概率论与数理统计习题三解析哈工大版.doc

1、19习 题 三1掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为 ，若以 表示p(01)X直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求 的分布列。X解 表示事件：前 次出现正面，第 次出现反面，或前()Xk1kk次出现反面，第 次出现正面，所以k1(),2,3.Ppp2袋中有 个黑球 个白球，从袋中任意取出 个球，求 个球中黑球个barr数 的分布列。解 从 个球中任取 个球共有 种取法， 个球中有 个黑球的取rrabCk法有 ，所以 的分布列为krbaCX， ，()krbaPmx(0,),x(0,)1,min(,)rabr此乃因为，如果 ，则 个球中可以全是白球，没有黑球，即 ； 0k如果 则 个球中至

2、少有 个黑球，此时 应从 开始。rrk3一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 个零件是不合格品i的概率 ，以 表示三个零件中合格品的个数，求 的分1(,23)ipiXX布列。解 设 第 个零件是合格品 。则iAi1,23i，123(0)()4PXA123123)A123()(P，644123123123()( )PXA)(A，44.1236(3)()2即 的分布列为X20.0123644XP4一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 ，以 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 的

3、12X X概率分布。解 (第一个路口即为红灯 ) ,(0)P12(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯) ，1X 124依此类推，得 的分布列为.02348P5将一枚硬币连掷 次，以 表示这 次中出现正面的次数，求 的分nXnX布列。解 为 重贝努里试验中成功出现的次数，故 ， 的分X 1(,)2Bn布列为1()2nkPC0,k6一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为 4 的泊松分布，求（1）每分钟恰有 8 次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于 10 的概率。解 设 为每分钟接到的呼叫次数，则X()XP（1） 4448() 0.297!kkqPee（2） 100.2.k7某商店每月销售某

4、种商品的数量服从参数为 5 的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为 0.99977 以上。解 设 为该商品的销售量， 为库存量，由题意XN215110.97()1()()!kKNKNPXNPXe即51.023!KNek查泊松分布表知 ，故月初要库存 14 件以上，才能保证当月不脱销的1概率在 0.99977 以上。8已知离散型随机变量 的分布列为：X， ，试写出 的分布函数。(1)0.2,()0.3PXP()0.5PX解 的分布列为.5所以 的分布函数为0,1,.2()5,3,.xFx9设随机变量 的概率密度为Xsin,0,()cxf 其 他求：（1）常数 ；（2

5、）使 成立的 .C()()PaXa解 （1） ， ；00()sincos2fxdcxdx 1c（2） ，1s2aaPX001()sicsc,22xx可见 ， 。cosa10设随机变量 的分布函数为X， ，()arctnFxABx求：（1）系数 与 ；（2） ；（3） 的概率密度。(1)PX解 （1）由分布函数的性质220()21FAB于是 ， ，所以 的分布函数为2AX，()arctnFxxx（2） ；111()()242PF（3） 的概率密度为X， .2()(1)fxxx11已知随机变量 的概率密度为， .|()xfe求 的分布函数.X解 001,0,2()()1,2xux xxuedFfu

6、de1,2,0.xe12设随机变量 的概率密度为X,1,()220,xf其 他 .求 的分布函数.X解 的图形为 的分布函数为()fxX()()xFfud23011,0,(2),12,.xxuddux200,1,2,.xxx1313设电子管寿命 的概率密度为X210,().xfx若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初 150 小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数 的分Y布列；（3） 的分布函数。Y解 为在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数， ，其中(3,)Bp，1502()3pPXdx（1）所求概率为2331()()YPYC0

7、 1 2 x(1，1)f(x)24；72（2） 的分布列为 ，Y331()kkPYkC0,123即.0281677（3） 的分布函数为Y0,8127(),6,3,271.xFxxx14设随机变量 的概率密度为X,0,().fx其 他现对 进行 次独立重复观测，以 表示观测值不大于 0.1 的观测次数，试求nnV随机变量 的概率分布。V解 ，其中(,)nBp，0.1.2.PXxd所以 的概率分布列为n.()(.).9,0,1kknknVCn15设随机变量 ，求方程 有实根的概率.1,6U2xX解 设 方程有实根 ，则A发生 即 ，因 ，所以240X|,6U发生 ,所以.6()2)815P2516

8、设随机变量 ，现对 进行 3 次独立观测，试求至少有两2,5XUX次观测值大于 3 的概率.解 设 为三次观测中，观测值大于 3 的观测次数，则 ，其中Y (3,)YBp，()52pP所求概率为.233120()()() 7YPYC17设顾客在某银行窗口等待服务的时间 （单位：分） ，服从参数为X的指数分布。若等待时间超过 10 分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行155 次，以 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 的分布列及Y Y。()P解 由题意 ，其中(5,)Bp，2551010xxpXede于是 的分布为Y2255()(),34,5kkPC.25()67Ye18一大型设备

9、在任何长为 的时间内发生故障的次数 服从参数为t ()Nt的泊松分布。 （1）求相继两次故障之间时间间隔 的概率分布；（2）求在t T设备已经无故障工作了 8 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率。解 （1）设 的分布函数为 ，则T()TFt()1FtPt事件 表示两次故障的间隔时间超过 ，也就是说在时间 内没有发tt生故障，故 ，于是0Nt，0()()1()()11,0!ttTNte可见， 的分布函数为,0,().tTeFt即 服从参数为 的指数分布。（2）所求概率为26.16816,8()(16|8)()PTPTePT 19设随机变量 。求20,3XN（1） ；（2）常数 ，使 ；(

10、0.7.a()0.9Xa（3）常数 ，使 。a(|).1a解 （1） 7681.8.( )33P2)(2)(1；0.9.0.96（2） ，查表知180.9()(3aX，所以 ；18.23a.4（3） .(|)(|)1(02)PPXaPXa108,a所以，2().93查正态分布表知，108.a故 。574920设随机变量 ，且 ，求 。2(,)XN(4)0.3PX(0)PX解 ，40.3(2P所以 ，)8。022()()()1()0.X21某地抽样结果表明，考生的外语成绩 （百分制）近似服从正态分布，X平均成绩（即参数 之值）为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩

11、在 60 分至 84 分之间的概率。解 967240.23()1()1()PX2724241()0.97,.所求概率为8607212(60)()()()PX 12.8413.6822假设测量的随机误差 ，试求在 100 次重复测量中，至2(,)XN少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 ，并利用泊松分布求出 的近似值。解 设 为误差的绝对值大于 19.6 的测量次数，则 ，其中Y(10,)YBp(|19.6)(19.6.).96.pPXP，22075所求概率为 11003()(.).5,kkkYC利用泊松定理.105387!ke23在电源电压不超过 ，在 和超过 三种情况下，2V240

12、V某种电子元件，损坏的概率分别为 0.1，0.001 和 0.2，假设电源电压 服从正X态分布 ，试求：（1）该电子元件损坏的概率 ；（2）该电子元2(0,5)N件损坏时，电源电压在 200 240 的概率 。解 设 电子元件损坏 ， 电源电压在第 档 ， ，则AiBi1,3（1） 11223()(|)(|)(|)PAPAPBA20.040.40.2XXX()()()55541.220020().()0.1().78.78.78.64128（2） .222()|)0.576(| 0890.64141PBA24假设随机变量 的绝对值不大于X1； ，在事件 出现的条件下，1(),()8PX在 内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：X,（1） 的分布函数；（2） 取负值的概率 .P解 1 设 的分布函数为 ，则()Fx当 时， ，且 ，x()018当 时， ，1，5()4PX当 时，由题意1x，|1(1)kx而，|2PX所以 。于是12k1|1,2xx此时()()FPXF11,8x1(|8xX，5578216故 的分布函数为X0,57()16,.xFx