概率论与数理统计习题3详解概要.doc

1、一、第三章习题详解：3.1 设二维随机向量 的分布函数为:(,)XY12,0,(,)0,xyxyFxy其 他求 .12,35P解：因为 ，257(,)1F6512),(，53 433F所以 ),1(,(),1,2()3,2(YXP7654783.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为 X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且 ，012P 6.053)2,(42CYP，.5),3(4123CY),(X故(X,Y)的概率分布为XY 1 22 0 0.63

2、0.4 03.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为 ，又 X 的可能取值为 0,1,2,3|2|)(| 所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 ，81)(3,0(3YP 83)21(),(3CYP，22C,故(X,Y)的概率分布为XY 1 30 0 1/81 3/8 02 3/8 03 0 1/83.4 设二维随机向量 的概率密度函数为: (,)XY601,2,(,)0,axyxyfxy其 他(1) 确定常数 ;(2) 求 .5,.P

3、XY(3) 求 ,这里 是由 这三条直线所围成的三角形区域.()D0,1xyx解：(1)因为 dyadyxf102)6(),( dxxxa10221002 )4(6adx9)5(210由 ，得 9a=1，故 a=1/9.,yf(2) dxyYXP5.01)6().( dxyx 5.05.0.02 89)6(2396(911)875.0d(3) 10(,(,)(6)9xDPXYfxydyd278)2(182)6(910010 xyxx3.5 设二维随机向量 的概率密度函数为:(,)XY(2),0,(,)0,xyeyfxy其 他(1) 求分布函数 ;,Fxy(2) 求 P解：(1) 求分布函数 ;

4、 当 ，(,)xy0,y(2)22000(,) (1)yxxxyuvuvxyFfuvdedede其他情形，由于 =0，显然有 =0。综合起来，有(,),Fy21,(,)0,xyexxy其 他(2) 求 PYX(2) 2003301xyyxyydedede3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点 的概率密度函数为(,)XY21(,),()fxyxyxy求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.解： drdxyYXP aayx 202222 )1()1()(2 22021ar3.7 设二维随机向量 的概率分布如下表所示, 求 X 和 Y 的边缘概率分布.()XYXY 0 2 51 0.1

5、5 0.25 0.353 0.05 0.18 0.02解：因为 75.03.25.01.)( XP283所以，X 的边缘分布为X 1 3P 0.75 0.25因为 20.5.0)(Y431827.3.)5(P所以，Y 的边缘分布为Y 0 2 5P 0.20 0.43 0.373.8 设二维随机向量 的概率密度函数为(,)X23,0,1,(,)xyyf其 他求边缘概率密度 .(),XYf解：因为，当 时， ；其他情20x 2123),()( 0310xydxyxffX 形，显然 所以，X 的边缘分布密度为().f其 他0/)(xxfX又因为，当 时，10y 20220343),()( yxdyy

6、fyfY 其他情形，显然 所以，Y 的边缘分布密度为().Yf其 他013)(2yyfY3.9 设二维随机向量 的概率密度函数为(,)XY4.8201,(,)0,yxyxfx其 他求边缘概率密度 .(),XYf解，积分区域显然为三角形区域，当 时， ，因此01xyx；2200()(,)4.8(2).4().4()xXfxfydydx其他情形，显然 所以，X 的边缘分布密度为2.4()1()0Xxxf其 他同理，当 时， 因此1y,1 122()(,)4.8(2).4().4(3)Y yyffxdxdxy其他情形，显然 所以，Y 的边缘分布密度为0Y 2.(3)01()Yyf其 他3.10 设二

7、维随机向量 的概率密度函数为(,)X2,(,)0cxyfxy其 他(1)确定常数 c 的值. (2)求边缘概率密度 .(),XYfxy解：(1)因为 dcdxyfx102),( 16)3(0102 c所以 c = 6.(2) 因为，当 时，x )(),()( 22xdycyxff xX 所以，X 的边缘分布密度为其 他01)(6)2xxfX又因为，当 时，10y )(6),( ydyfyf yY 所以，Y 的边缘分布密度为 其 他01)(6)fY3.11 求习题 3.7 中的条件概率分布.解：由 T3.7 知，X、Y 的边缘分布分别是X 1 3 Y 0 2 5P 0.75 0.25 P 0.2

8、0 0.43 0.37(1)当 X=1 时， Y 的条件分布为57.0)|( 3175.0)|(X13|2即 Y 0 2 5P 1/5 1/3 7/15(2)当 X=3 时， Y 的条件分布为512.0)3|( 2518.0)3|(XYP|2即 Y 0 2 5P 1/5 18/25 2/25(3)当 Y=0 时， X 的条件分布为4320.15)|1( 4120.)|3(YXP即X 1 3P 3/4 1/4(4)当 Y=2 时， X 的条件分布为58.043.2)|1( 419.03.8)2|(YXP即X 1 3P 0.581 0.419(5)当 Y=5 时， X 的条件分布为946.037.

9、5)|1(YXP 054.37.2)5|3(YXP即X 1 3P 0.946 0.0543.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x(0 0,y0，都有 ,所以，X 与 Y 是相互独立的.,fyfYX3.18 设二维随机向量 的分布函数为(,)XY()1,0,(,)0xyxyeFxy其 他讨论 的独立性.,XY解：因为 )0(1),(lim)( xeyxFxyyxY由于 )0,(),1)(1)( )( yxFeeyFx yxyxyxYX所以，X 与 Y 是相互独立的。3.19 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 并且均服从区间(0, 1) 上的均匀分布, 求X+

10、Y的概率密度函数.解：由于 X 与 Y 均服从区间(0 , 1) 上的均匀分布，故 X 与 Y 的边缘密度函数分别为：，10()xfx其 他 10()Yyfy其 他记 ,由于 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中 72 页（3.7.3）式, 的概Z Z率密度函数可以写为 ()()ZYfzfxzdx当 时,若 ，则 ；若 或 ，被积函数为 0，此0100()1zZfdx0xz时显然有 .()Zfz当 时，若 ,则 ，若 或 ，被积函2x1()2Zzfxz1x数为 0，此时显然有 ；()0Zfz的其他情形,显然有 =0. 综合起来，有z ()XYfxzdx,1,()220,Zzfz其 他此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是, 当 时，积12z分区域要分成两个部分.