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1、张恂 2080130406,混沌时间序列分析,2009-6-10,- 2 -,Contents,混沌的应用,混沌的几种模型,什么是混沌,- 3 -,一.什么是混沌？,两个问题： 1.你是否能够或多或少的找到一些形状笔直而不是人造的东西？,很显然：你不能找到。因为自然界的本质是非线性的，而线性的东西几乎都是人为的引入的。尽管线性数学是一种非常成功有效而又完美的工具，但它只是对大自然的一种近似。所以刻画大自然的最好的数学工具应该是非线性的尽管它还不成熟。,- 4 -,2.你是否能够或多或少的找到一些刚才发生了的事情，它们不是由发生之前早已存在的某种确定性的原因而引起，而是完全随机的出现的呢？,一.

2、什么是混沌？,很显然你不能找到。自然界的本质是确定性的，而随机的概念只是作为描述和预测未来事件的一种数学工具而人为的引入的。所以：用来刻画大自然的最好的数学工具应该是确定性的。,- 5 -,一.什么是混沌？,通过上面两个问题，你也许会想到有没有一种既是非线性又是确定性但又类似随机的东西,混沌,- 6 -,一.什么是混沌？,1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为蝴蝶效应的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国德克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。,所谓混沌，就是指在确定

3、性系统中出现的一种貌似无规则的，类似随机的想象。它有以下特点： 1混沌具有内在的确定性，它虽然貌似噪声，但不同于噪声，系统是由完全确定的方程描述的，无需附加任何随机因数，但系统仍会表现出类似随机性的行为； 2混沌具有分形的性质3混沌现象还具有对初始条件的敏感依赖性。只要初始条件稍有偏差或微小的扰动，则会使得系统的最终状态出现巨大的差异。因此混沌系统的长期演化行为是不可预测的。,- 7 -,二.混沌的几种模型,1.虫口模型logistic模型.2.洛伦兹方程大气对流模型.3.Chens吸引子,- 8 -,二.混沌的几种模型,定义1,- 9 -,二.混沌的几种模型,2.1.虫口模型logistic

4、模型.,虫口模型昆虫变化的简单数学模型。在某一范围内单一种类（不受其他物种的影响）的昆虫繁衍时，其子代数量远大于其亲代数量（入昆虫一次产卵的数量极大），这样便可认为，在子代出生后，其亲代的数量可忽略不计,最简单的虫口模型是洛吉斯蒂（logistic）方程,- 10 -,二.混沌的几种模型,我们从三种情况分析：,我们只对,- 11 -,2.1.1 当 时,二.混沌的几种模型,通过上述证明，可以看出：1.当 时，由 决定的离散动力系统的动力学形态十分简单，除了不动点 周期点，且是吸引不动点。2.上述性质表明，当 时，虫子最终要成为“物竞天择”的牺牲品。,- 12 -,2.1.2 当 时，首先容易验

5、证，此时 存在两个不动点：0， ,注意,二.混沌的几种模型,- 13 -,二.混沌的几种模型,2.1.2,由上面的分析 时，虫口模型的动力学形态，十分简单。那么当 时会发生什么样的变化呢？,倍周期分支通向混沌我们知道， 时， 的不动点 是吸引的。此时 。当 从1变到3时，从1单调的变到-1，然后 在 处失去稳定性。尽管它任然是不动点，但 时， 从吸引点变为了排斥点，因此它的影响是非常重要的。为了看清当 时到底发生了什么，我们先作一个数值计算。在（0，1）中随机取一个数作为迭代初值 ，让计算机将此迭代，丢弃前100次的迭代数据，绘制出 的轨迹，然后按一定步长增加 的值，可得以下图形：,- 14

6、-,二.混沌的几种模型,在 ，单线开始一分为二，这表明出现了2-周期点。首先在 时， 是稳定的，即 时是稳定的1-周期点的窗口，简称1-周期窗口。由于 ，故在1-周期窗口内， 在 的斜率小于1.但当 时 ，即 处与 相切，当 时， 此时与 有两个交点。这样 除去0， 两个根外，又出现两个根，这两个根不是不动点，而是2-周期点。由于 时，1-周期点失稳，2-周期点便产生了。我们称 是倍周期分至点。由 可得2-周期点,- 15 -,二.混沌的几种模型,下面继续考虑：由于 从而当 从3变到 时， 由1变到-1,即 是2-周期窗口，但 当 时，2-周期点开始失稳。 时， 但 时， 这 样 与 除了0，

7、 四个交点外，又产生了四个交点，这就是4-周期点。 发生了第二次倍周期分支。同理，往后面会继续出现8-周期、16-周期分支，经过n次分支，周期长度为 ，这种周期倍化的过程没有限制，不过相应的 却有一个极限值 =3.569945672但当时，由于周期无穷长，实质上便是非周期，这样便呈现出了混沌的特征,- 16 -,二.混沌的几种模型,故 实质上是有序到无序的分水岭，即当 越过 进入（ ，4 ），便进入了所谓的混沌区，这便是倍周期通向混沌的整个过程。,- 17 -,二.混沌的应用,混沌有以下应用： 1.混沌保密通信 2.混沌预测 3.混沌控制 4.采用混沌反控制可以对“动态病”进行治疗 5.驾驭激

8、光混沌，可以把激光武器系统，或者变成混沌系统，从而大大降低光电武器功率，使来袭导弹失去攻击真正目标的能力；或者使激光获得所需要的频率，大大提高激光束功率。可见，采用混沌控制和反控制的高新技术方略，有可能达到不同的应用目的。,- 18 -,原图像,clear;clc; x=imread(lena256.jpg); a b=size(x); N=a*b; m(1)=input(请输入密钥: ); disp(加密中.); for i=1:N-1 m(i+1)=4*m(i)-4*m(i)2; end m=mod(1000*m,256); m=uint8(m); n=1; for i=1:a for j=1:b e(i,j)=bitxor(m(n),x(i,j); n=n+1; end end imwrite(e,加密后的lena.bmp,bmp); disp(加密成功); winopen(加密后的lena.bmp);,二.混沌的应用,加密后的图像,- 19 -,Shenzhen University,Thank you!,