数学精彩资料易错题会诊与-高考.试.题预测6.doc

1、#*经典易错题会诊与 2012 届高考试题预测(六)考点 6 平面向量 经典易错题会诊命题角度 1 向量及其运算命题角度 2 平面向量与三角、数列命题角度 3 平面向量与平面解析几何命题角度 4 解斜三角形探究开放题预测 预测角度 1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合预测角度 2 平面向量为背景的综合题命题角度 1 向量及其运算1 (典型例题)如图 6-1，在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 PQ与 BC 的夹角 取何值时 BP CQ的值最大?并求出这个最大值 考场错解 ,|)()(, 2BQPCBQB此后有的学生接着对上式进行变形，更多

2、的不知怎样继续专家把脉 此题是湖北省 20 典型例题)已知，|a|= ，|b|=3，a 与 b 的夹角为 45，当向量 a+b 与 a+b 的夹角为锐角时，求实数 A 的范围考场错解 由已知 ab=|a|b|cos45=3，a+b 与 a+b 的夹角为锐角，(a+b)(a+b)0即 |a|2+|b|2+(2+1)ab=0，2+9+ 3(2+1)0，解得 68516851或实数 的范围是 6851,专家把脉 解题时忽视了 a+b 与 a+b 的夹角为 0 的情况，也就是(a+b)(a+b)0 既包括了 a+b 与 a+b 的夹角为锐角，也包括了 a+b 与 a+b 的夹角为 0，而 a+b与 a

3、+b 的夹角为 0 不合题意对症下药 由已知 ab=|a|b|，|b|cos45=3又 a+b 与 a+b 的夹角为锐角，(a+b)(a+ b)0，且 a+b(a+b)(其中 k,0)由(a+b) (a+b)0，得|a| 2+|b| 2+( 2+1)ab0 即 3 2+11 #*+30，解得 68516851或 由 a+b (a+b)，得 1,，即1，综上所述实数 的取值范围是(-， 68511,1)(1，+) 3(典型例题)已知 O 为ABC 所在平面内一点且满足 032OCBA，则AOB 与AOC的面积之比为 ( )A1 B. 32.C D2考场错解 OCBOBAO 在 BC 边上，且 |

4、2|OCB ,又AOB 与AOC 高相等，AOB 与AOC 的面积之比为 2，选 D专家把脉 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有 O 为ABC的重心的情况下，才有 BA，而本题无此已知条件对症下药 (1)如图 6-3，在 AB 上取一点 D，使 OBAOADBA 32121,2|,2| 得的 比分 又由已知,31OCOCO 为 CD 的中点，不妨设 S AOC =S，则 S AOD=S(两者等底同高) ,23|),2|(,2SBDASAOBDAOB 的面积与AOC 的面积之比为 3：2，选 B(2)不妨设 A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会

5、诊向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共线的充要条件来解题.考场思维调练 1 ABC 内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且 .432OCBOA(1)求 |AB1 答案：由已知得 2 CBA43，所以#*6214|2| )(|.41,1|,|16|912|4,|16)3( 2 222 OA

6、BO OABOBACOBACOBACA 即(2)求ABC 的面积 答案：设AOB=，AOC= ，BOC= ，由 OA B= 41，得cos= 41，sin= 415，S AOB = 21| | |sin= 211 8154同理可求得cos=- 6，sin = 63， SAOC = 53cos=- 87，sinr= 1，S BOC = 21 .168由于 为锐角， ,为钝角，所以 OC不可能在AOB 内部，故AOB、AOC、BOC互不重叠S ABC =SAOB + SAOC +SBOC = 153292 已知向量 a=(1，1)，b：(1，0)，c 满足 ac=0，且|a|=|c|，bc0(1)

7、求向量 c；答案：设 =(m，n)，由 ac=0，得 m+n=0 再由，|a|=|c|，得 m2+n2=2，联立 20nm，解得 m=1，n= -1 或 m=-l，n=1，又b，c=(1，0)(m，n)=m0m=1，n=-1，c=(1，-1)(2)若映射 f:(x，y)+(x ，y )=xo+yc，将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线 l，使得 l 上任一点在映射 f 的作用下的点仍在直线 l 上，若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由答案： xa+yc=y(1，1)+y(1，-1)=(x+y，x-y)，则 f:(x，y)(x+y，x-y)假设存在直线l 满足题意当 l 的斜率

8、不存在时，没有符合条件的直线 l;当 l 的斜率存在时，设l：y=kx+m，在 l 上任取一点 p(x0,y0)，则 p 在映射 f 作用下的点 Q(x0+y0，x 0-y0)，Q 也应在 l 上，即 x0-y0=k(x0+y0)+m 又(x 0，y 0)在 l 上y 0=kx0+m，整理得(1-2k-k 2)x0-(k+2)m=0，此式对于任意 x0恒成立1-2k-k 2=0，(-k+2)m=0解得 k=-1 2，m=0，综上所述，存在直线 l：y=(-1 2)x 符合题意3 已知 A、B、C 三点共线，O 是该直线外一点，设 OA=a， ,cCbB且存在实数 m，使 ma-3b+c 成立求

9、点 A 分 所成的比和 m 的值#*答案：解：设点 A 分 BC所成比为 ，则 BA= C，所以 OA- B=( C-OA)即 a-b=(c-d)，则(1+)a-b-c=0 (1)由已知条件得 c=3b-ma 代人(1)得(1+)a-b-3b+ma=0，即(1+m)a-(1+3)b=0 OBA不共线， a、b 不共线1+m=0，1+3=0，解得 =- 31，m=2A 分 BC所成的比为- 31， m=21.（典型例题）设函数 f(x)=ab,其中 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3,3x且 )求 x;(2)若函数 y=2sin2x 的图像按向量 c=(m,n)(|m|0，sin2=c

10、os，由于 cos0，得 sina= 21 ，则cos= 32 设向量 a=(cos23，cos67)b=(cos68，cos22)，c =a+tb(tR)，求|c|的最小值 答案：解：|a|= 167cos23s=1，|b|= 68co=1ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos(23-68)= 2|c| 2=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2tab=t2+1+ t 21. |c|的最小值为 ，此时 t=-3 已知向量 a=(2，2)，向量 b 与 a 的夹角为 43，且 ab=-2(1)求向量 b;#*答案：设 b=(x，

11、y)，ab=-2，2x+2y=-2，即 x+y=-1，(1)，又a 与 b 的夹角为43，|b|= 43cos|ab=1，x 2+y2=1 (2)，联立(1)、(2)得 x=-1，y=0 或 x=0，y=-1，b=(-1，0)或 b=(0，-1)(2)若 t=(1，0)且 bt，c=(cosA，2cos2 2c)，其中 A、C 是ABC 的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围答案：由题意得 B= 3，A+C= 2，bt，t=(1，0)，b=(0，-1)，b+C=(cosA，cosC)，|b+C|2=cos2A+cos2c=1+ 1(cos2A+cos2C)1+ 1c

12、os2A+cos2( 3-A)=1+ cos(2A+ 3)，0AbO)由已知得 c=m， .3,21mac故所求的椭圆方程是 .142yx(2)设 Q(xQ，y Q)，直线 l 的方程为 y=k(x+m)，则点 M(0，km)，M、Q、F 三点共线，#*|2|QFM， QF2当 时，由于 F(-m，0)，M(0，km)，由定比分点坐标公式，得,31,2kmyxQ又 Q 在椭圆 ;62,1279,1342 kkmyx解 得有上同理当 .0,2kkFM解 得有时 故直线 l 的斜率是 0， .2(典型例题)如图 64，梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上，原点 O 为 AB 的中点，|AB|

13、=.324|,34CDACBD，M 为 CD 的中点(1)求点 M 的轨迹方程；(2)过 M 作 AB 的垂线，垂足为 N，若存在常数 o，使 PNMo，且 P 点到 A、B 的距离和为定值，求点 P 的轨迹 C 的方程考场错解 第(2)问：设 P(x，y)，M(x o，y o)，则 N(0，y o)PNyxyxoo又),(),(x-x o=- ox,y-yo= o(yo-y)， o=-1专家把脉 对 PNM分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上 M、N、P 三点共线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出 o=-1 是错误的对症下药 (1)解法 1：设 M(x，y)，则 C(x，-1+,0),

14、321,()32 BDACyxDy得由即(x，y-1)(x，y+1)=0，得 x2+y2=1，又 x0，M 的轨迹方程是:x 2+y2=1(x0)解法 2：设 AC 与 BD 交于 E，连结 EM、EO，AC+BD，CED=AEB=90，又 M、O分别为 CD， AB 的中点， |21|,1| ABEOCDM，又 E 为分别以 AB、CD 为直径的圆的切点，O、C、M 三点共线， |OM|=|OE|+|AB|=1， M 在以原点为圆心 1 为半径的圆上，轨迹方程为 x2+y2=1(x0)(2)设 P(x，y)，则由已知可设 M(xo，y)，N(0，y)，又由 MP= oPN 得(x-x o，0

15、)= o(-x，0)，x o=(1+ o)x，又 M 在 x2+y2=1(x0) 上，P 的轨迹方程为(1+ o)2x2+ y2=1(x0)，又 P 到 A、B 的距离之和为定值，P 的轨迹为经 A，BP 为焦点的椭圆，1(,98)1(得O o)2=9，P 轨迹 E 的方程为 9x2+y2=1(xO) 3(典型例题)如图 65，ABCD 是边长为 2 的正方形纸片，以某动直线 l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。都落在 AD 上，记为 B；折痕 l 与 AB交于点 E，使 M 满足关系式 BE#*(1)建立适当坐标系，求点 M 的轨迹方程；(2)若曲线 C 是由点 M

16、的轨迹及其关于边 AB 对称的曲线组成的，F 是 AB 边上的一点， 4BFA过点 F 的直线交曲线于 P、Q 两点，且QP，求实数 的取值范围考场错解 第(1)问：以 AB 的中点为坐标原点，以 AB 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系，则 A(0，1)，B(0，1)，设 E(0，t)，B(xo，1)，则由 0xBEM得 y=-t，M 的轨迹方程为 x=x0，y=-t专家把脉 对轨迹方程的理解不深刻， x=xo，y=-t 不是轨迹方程，究其原因还是题目的已知条件挖掘不够，本题中| EB|=| |是一个很重要的已知条件对症下药 (1)解法 1 以 AB 所在的直线为 y 轴，AB 的中点为坐标

17、原点，建立如图 6-6所示的直角坐标系，别 A(0，1)，B(0，-1)，设 E(0，t)，则由已知有 0t1，由|BE及 B在 AD 上，可解得 B(2 t，1)由 + BEM得(x，y-t)=(0，-1-t)+(2 t， 1-t)，即 x=2 2y=-t，消去 t 得 x2=-4y(0x2)解法 2 以 EB、EB分邻边作平行四边形由于 |知四边形 EBMB，为菱形，且 ADBM，动点 M 到定直线 AD 的距离等于 M 到定点 B 的距离，M 的轨迹是以 B 为焦点，以 AD 为准线的抛物线的一部分轨迹方程为 x2=-4y(0x2)(2)由(1)结合已知条件知 C 的方程是 x2=-4y

18、 (-2x2)，由 4FA知 F(0， 21)，设过 F 的直线的斜率为 k，则方程为 y= 1KX，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由 QP 得x1=-x 2，联立直线方程和 C 得方程是 x2 +4kx-2=0，由 -2x2 知上述方程在-2，2内有两个解，由；次函数的图像知 4k ，由 x=-x 2可得21)21()xx由韦达定理得 8k2= 21,2)1(解 得 . 4(典型例题 1)已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点9 的直线交椭圆于 A、B 两点， B 与 a=(3，-1)共线(1)求椭圆的离心率；(2)设 M 为椭圆上任意一点，

19、且 ),(RAM，证明 2+ 2为定值#*考场错解 (1)设椭圆方程为 )0(12bayax，F(c，0)联立 y=x-c 与12byax得(a 2+b2)x2- 2a2cx+a2c2+a2b2=0，令 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1+x2=2,3bacxc由 OBCA(x1+x2，y 1+y2)， a=(3，-1)， OBA 与 a 共线，得 x1+x2=3，y 1+y2=-1，又 y1+y2=x1+x2-2c，c=2，得 a2=3b2，又 a2-b2 =c2=4，b 2=2，a 2=6，e= .36ac专家把脉 OBA与(3，-1)共线，不是相等，错解中，认为 OBA

20、(3，-1)，这是错误的，共线是比例相等对症下药 (1)(前同错解)， OBA与 a 共线，得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0，3(x 1+x2-2c)+(x1+x2)=Ox 1+x2= 3c，代入 .362,23ebcba(2)证明：由(1)知 a2=3b2，所以椭圆 12byax可化为 x2+32=3b2设 OM(x，y)，由已知得(x，y)=(x 1，y 1)+(x 2，y 2)，2YxXM(x，y)在椭圆上，(x 1+x 2)23(y 1+y 2)2=3b2即 2( 3yx) 3(yx+2(x 1x2+2y1y2)= 3b2由(1)知 x2+x2= ,cbac 2831x 1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2