1、巧妙分解化解绳牵连模型“死结”分解法解决绳牵连模型中加速度问题的尝试徐海鹏（临夏回民中学 甘肃省临夏市 731100）电话 1399055160 邮箱 绳牵连模型是高中物理教学中的一个难点，很多老师都对这类问题进行了研究探讨，并根据研究结果发表有关绳牵连问题各个方面的论文。但大多数的论文都好像在刻意回避着绳牵连模型中的加速度问题。即使有一部分老师也在论文中探讨到了加速度问题，但都无一例外的选择了高等数学中“位移二阶导数等于加速度”的思路。本人对绳牵连模型也做了一定研究，我认为绳牵连模型中加速度的问题完全可以通过高中物理中运动合成分解的方法来解决的。下面就通过绳牵连模型中几个典型例子，来展现运
2、用合成分解法解决这类问题的思路。若有不妥之处，还请不吝赐教。绳牵连第一类问题：如图 1-1 所示，此类绳牵连问题运动情况较为简单，其主要特点为绳牵连的两个质点 M、N 的运动均在绳子方向上。此类绳牵连问题中 M 与 N 的速度关系和加速度关系很直观，可直接观察得出： ， 。va绳牵连第二类问题：如图 2-1，2-2 所示，此类绳牵连问题在高中物理最为常见，其主要特点为绳牵连的两质点中 M 的运动在绳子方向上，而 N 的运动不在绳子方向。根据质点 N 运动的实际效果，可把 N 的运动分解为两个分运动，第一个分运动是绕O 点的变速率圆周运动；第二个分运动是绳方向 ON 段伸长或收缩的运动。根据分解
3、，M 与 N 的速度关系显而易见，即 。cosNMv但加速度关系并非这么简单，因为 N 的第一个分运动有两个加速度，即切线加速度和法向加速度 （向心加速度） ，而第二个分运动还有 ON 段沿着绳子方向伸长或收缩ana的径向加速度 。 （图 2-1 中各分加速度方向分布情况如图 2-1-1 所示，图 2-2 中的各分加r速度方向分布情况如图 2-2-1 所示）MNvM aMaN vN图 1-1图 2-2NMaMvMaNvNhONOh图 2-1aNvNMvM aM把 N 的加速度正交分解到垂直于绳方向和平行于绳方向，则平行于绳子方向的方向的分加速度为 ，垂直于绳子方向的分加速度为 （如图 2-1-
4、2 和图 2-2-2 所示） 。cosa sinNa对比图 2-1-1 和图 2-1-2 可得： ， 。nrNaacosaNsi对比图 2-2-1 和图 2-2-2 可得： ， 。r可看到： 质点 N 平行于绳方向的加速度分量 并非绳方向 ON 段伸长或收缩cosN的径向加速度 ，而是绳子方向径向加速度 与法向加速度 的矢量和。raraa由于绳牵连类问题的特点，质点 M 的加速度 应等于平行于绳子方向 ON 段伸长或收缩的加速度 。即 。rr则对于图 2-1 和图 2-2 的的例子，分别有 ， 。nNaacosnNMacos由于第一个分运动半径 ，则向心加速度 。 sinhON hvOv32i
5、)i(代入得：图 2-1 的例子中 M 与 N 的加速度关系为 aNM32sinco图 2-2 的例子中 M 与 N 的加速度关系为 hvN32is另外若上述例子中加速度或速度方向发生变化，则根据相应的符号法则处理即可，可自行分析论证，这里不再赘述。绳牵连第三类问题：如图 3-1 所示，此类绳牵连问题在高中物理较为复杂，其主要特点为绳牵连两个质点 M、N的运动均不在绳子方向上。仔细观察可以看到图 3-1 中A 点与图 2-1 中的 N 点情况类似，而图 3-1 中的 B 点与图 2-2 中的N 点情况类似，所以此题的分析过程可参看第二类问题的分析。AOh图 3-1aAvAB aBvB图 2-1
6、-1nra rna图 2-2-1ssiNa图 2-1-2 图 2-2-2Nacossin这样对于 A 点就有 ，对于 B 点就有 。nArAaacos nBraacos由于 A 和 B 是绳牵连的两个质点，所以 A 在绳方向的径向加速度 应等于 B 在绳方rA向的径向加速度 。即 。rrBA同时 和 分别是 A、B 两质点的向心加速度，而 OA、OB 分别是它们的半径。nAa即得 A 和 B 的速度关系为 cossBvA 和 B 的加速度关系为 hvahaBBAA 3232 sincoin总之，通过以上三种绳牵连模型中加速度问题的处理办法，可以看到只要通过恰当的运动分解以及对分解结果精确的判断，就可以用矢量图准确而直观的表示出各加速度间的关系，可以很轻松列出绳牵连两质点间加速度的关系式，而无需通过冗长的高等数学方法来解决此类问题。
