数学精彩资料易错题会诊与-高考.试.题预测15.doc

1、#*经典易错题会诊与 2012 届高考试题预测（十五）考点 15导数及其应用导数的概念与运算导数几何意义的运用导数的应用利用导数的几何意义利用导数探讨函数的单调性利用导数求函数的极值勤最值经典易错题会诊命题角度 1导数的概念与运算1 （典型例题）设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN, 则 f2005(x) ( )A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx考场错解 选 A专家把脉 由 f1(x)=f0(x)=(sinx)=cosx,f2(x)=(cosx)=-sinx,f3(x)=(-sinx)=-cosx,f

2、4(x)=(-cosx)=sinx,f2005(x)=f2004(x)=f0(x0=sinx 前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。因 f4(x)=f0(x)=f8(x0=f2004(x),所以 f2005(x)=f1(x)=cosx.对症下药 选 C2 （典型例题）已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3，f（x）的解析式可能为 （ ）Af （x）=(x-1)3+32(x-1) Bf(x)=2x+1 Cf()=2(x-1)2 Df(x)-x+3考场错解 选 B f(x)=2x+1,f (x)=(2x+1)=2x+1|x=1=3.专家把脉 上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x

3、+1） =2x+1.正确的是（2x+1） =2,所以 x=1 时的导数是 2，不是 3。对症下药 选 A f(x)=(x-1)3+3(x-1)f(x)=3(x-1)2+3,当 x=1 时,f(1)=33.(典型例题) 已知 f(3)=2f(3)=-2，则 3)(2limxf的值为 （ ）A-4 B0 C8 D不存在考场错解 选 D x3,x-30 )(li3xf不存在。专家把脉 限不存在是错误的，事实上，求 0型的极限要通过将式子变形的可求的。对诊下药 选 C 3)(2limxf= 326)(lixxfx#*= 32)(32limxfx .8)2(3)(23)(limfxf4 （05，全国卷）

4、已知函数 f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足 f(x)=0 的所有正数 x 从小到大排成数列；（2）记 Sn是数列x nf(xn)的前项和。求 lim21考场错解 f(x)=e-x(cosx+sinx) +(e-x)(cosx+sinx)=e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e-xcosx令 f(x)=0,x=n+ 2（n=1，2，3，）从而 xn=n+ 2。f(x n)=e-( n+ 2)(-1)n )(1xf=-e .数列f(x n)是公比为 q=-e- 的等比数列。专家把脉 上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x） =e-x 是错误的，由复合函数

5、的求导法则知（e-x） =e-x(-x)=-e-x才是正确的。对诊下药（1）证明：f(x)=(e-x) (cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx.令 f(x)=0 得-2e -xsinx=0，解出 x=n,(n 为整数，从而 xn=n(n=1,2,3,)，f(x n)=(-1)ne-n exfn)(1,所以数列|f(xn)|是公比 q=-e- 的等比数列，且首项 f(x1)=-e-(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+xnf(xn)=nq(1+2q+nqn-1)aSn=q(q+2q 2+nqn)=

6、q( q1-nqn)从而 Sn= q1(n-nqn)2321 )()1(qSSn |q|=e - 0 时， f(x)=ln(2x), f (x)=cf(x)= x1)2(.5 已知函数 f(x)=ln(x-2)- )0(aa为 常 数 且(1)求导数 f(x) 答案： f(x)= ).2(1xx(2)解不等式:f(x)0答案：令 f(x)= ).(02xax即 .402aax 的（i）当 a-1 时， x2+2x-a恒成立，x2.(ii)当 a-1 时， 0,0a的解集为x|x 11axa或 当-18 时， a2, x a.综合得，当 a8 时，f(x)0 的解集为（2，+）.当 a8 时，f

7、(x)0 的解集为（ 1，+ ）.命题角度 2导数几何意义的运用#*1.(典型例题) 曲线 y=x3 在点(1,1)的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形面积为 _.考场错解 填 2 由曲线 y=x3 在点（1，1 ）的切线斜率为 1，切线方程为 y-1=x-1,y=x.所以三条直线 y=x,x=0,x=2 所围成的三角形面积为 S= 222=2。专家把脉 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为 1 显然是错误的。对症下药 填 38。f (x)=3x2 当 x=1 时 f(1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点

8、（1，1）处的斜率为 3。即切线方程为 y-1=3(x-1) 得 y=3x-2.联立 2xy得交点（2，4） 。又 y=3x-2 与 x 轴交于（ 32，0） 。三条直线所围成的面积为 S= 214（2- 3）= 8。2 （典型例题）设 t0,点 P（t,0）是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx3+c 的图像的一个公共点，两函数的图像在 P 点处有相同的切线。（1 ）用 t 表示 a、b、c ；（2 ）若函数 y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求 t 的取值范围。考场错解 （1 ）函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图像的一个公共点 P(t,0).

9、f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. 又两函数的图像在点 P 处有相同的切线，f(t)=g(t) 3t3+a=2bt. 由得 b=t,代入得 a=-t2.c=-t 3.专家把脉 上面解答中得 b=t 理由不充足，事实上只由 、两式是不可用 t 表示a、 b、c，其实错解在使用两函数有公共点 P，只是利用 f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论应是 f(t)=0，即 t3+at=0，因为 t0,所以 a=-t2.g(t)=0 即 bt2+c=0,所以 c=ab又因为 f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，所以 f(t)=g;(t).即 3t2+a=2bt, a=-t 2, b=t

10、.因此 c=ab=-t2t=-t3.故 a=-t2,b=t,c=-t3(2)解法 1 y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当 y=(3x+t)(x-t)0,则- 3t0 故 f(x)在(- ,-1)和(1,+ ) 上都是增函数。若 x(-1,1),则 f(x)0f(x)在(-,-1 )与(1，+)上是增函数。若 x-1,1时，f(x) 0,故 f9x)在-1，1上是减函数。f(-1)=2 是极大值。f(1)=-2 是极小值。（2）解：曲线方程为 y=f(x)=x3-3x,点 A（0，16）不在曲线上。设切点 M（x 0,y0）,则

11、点M 在曲线上，y 0=x30-3x0.因 f(x0)=3x20-3.故切线的方程为 y-y0=(3x20-3)(x-x0). 点A（0，16）在曲线上，有 16-（x 20-0）=3(x 20-1)(0-x0),化简得 x30=-8，得 x0=-2.专家会诊设函数 y=f(x),在点(x 0,y0)处的导数为 f(x0)，则过此点的切线的斜率为 f(x0),在此点处的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。考场思维训练1 曲线 y=2x-x3在点（1，1）处的切线方程为_.答案： x+y-2=0 解析: y=2-3x 2.y|

12、x=1=2-3=-1, 切线方程为 y-1=-(x-1).即 x+y-2=0.2 曲线 y=x3在点（a,a 3）(a0)处的切线与 x 轴，直线 x=a 所转成的三角形的面积为 61，则 a=_.#*答案：1 解析：曲线在（ a,a3）处的切线斜率为 3a2.切线方程为 y-a3=3a2(x-a).且它与 x 轴.x=a 的交点为（ 0,3a） 、 （a,a 3）,S= .6123aa 4=1,解得 a=1.3 已知函数 f(x)=lnx,g(x)= 21ax2+bx(a0)(1)若 b=2,且 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围。答案： b=2 时，h(x)=

13、lnx- 21ax2-2x, 则 h(x)= x1-ax-2=- .12x函数 h(x)存在单调逆减区间，h(x)0,则 ax2+2x-10 有 x0 的理.当 a0 时，ax2+2x-10 总有0 的解.当 a0 总有0 的解.则=4+4a0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根，此时-11 时，r(t)0,所以 r(t)在1，+上单调递增，故 r(t)r(1)=0.则 lnt t1)(2.这与矛盾,假设不成立.故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行, 证法 1 得(x2+x1)(lnx2-lnx1)=2(x2-x1).因为 x10,所以( x)ln( ).令

14、t= 12,得(t+1)lnt=2(t-1),t1 令 r(t)=(t+1)lnt-2(t-1),t1,则 r(t)=lnt+ t-1.因为(lnt- t1)= 21t-,所以 t1 时,(lnt+ t1)0.故 lnt+ t在1,+ 上单调递增 .从而 lnt+ t-10,即 r1(t)0.于是 r(t)在1 ， +上单调递增 .故 r(t)r(1)=0.即 （t+1 ）lnt2(t-1). 与矛盾，假设不成立。故 C1 在点 M 处的切与 C2 在点 N 处的线不平行.4 已知函数 f(x)=|1- x1|,(x0)(1)证明：01;答案：由 f(a)=f(b)得|1- a|=|1- b|

15、.若 1- a1与 1- b同号，可得 1- 1=1- ba这与 03,函数 f(x)的音调递减区间为（-，-1） （3，+）（2）令 f(x)=0,得 x=-1 或 x=3当-20;当 x3 时，f (x)3.(2)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以 f(x)在-1，2因为在（-1，3）上 f(x)0,所以 f(x)在-1，2上单调递增，又由于 f(x)在-2，-1上单调递减，因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间-2，2上的最大值和最小值，于是 22+a=20,解得a=-2.故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,

16、f-1=1+3-9-2=-7即函数 f(x)在区间-2，2上的最小值为-7。2 （典型例题）已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上是减函数，求 a 的取值范围。考场错解 f(x)=3ax 2+6x-1,因为 f(x)在 R 上是减函数，所以 f(x)=3ax2+6x-10 时，f(x)是减函数，但反之并不尽然，如 f(x)=-x3 是减函数，f(x)=3x 2 并不恒小于 0， （x=0 时 f(x)=0）.因此本题应该有 f(x)在 R 上恒小于或等于 0。对症下药 函数 f(x)的导数：f(x)=3x 2+6x-1.当 f(x)=3ax2+6x-1-3 时，f(x)=3ax

17、 2+6x-10 在 R 上至少可解得一个区间，所以当 a-3 时，f(x)是在 R 上的减函数。综上，所求 a 的取值范围是（-，-3） 。3 （典型例题）已知 aR,讨论函数 f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。考场错解 f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1).#*令 f(x)=0 得 x2+(a+2)x+(2a+1)=0,(*)=(a+ 2)2-4(2a+1)=a2-4a.当 a2-4a0,即 a4 或 a0即 a4 时, 方程 x2+(a+2)x+(2a+1)=0 有两个不同的实根 x1、x 2,不妨设 x10; 当

18、 xx1 时，f(x)0 因此 f(x)无极值。（3 ）当0 ,f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)0,故 f(x)为增函数，此时 f(x)无极值点，因此，当 a4 或 a1 时，方程 f(x)=0，在e -m-m,e2m-m内有两个实根。考场错解 令 f(x)0,xln(x+m).me x-x m 取小于或等于 ex-x 的整数。专家把脉 上面解答对题意理解错误，原题“当 m 为何值时，f(x)0 恒成立” ，并不是对 x 的一定范围成立。因此，mex-x 这个结果显然是错误的。对症下药 （1）函数 f(x)=x-ln(x+m),x (-m,+ )连续，且 f(x)=1- mx1,

19、令 f(x)=0,得x=1-m.当-m1-m 时，f(x)0,f(x)为增函数。根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且对 x(-m,+ ) 都有 f(x) f(1-m)=1-m，故当 1-m=f( xin)0,即 m1 时，f(x)0.即 m1 且 mZ 时，f(x)0.#*(2)证明：由（1）可知，当整数 m1 时，f(1-m)=1-m0,又f(x)为连续函数，且当 m1 时，f(e -m-m)与 f(1-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x1(e -m-m;1-m),使 f(x1)=0,而当 m1 时，f(e 2m-m)=e2m-3m(1+1)2m-3m1+2m+ 2)

20、1(m-3m0.(m1 2m-11).类似地，当整数 m1 时，f(x)=x-ln(x+m)在1-m,e 2m-m上为连续增函数，且 f(1-m)与 f(e2m-m)异号，由所给定理知，存在唯一的 x+（1-m,e 2m-m）使 f(x2)=0.故当整数 m1 时，方程 f(x)=0 在e-m-m,e 2m-m内有两个实根。5 （典型例题）用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转 90角，再焊接而成（如图， ）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？考场错解 设容器的高为 x,容器的容积为 V，则 V=（90-2x）

21、 （48-2x）x=4x 3-276x2+4320xV =12x2-552x+4320=0 得 x1=10,x2=36又x0,x36 时,V0;1036,V0.对症下药 设容器的高为 x，容器的容积为 V。则 V=（90-2x） （48-2x）x=4x3-276x2+4320x (00,1036 时 V0.所以，当 x=10 时 V 有最大值 V（10）=1960cm 3又 V(0)=0,V(24)=0所以当 x=10 时,V 有最大值 V（10）=1960。所以该窗口的高为 10cm，容器的容积最大，最大容积是 1960cm3.专家会诊1证函数 f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性

22、定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若 f(x)在（a、b）内个别点上满足 f(x)=0(或不存在但连续)其余点满足 f(x)0(或 f(x)0)函数 f(x)仍然在（a、b）内单调递增（或递减） ，即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。2函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）可能有若干个，而且有时极小值大于它的极大值，另外，f(x)=0 是可导数 f(x)在 x=x0 处取极值的必要而不充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时可以是不必要条件。3函数的最大值、最小值，表示函数 f(x)在整个区间的情况，即是在整体区间上对函数值的比较，连续函数 f(x)在闭区间a、b上必有一个最大值和一最小值，最多各有一个，