)(31)(32176.)()7在某城市中发行三种报纸 、 ，经调查，订阅 报的有 50%

5、，订阅 报的有ACB、 AB30%，订阅 报的有 20%，同时订阅 及 报的有 10%，同时订阅 及 报的有 8%，同时C C订阅 及 报的有 5%，同时订阅 、 报的有 3%，试求下列事件的概率：B、（1）只订阅 及 报；（2）恰好订阅两种报纸。 A解：（1） )()()( ABCPBP07.3.10（2） )()()()( PC14.5.2.7.8一盒子中黑球、红球、白球各占 50%、30% 、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；（2）取到的是黑球的概率。解：设 分别表示：“取到的是黑球、红球、白球” （ =1，2，3） ，则问题（1）化为Ai i求 ；问题（

6、2）化为求 。由题意 两两互不相容，所以，)|(3P)|(21APA、 、（1） 。因此由条件概率公式得 )(33)|(2A)(272.01)(2（2） 11APP)|(2)(2753.01)(29已知工厂 生产产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由 的产品分别占 60%和AB、 AB、40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1） 该产品是次品的概率；（2） 若取到的是次品，那么该产品是 工厂的概率 。B解：设 表示“取到的产品是次品” ； “取到的产品是 工厂的” ；CAA“取到的产品是 工厂的” 。则 BB（1） 取到的产品是次品的概率为)|()|()( BCPAP50712406（2）若

7、取到的是次品，那么该产品是 工厂的概率为)|()|(|)()|( BCPAPBCBP74501210有两个口袋，甲袋中盛有 4 个白球，2 个黑球；乙袋中盛有 2 个白球，4 个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。解：设 表示：“由甲袋取出的球是白球” ；A表示：“由甲袋取出的球是黑球” ； B表示：“从乙袋取出的球是白球” 。则 C)|()|()( BCPP2186126411设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生产 1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有 2%、4%、5% 的次品，现从箱中任取一

8、件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。解：设事件 表示：“取到的产品是次品” ；事件 表示：“取到的产品是第 家工厂生AiAi产的” （ ） 。 则 ，且 ， 两两互不相容，i13， ， A123Pi()0A123、 、（1） 由全概率公式得31)|()(i iiAPAP 4013510421（2）由贝叶斯公式得 = (|)1311)|()j jjAP1340212三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的 40%、25% 、35%，其产品的不合格率依次为 0.05、0.04、和 0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到

9、不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品” ；事件 表示：“取到的产品是第 家工AiAi厂生产的” （ ） 。 i123， ，则 ，且 ， 两两互不相容，由全概率公式得31iPi()0321A、（1） 31)|()i iiA10/37210542054（2）由贝叶斯公式得 = )|(2AP312)|()jjjAP0.540/377/13有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：( 1 ) 此人来迟

10、的概率；( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。解：设事件 表示：“此人来迟了” ；事件 分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞AiA机来” （ ，4） 。则 ，且 ， 两两互不相容i123， ， 41i Pi()04321A、（1）由全概率公式得 41)|()(i iiAPA518210350（2）由贝叶斯公式得= PA(|)1411)|()j jjAP34/5814有两箱同类零件，第一箱 50 只，其中一等品 10 只，第二箱 30 只，其中一等品 18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回） ，试求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）两次都取到一

11、等品的概率。解：设 表示：“取到第 箱零件” ； 表示：“第 次取到的是一等品”iAi()i12， iBi；则 ()i1，（1） )(211ABP(211AP530852（2） )()( 21211 )()(2121B()15设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以 0.03、0.04、0.06 的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。解：设 表示：“第 个电子元件被损坏” （ =1，2 ，3） ，则有 ；Aiii 03.)(1AP； 。依题意所求概率为04.)(2P06.)(3P)()()( 3231213211 APA06.4.06.04. 12467.0.403.6.

12、01527.16甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为 0.8，乙击中敌机的概率为 0.5，求下列事件的概率：( 1 ) 敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（ 3）乙击中甲击不中。解：设事件 表示：“甲击中敌机” ；事件 表示：“乙击中敌机” ；事件 表示：“敌ABC机被击中” 。则 （1） )(1)(1)() APBPC9.0（2） 4.0)5(8.)()(A（3） 1117已知 ， ， ，求 。4/)(P3/)|(B2/)|(BAPPAB()解：由于 A()(|)1432PB()|)26所以A()14621318设 ， ， ，求 。3.0)P.0B5.0)(AP)(|BAP解

13、：由于 ， (|)，BAB)， ， 而 ，PPABPA()().10752， )(.148故 。 B(|)(.02819设事件 、 相互独立，已知 ， 。求：A4.(AP7.0)(B（1） ； （2） 。)(BAP)(BAP解：由 7.0(即 .)(4.0)(.解得5.BP所以 2.0)51(4.0)()( A865.20设 、 为随机事件，且 ， ， ，求：B.)(P6.)(B8.0)|(AP（1） ；（2） 。()P解：（1） 4.085.)|()( AA（2） )(BPB7.406.521设事件 、 相互独立，已知 ，求：8.0)(5)(A，（1） ； （2） 。()PA(A解：由条件)

14、()()( BPB8.0即 8.0)(5.)(.0P解得 ，所以6)(B（1） 2.4.)(BA（2） )()(BAP7.05.0.22设事件 相互独立，试证明：与 事 件（1）事件 相互独立；AB与 事 件（2）事件 相互独立；AB与 事 件（3）事件 相互独立。与 事 件证明：（1）欲证明 相互独立，只需证 即可。而、 PAB()()PPAPAB()()() ()1所以事件 相互独立。AB与 事 件同理（2）由于PPABPAPB()()()()()()1所以事件 相互独立。AB与 事 件（3）由于()()()()()11PAPB()()(A所以事件 相互独立。AB与 事 件23 若 ，证明

15、事件 相互独立。(|)(|)与 事 件证明：由于 ，且 ，所以ABPPA()(|)(|)()(|)(|)从而有PABPAB(|故由独立性定义知，事件 相互独立。与 事 件第二章 随机变量及其分布三、解答题1设 的概率分布为 X0 1 2 1/3 1/6 1/2 P求：（1） 的分布函数；X（2） 、 、 。12X32PX132解：（1） Fxxxx()03122， ，； PX()123； PX216。11322从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设 X 表示途中遇到红灯的次数，求 X 的分布律、分布函数。解：由题意知 服从二项分布 ，从而 X），（ 213B； 8)21(03P； 2C； 3)1()3X82(P即 的概率分布列为 0 1 2 3 X1/8 3/8 3/8 1/8 pk由分布函数定义