证明(一).doc

1、第六章 证明（一）课时安排8 课时第一课时课 题6.1 你能肯定吗教学目标（一）教学知识点1.通过观察、猜测得到的结论不一定正确.2.让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.（二）能力训练要求1.通过探索，让学生初步了解数学中推理的重要性.2.初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.教学重点判定一个结论正确与否需进行推理.教学难点理解数学推理的重要性.教学方法自学、讨论、引导法.教具准备投影片四张第一张：想一想， （记作投影片6.1 A ）第二张：做一做， （记作投影片6.1 B）第三张：做一做， （记作投影片6.1 C）第四张：议一议， （记作

2、投影片6.1 D ）教学过程.巧设现实情境，引入新课师在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界.在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论.那这样得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢？生需要推理证明.师很好.从今天开始，我们来学习第六章：证明（一）.讲授新课师下面我们来动手画一画，然后归纳、总结（出示投影片6.1 A）图 61如图 61，四边形 ABCD 四边的中点分别为 E、F、G 、H .度量四边形 EFGH 的边和角，你会发现什么结论？生甲我画出四边形 ABCD，找到四边形的中点 E、F、G、H 后，量了量四边形EFGH 的边发现： EF=G

3、H，EH =GF.角EHG =EFG ，HEF=HGF.生乙由此说明：四边形 EFGH 是平行四边形.师很好.如果改变四边形 ABCD 的形状，你还能得到类似的结论吗？大家再来动手画一画、量一量.生丙我改变了四边形 ABCD 的形状后，它们四边的中点所围成的四边形 EFGH 仍然是对边相等、对角也相等.即：四边形 EFGH 是平行四边形 .生丁老师，我看到周围同学画的四边形 ABCD 的形状都与我的不一样，但连接这四条边的中点 E、F、G、H 所得到的四边形 EFGH 经测量知：它们都是平行四边形.所以由此可得：任意四边形的四条边的中点所围成的四边形都是平行四边形.师丙同学的结论，你能肯定吗？

4、同学们来讨论一下.师生共析好.在八年级上册我们已经知道：连接三角形的两边中点的线段是三角形的中位线.由于 E、F、G、H 是四边形 ABCD 各边的中点，所以可把这个四边形变为两个三角形.即：可以连接 AC，也可以连接 BD.把四边形 ABCD 变为ABC 与ADC 或ABD 与BDC.图 62现在我们来连接 AC.如图 6 2.在ABC 中，EF 是ABC 的中位线，根据 “三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得：EF 平行于 AC 且等于 AC 的一半 .同样，在ADC 中，GH 是ADC 的中位线，则 GH 平行于 AC 且等于 AC 的一半.由“两直线都与第三条直线平行

5、，则这两条直线互相平行”可知：EFGH .又因为：EF= AC，GH= AC，所以得 EF=GH.这样由平行四边形的判定：一组对边平行且相等的21四边形是平行四边形.可以得到：四边形 EFGH 是平行四边形 .即：连接 AC师刚才我们连接了四边形的对角线后，通过推理得证了：连接任意四边形四边的中点所组成的图形是平行四边形.注：本题连接 BD 与连接 AC 的推理过程一样.通过观察、猜测、度量得到的结论是否正确，需要用推理过程得证.下面我们来做一做（出示投影片6.1 B）当 n=0、1、2、3、4、5 时，代数式 n2n+11 的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有自然数 n,n2n+11 的值

6、都是质数？与同伴交流生甲当 n=0 时，n 2n+11=11.当 n=1 时，n 2n+11=11.当 n=2 时，n 2n+11=13.当 n=3 时，n 2n+11=17.当 n=4 时，n 2n+11=23.当 n=5 时，n 2n+11=31.由此可知：当 n=0、1、2、3、4、5 时，代数式 n2n+11 的值都是质数.生乙这样我们就可以得到结论：对于所有自然数 n,n2n+11 的值都是质数.师你一定能肯定吗？师好，下面我们再来做一做（出示投影片6.1 C）图 63如图 63，假如用一根比地球赤道长 1 m 的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成

7、球形）？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？与同伴进行交流.生甲能放进一颗红枣，也能放进一个拳头.生乙不行.师同学们讨论得很精彩，但都不能肯定，那么怎样才能肯定呢？要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.那大家来想一想、议一议（出示投影片6.1 D ）（1）在数学学习中，你用到过推理吗？举例说明.（2）在日常生活中，你用到过推理吗？举例说明.生甲在数学学习中，我们曾用到过推理.如：判定一个四边形是不是平行四边形；生乙还有判定一个四边形是否是梯形.生丙在日常生活中，我们也常用到推理.如：某同学的笔丢了.然后通过推理，说明另一同学拿了.师同学

8、们举出了许多的例子，说明不论在日常生活中，还是在数学学习中，要判断一件事情或一个结论正确与否，必须进行一步一步有根有据地推论.下面我们来通过练习熟悉本节课的内容.课堂练习（一）课本 P174 随堂练习.1、2、3.1.图 64 中两条线段 a 与 b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一下.图 64答案：a 与 b 的长度相等.图 652.图 65 中三条线段 a、b、c,哪一条线段与线段 d 在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.答案：线段 b 与线段 d 在同一直线上.3.当 n 为正整数时，n 2+3n+1 的值一定是质数吗？答案：经验证：当 n 为正整数时，n 2+3n+1 的值

9、一定是质数.（二）课本 P175 读一读：“费马的失误”.（三）看课本 P173175，然后小结.课时小结本节课主要研究了：要判断一个数学结论是否正确，需要有根有据地进行推理.课后作业（一）课本 P176 习题 6.1 1、2、3.（二）1.预习内容 P1771802.预习提纲（1）定义的概念是什么？（2）命题的概念是什么？.活动与探究1.有没有这样的质数，当它加上 10 和 14 时仍为质数.若有，求出来；若没有，请证明.过程这是一个找符合条件的质数问题.由于质数分布无一定规律，因此从最小的质数试验起.希望能找到所求的质数，然后再加以逻辑的证明.结果因为 2+10=12,2+14=16,所以

10、质数 2 不适合.因为 3+10=13，3+14=17 ，所以质数 3 符合要求.因为 5+10=15，5+14=19 ，所以质数 5 不合要求.因为 7+10=17，7+14=21 ，所以质数 7 不适合.因为 11+10=21，11+14=25 ，所以质数 11 不适合.从上面的观察，3 合乎要求，但符合条件的质数是否只有 3 呢？这必须加以证明.证明除了 3 以外的所有正整数加上 10 和 14 均不能是质数.为此把正整数按模 3 同余分类.即：3k1,3k+1（k 为正整数）.因为（3k1）+10=3 k+9=3（k+3）是合数， （3k+1）+14=3k+15=3（k+5）是合数，所

11、以 3k1 和 3k+1 这两类整数中的质数加上 10 和 14 后不能都是质数.因此，在 3k1 和 3k+1 两类整数中的质数加上 10 和 14 后当然不能都是质数.对于 3k 这类整数，只有在 k=1 时，3k 才是质数，其余均为整数 .所以所求的质数只有 3.板书设计6.1 你能肯定吗一、画任意四边形二、做一做n2n+11 的值是质数要判断一个数学结论是否正确，必须有根有据地推理.三、议一议四、课堂练习读一读五、课后作业第三课时课 题6.2.2 定义与命题（二）教学目标（一）教学知识点1.命题的组成：条件和结论.2.命题的真假.3.了解数学史.（二）能力训练要求1.能够分清命题的题设

12、和结论.会把命题改写成“如果，那么”的形式；能判断命题的真假.2.通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法.3.通过对欧几里得原本的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.（三）情感与价值观要求1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体.2.通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣.教学重点找出命题的条件（题设）和结论.教学难点找出命题的条件和结论.教学方法讲练相结合法.教具准备投影片四张第一张：想一想（记作投影片6.2.2 A ）第二张：做一做（记作投影片6.2.2 B）第三张：想一想（记作投影片6.2.2

13、 C）第四张：公理（记作投影片6.2.2 D ）教学过程.巧设现实情境，引入课题师上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？生判断一件事情的句子，叫做命题.师好.下面大家来想一想：（出示投影片6.2.2 A ）观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等.（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.（3）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等.（4）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形.（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形.师大家观察后，分组讨论.生

14、甲这五个命题都是用“如果，那么”的形式叙述的.生乙每个命题都是由已知得到结论.生丙这五个命题的每个命题都有条件和结论.师很好.这节课我们继续来研究命题.讲授新课师大家刚才观察到上面的五个命题中，每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.一般地，命题都可以写成“如果，那么”的形式.其中“如果”引出的部分是条件， “那么”引出的部分是结论.如：上面的命题（1）中，如果引出的部分“两个三角形的三条边对应相等”是条件，那么引出的部分“这两个三角形全等”是结论.有些命题没有写成“如果，那么”的形式，题设和结论不明显.如

15、：“同角的余角相等” ，对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果，那么”的形式.如：“同角的余角相等”可以写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”.注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知”或者“若”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述.下面我们来做一做（出示投影片6.2.2 B）1.下列各命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果 ab,bc,那么 a=c;（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）菱形的四条边都相等；（5）全等三角形的面积相等.生甲第一个命题的条

16、件是：两个角相等，结论是：它们是对顶角.生乙第二个命题的条件是：ab,bc,结论是：a=c.生丙第三个命题的条件是：在两个三角形中，有两角和其中一角的对边对应相等.结论是：这两个三角形全等.生丁第四个命题的条件是：菱形的四条边.结论是：都相等.生戊丁同学说得不对.这个命题可改写为：如果一个四边形是菱形，那么这个四边形的四条边都相等.显然，这个命题的条件是：一个四边形是菱形.结论是：这个四边形的四条边都相等.生己第五个命题可改写为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.则这个命题的题设是：两个三角形全等.结论是：这两个三角形的面积相等.师同学们分析得很好.能够经过分析，准确地找出命题的

17、条件和结论.接下来我们来思考（出示投影片6.2.2 B）2.上述命题中哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么知道它们是不正确的？师大家思考后，来分组讨论.生甲第三个、第四个、第五个命题是正确的.第一个、第二个命题是不正确的.图 610生乙我们讨论的结果是与甲同学的一样.如图 610，1=2,从图形中可知1与2 不是对顶角.所以第一个命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角是错误的.生丙第二个命题中的 a 取 6，b 取 3，c 取 2，这样可知：a 与 c 是不相等的.所以第二个命题是不正确的.师很好.同学们不仅能辨别命题的正确与否，还能举例说明命题的错误.真棒！我们把正确的命题称为真命题（tru

18、e statement） ，不正确的命题称为假命题（false statement）.由大家刚才分析可以知道：要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论.这种例子称为反例（counter example）.注意：对于假命题并不要求，在题设成立时，结论一定错误.事实上，只要你不能保证结论一定成立，这个命题就是假命题了.因此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了.那一个正确的命题如何证实呢？大家来想一想：（出示投影片6.2.2 C）如何证实一个命题是真命题呢？生甲用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.生乙这些方法往往并不可靠.生丙

19、能不能根据已经知道的真命题证实呢？生丁那已经知道的真命题又是如何证实的？生戊哦那可怎么办呢？师其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前 3 世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前 300 前后）编写了一本书，书名叫原本 （Elements） ，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（proof）.经过证明的真命题

20、称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.原本问世之前，世界上还没有一本数学书籍像原本这样编排.因此， 原本是一部具有划时代意义的著作.生老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实.师对，我们这套教材有如下命题作为公理：（出示投影片6.2.2 D）1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.5.三边对应相等的两个三角形全等.6.全等三角形的对应边相等，对应角相等.师同学们来朗读

21、一次.师好.除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替.如：如果 a=b,b=c,那么，a=c,这一性质也看做公理，称为“等量代换”.注意：（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题.（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据.好，下面我们通过“读一读”来进一步了解原本这套书，进而了解数学史.课堂练习1.课本 P185 读一读2.看课本 P181185，然后小结.课时小结本节课我们主要研究了命题的组成及真假.知道任何一个命题都是由条件和结论两部分组成.命题分为真命题和假命题.在辨别真假命题时.注意：假命

22、题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.大家要会灵活运用本节课谈到的公理来证明一些题.课后作业（一）课本 P187 习题 6.3 1、2（二）1.预习内容 P1881902.预习提纲（1）平行线的判定方法的证明（2）如何进行推理.活动与探究将一个命题的条件与结论交换得到一个新命题，我们称这个命题为原命题的逆命题，请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题.1.凡直角都相等.2.对顶角相等.3.两直线平行，同位角相等.4.如果两数中有一个是正数，那么这两个数之和是正数.过程让学生充分考虑，使他们能分清命题的题设和结论.写出逆命题的关键是分清原命题的题设和结论，而判别

23、真假则依赖于对知识的掌握.结果解：（1）凡相等的角都是直.假命题（2）相等的角是对顶角. 假命题（3）同位角相等，两直线平行. 真命题（4）如果两个数之和是正数，那么这两个数中必须有一个正数. 真命题板书设计6.2.2 定义与命题一、命题的组成条件：已知事项结论：由已知事项推出的事项一般地：命题常写成：“如果，那么”二、做一做三、命题的真假 假 命 题真 命 题四、公理五、读一读六、课时小结 七、课后作业6.3 为什么它们平行教学目标（一）教学知识点1.平行线的判定公理.2.平行线的判定定理.（二）能力训练要求1.通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力.2.理解和掌握平行线

24、的判定公理及两个判定定理.3.掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式.（三）情感与价值观要求通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想.教学重点平行线的判定定理、公理.教学难点推理过程的规范化表达.教学方法尝试指导、引导发现与讨论相结合.教具准备投影片五张第一张：定理（记作投影片6.3 A ）第二张：议一议（记作投影片6.3 B）第三张：定理（记作投影片6.3 C）第四张：想一想（记作投影片6.3 D ）第五张：小结（记作投影片6.3 E）教学过程.巧设现实情境，引入新课师前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行

25、呢？生甲在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线.生乙两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行.生丙同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.师很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的.上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实.我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨第三节：为什么它们平行.讲授新课师看命题（出示投影片6.3 A ）两条直线

26、被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.师这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：图 612如图 612，已知，1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且1 与2 互补，求证：ab.那如何证明这个题呢？我们来分析分析.师生共析要证明直线 a 与 b 平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：1 与3 是同位角，所以只需证明1=3，则 a 与 b 即平行.因为从图中可知2 与3 组成一个平角，即2+3=180,所以：3=1802.又因为已知条件中有2 与1 互补，即：2

27、+1=180,所以1=1802,因此由等量代换可以知道：1=3.师好.下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的同时说明：符号“”读作“因为” ， “”读作“所以” ）证明：1 与2 互补（已知）1+2=180（互补的定义）1+2=1801=1802（等式的性质）3+2=180（1 平角=180）3=1802（等式的性质）1=1802，3=18021=3（等量代换）1=3ab（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理.这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行.注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以

28、后都可以作为依据.用来证明新定理.（2）方括号内的“1+2=180”等，就是上面刚刚得到的“1+2=180” ，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略.（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.好，下面大家来议一议（出示投影片6.3 B）小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？图 613图 614生我认为他的作法对.他的作法可用图 614 来表示：CFE=45,BEF=45.因为BEF 与 FEA 组成一个平角，所以FEA =180 BEF=180 45=135.而CFE 与FEA 是同旁内角 .且这两个角的和为 180，因此可知： CDAB.师很好.从图中可知：CFE 与FEB 是内错角.因此可知： “内错角相等，两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.图 615师生共析已知，如图 615，1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且1= 2.求证：ab证明：1=2（已知）1+3=180（1 平角=180）2+3=180（等量代换）2 与3 互补（互补的定义）