1、1实变函数原理在分形学问题求解中的应用摘 要：将实变函数中的勒贝格测度扩张原理引入到求解分形学中有关 Hausdorff 测度的问题中，给出了详细的证明，为分形学的测度与维数的研究提供了一种有效的研究方法和理论依据。 关键词：实变函数;勒贝格测度扩张原理;Hausdorff 测度 分形理论是是现代数学一个新的分支。对分形理论的研究一直以来是热点问题，其中有关分形的 Hausdorff 测度和维数的理论研究就值得深入研究。通过实变函数的原理的探讨，如果能将实变函数原理应用到分形学问题求解中，将复杂的 Hausdorff 测度问题转化为利用本科阶段所学的实变函数原理能够求解的简易问题，这样就找到了
2、一种解决问题的有效方法和途径。下面就通过实际问题阐述实变函数原理在分形学问题求解中的应用。 一、实变函数原理在分形学问题求解中的应用 定理 1 （勒贝格测度的扩张原理） 设是 X 的某些子集所成的环， 是上的测度，则集类： 是 环;对， 令，则 *是 环上的一个外测度，称为由 导出的外测度，且当时，有 *E=E.一切 *可测集类的类 是 环. 包含由所产生的 环，并且 *在上的限制是 的扩张. 对 有限的测度来说，这种扩张2是唯一的. 问题：设 M 是一个集合，MRn，s0，对任意的 0，令 ， 其中 （Mk）表示 Mk 的直径，且的下确界对一切 Mk（Mk 满足 MMk且 （Mk）0，则有，
3、令0，得到： . （3）设，任意的 0，对每个 Mn，由下确界的定义，对任意的0， 存在 Mn，k，使得， ，且有 ，n=1，2， 可以得到，于是 由 的任意性可得，令 0， 3得到 由上述（1） 、 （2） 、 （3）可知，Hs（M）为 Rn 上的外测度. 下面证明若 Hs（M）s 时，Ht（M）=0. 分析：对任意的 0，当 （Mk），且时，有 ， 左右两边取下确界得到，由于 Hs（M）s， 则令 0，得到 Ht（M）=0。 二、总结 通过引入实变函数的扩张原理证明了分形学中有关问题，不仅仅是找到了一种解决问题的有效方法和途径，更重要的是引导研究不同学科之间的联系和区别，比如：勒贝格测度与 Hausdorff 测度之间的区别与联系，有限覆盖定理引入到分形维数求解中等等问题的探讨，为今后实变函数和分形理论的对比研究找到了一种可行的理论依据和研究方向，也将对实变函数的教学提供了一点理论的参考和具有启发性的教学资源。参考文献： 1程其襄，张奠宙等.实变函数与泛函分析基础M.北京：高等教育出版社，2003：57-58. 2肯尼思.法尔科内.分形几何-数学基础及其应用M.沈阳：东北大学出版社，1991：4142. 3刘玉琏，傅沛仁等.数学分析M.北京：高等教育出版社，2010：153-154.
