【管卫东】教学的一些案例.doc

1、注：本文为非正式教学课件，只想借机阐述一下做大题的道路管式数学大题难题解题法的几个优势：1 传授的是一种做题思想，可应对任何题型2 利用有目的、有步骤而又浅显的基本原理来训练大题难题，能够最大化发挥自身水平3 提炼出题型归类通解，使学生能够在短时间获得提高4 教会学生第一遍就把题做对，考场做题只有一遍机会，节约大量时间，获取更多分数主要特点：从题目中找到蛛丝马迹，而不是从自己的脑中搜寻答案解法，这对高三学生来说，是最有实战性、最具有实际意义的，可以确保拿高分、节约大量时间。式子变形案例分析例 1 式子变形题型举例追求条件和所求的差距已知数列 满足 ，并且nyx, 2,12yx（ 为非零参数，

2、） 111,nnn,43n（I）若 成等比数列，求参数 的值；531,x（II）当 时，证明 ；0*1Nnyxn（III）当 时，证明1 *1322 Nnyxxn解析：（I）原文有两个条件 ，为什么在我第一次做题时我会选择111,nnnyx用条件 带入，而不选择条件 带入？11nnx 1nn解：由已知 且12,363 354 43452123, , .xxxx x若 、 、 成等比数列，则 即 而 解得35315,26.0,1.（II）证明：由已知， ， 及 ，可得012x2ynxy由不等式的性质，有 111212nnnny在我第一次做题时，我凭什么要进行这步变形？另一方面， 2111121n

3、nnnnxxx因此， （ ）.故1nynx*N*1Nyn（III）证明：当 时，由（ II）可知 （ ） ，nyx*如何由第二问得到 ？1nyx又由（II） ，则*1Nxn1nnyxy是根据什么获得的以及为什么要把 变形成1nnyyx *1Nnyxn？ 从而 （ ） 。1nnx 11nnyx*因此1112231 ()()nnnyxxy 讲义：很多考生第一看到这类题型，觉得对第一个问题，还有点感觉，第二问、第三问就比较难下手了，其实并不难。大家看题目（念题目）大多数考生看到这个题目，马上想到题目给的是等比数列，马上开始罗列等比数列公式，然后进行求解，这种做法显然是中了命题者的圈套的，能做出来，但

4、是要走很多冤枉路，但是大家要看清楚，题目第一个问题所求解的内容是求参数 的值,大家注意看，原题有两个条件是关于 ，一个是有关 x 的，一个是关于 y 的，因此，在第一时间做这道题的时候，是掌握哪个条件做这道题好呢？再看原题，关于 x 的是一个等式，并且等比数列也是关于x 的，所以，马上判断，直接用用 x 带入，直接往里代，就可以得出 的值了。第二问求证的内容似乎原题没给出直接相关的条件，这就需要自己补充条件了，怎么补充呢？首先先看求证的条件和题目有没有相关性，比如题目给的关于 x,y 的式子结构较为相似，并且都与 有直接关系，与所求条件进行对比，然后就可以开始进行式子变形了。第二问只需一步变形

5、，即可获得答案，对大部分考生而言，基本上讲通了都会做。第三问看起来就较有难度了，因为乍看和题目不沾边，其实很简单。很多人做到这一步，一看式子这么长，大多数会开始想办法将左边并项，其实这种想法是忽略了问题所问与已知差距，大家看问题，是 x、y 相减的概念，原条件并没有涉及到 x、y 之间的关系，反而是第二问的结果告诉我们 x、y 之间的联系，因此第二问所求结果才是我们要的，然后通过式子对比，发现一个是相除，一个是相减，这时候就可以想起知识点了，当然有的人想不到，这道题用的是初中的知识点，就是等式两边分母减分子（分子减分母也成立）除以分母，等式依然成立。做到这步，这道题基本上就解完了，所谓难题，难

6、在怎么想，不是知识点。这道题大家即使能做出来，但是谁能明白是如何做出来的吗？在做题时，式子的全部变形，直接体现在问题所问的和题目给出的条件到底差在哪。大家要根据式子的差距，决定思维往哪想，而不是根据脑中的知识点，以后大家要反过来记住，是由差距来判断、决定知识点，而不是想由知识点去弥补这个差距。总结回顾下这道题是怎么利用问题与题目之间的差距的：第一问，我们根据求 的值，我们直接可以根据 x 的条件做出来，第二问，原文给的都是 x、或 y 与 的关系，因此必须找出他们的共通点进行式子变形，第三问，原文条件没有，只有第二问有，但是第二问没有涉及加减问题，所以这时候才想到要用知识点进行转化变形。总结分

7、析大部分学生不是掌握不了知识点，也不是不会利用知识点，而是没有找到知识点；应用的空间， “卡”在了某一个关键点，习惯于搜索做过的题型、查阅脑海中对应的知识结构，即使能够作出来，也花费了不少时间和精力，有的甚至还解答不出来，或者绕了许多弯路，这可能是由多方面引起的，强调一遍，这道题的知识点并不复杂，而是题目之间的关联性、设问较为灵活。管式教学强调定性理解试题，即将一些条件转化为最有利的特定条件进行理解，寻找最有直接关联的条件大胆的进行下一步动作，并从中找出差距点，然后才有目的的快速调用一些知识点来弥补条件之间的差距，这样就能完善的将题目一步步的解答出来。即定性理解题目条件，追求题目条件和所求差距

8、，立即补充之间的差距。解析几何解法构成要素例 2 解析几何题型如何审题的固有思维训练设直线 与椭圆 相交于 A、B 两点， 又与双曲线 x2y2=1 相交于 C、D 两点， 2156xyC、D 三等分线段 AB 求直线 的方程.解：首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况，设直线 l 的方程为y=kx+b，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为： ),(),(),(),( 4321 yxDCyBxA设出了四个未知点，感到害怕吗？敢不敢继续写下去？是什么逼着我尽管设出了四个未知点，还只能继续往下做？ xolABCD依题意有 ，由BDAC3,)2.(01(2)1(560 )1.(0425()21(25

9、221 bkxyxbkkbkxyxbk得由 得若 ，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故 1k此处有可能忘了讨论 吗？如果有的话，有没有什么办法在我有考场压力的情况k下仍旧不会忘记考虑 的情况呢？1由243bx 43214213 xxxDBAC1366140),(332(,65)1(,0)(56 242 4,3,2 bbxxCDABxki bkk即由 得由得由时当 或故 l 的方程为 (ii)当 b=0 时，由(1)得1y24,322,1 1)(,560kxkx 得由由 2516165640)(3 22341 kCDAB即由故 l 的方程为 再讨论 l 与 x 轴垂直的情况.xy256设直

10、线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，241524156258|3|3| 1,423242,1xl ccyyCDABy的 方 程 为故即由综上所述，故 l 的方程为 、 和36yx25241讲义：大家不必要知道一道题怎么做了，才去做题，而是对于解析几何大家必须具备几个能力：一、要有很顽强的信心，很多人不是不会，而是不自信，做到一半就放弃了；二、加大对题目真正含义的定性理解；三、加大对具体数字求解的速度。大家都认为，一件事、一道题不知道怎么回事的情况下，肯定做不下去。但是对于考题，哪怕不知道怎么一回事，只要道理原则没错，就应当自信大胆的做下去。这道题十分典型，大家看题目，椭圆

11、方程给了，双曲线方程也给了，那么直线 l 的方程通过最简单的方法设置 y=kx+b，大胆的代入好了。依题意，交点一定会出现 4 个点，但是很多考生不敢设置四个未知点，或者设置四个未知点的时候就不敢做下去了，大家不要怕，所有的考题一定是在临场的情况下可以做出来的，但是有人害怕这么做会走错路，会停下来想想又没有更好的路，这里告诉大家，只要大家把全部精力关注在试题本身，而不是满脑子搜刮以前的经验，同时只要了解题目含义的情况下，理解题目含义了，就大胆的往下做，会慢慢发现，其实是比较简单的。这道题题目只告诉我们一件事，就是一个椭圆方程、一个双曲线方程、一条未知直线，交点 3 等分，根本没有其他隐含条件，

12、因此，设置 4 个未知点，大胆的做下去，现在再告诉大家一个做题规律，凡是直线和曲线相交，立即联立方程组去求 x1+x2，以后考试解析几何都可以这么套，还有，大家要考虑特殊值，现在大家记住，凡是分母有可能为零的情况下，马上抽出来问自己这 0 一定发生么？本题显然 ，否则没有 4 个交点，因此必须首先排除。现在开始下一步，到列出未知点，k联立方程后，唯一没用上的条件是三等分点，所以马上将条件弄进来，要想把四个点全部用上，大家考虑下，用什么表达形式比较好？ ，就可以可以将四个CDAB3,未知点串联起来。同时条件可以转化，斜率一样的，x 1+x2= x3+x4 ，这个条件就可以推出k 或者 b=0，现

13、在就可以列出两个方程列了，一个是 k=0 的，一个是 b=0 的，根据前面推出来的条件，就可以很容易的推出直线方程了。当然，大家不要忘记了前面设的是关于 y的方程，这道题通过做草图来看，还有垂直的情况，因此，不要忘了重新设一个 x=c 的方程，显然，有了前面的基础，x=c 的方程十分容易求解了，这样就完善了。大家记住，整个解析几何求解的最后都必须考虑各种特定情况，此题的求解过程并不困难，所以，有必要说明的是，做题过程不要自己吓唬自己，所谓的复杂性是假象性复杂，这道题写的很多，但是计算的并不多，前面都列好条件后，看看什么条件没利用上，这道题是前面联立好方程后发现只有 3 等分点条件没应用上，只要

14、在这里花点脑筋，就可以顺畅的解题完毕。总结分析大部分学生通常以题海方式做题，碰到不明了、无从下手的题目首先搜寻做过的题目，意图提前想好怎么做题，这放在解析几何是不适用的。还有，大部分学生对式子复杂、表达复杂的题型不敢放开手脚去做，回归到搜寻解法的歧途之中，有着畏难情绪，原本解法其实很简单，但是过程看起来复杂的题型，白白丢分。管式教学解析几何入手法：保持自信，首先题审，审题确认无误后，放手根据题目的意思列出式子，即使是极其复杂，大家也要敢做；其次，即使是表达很复杂，大家也别害怕，因为大多是相似表达，表达出第一个，第二个也就可以关联上了；最后，解析几何永远不要提前想好该怎么做，因为解析几何是靠一步

15、步做下去的，而不是一开始就能够判断出什么方法的，就按照题目给出的条件去写，写到后来就出来了。做题思维及窍门：抓住特定条件，联立求解，条件转化应用。定性审题原则例 3 完善体系：定性审题的理解式子变形的基本道理及举例解析数列 an满足 .)1(2)1(12nanan且（）用数学归纳法证明： ；（）已知不等式 ，其中无理数)(:,0)l( 2exn证 明成 立对e=2.71828.解：（）证明：（1）当 n=2 时， ，不等式成立.2a（2）假设当 时不等式成立，即)(kn ),2(ka那么 . 这就是说，当 时不等式成立.21)(1kkaa 1n根据（1） 、 （2）可知： 成立.nk对 所 有

16、（）证明：由递推公式及（）的结论有 )1.()21()(21 aana nnn为什么要在这步 放缩，且放缩为 ？12)n21()na两边取对数并利用已知不等式得 nl)l(l21凭什么想到取对数？故 .21lnna nnna1)(ll1 ).(上式从 1 到 求和可得 12)1(3l nn n .22)12( nn即 ).1(,ln2ean故讲义：很多同学对式子便形感觉无从下手，怎么做到改进呢？大家在做一道题的时候，如果他的所问的东西呢，还没有表达出来，那么大家可以不假思索的，先表达出来再说。但如果题目已经大概表达出来了，要求大家在做题尤其是在审题上，稍微慢一点，加一点对题目定性分析的过程，定

17、性审题的主要关注题目条件与所求之间的联系和区别，如式子表达形式上是加减、乘除，是等号、不等号等条件有什么区别，由这些决定我们做题的思考方向。我们看这道题，第一问呢指名了用数学归纳法证明，没有什么好说的了。大家主要来看第二问，大家看看所求条件和原文之间的联系，所求内容又给了已知条件： ，那么，到最后一定要两边取自然对)1(:,0)1ln( 2neax证 明成 立对数。大家看原文是等式，求证的是不等式，碰到这类题型，大家一定要想到等式放缩，变为不等式。放缩在什么时候用？当原题条件无法作式子进一步化简的时候，那就放缩，并且一定要要根据已知条件，尽量靠近这个条件去放缩，这道题给出的条件是 ln(1+x

18、)，那么我们就要想办法放缩成 1+x 的形式。很多同学想把 去了，那与所求的条件不符，所求的是小于，而去了 ，反而变成大于某个数了，因此，放缩之前必须考虑不等式方向。这道题的最后一定要取自然对数，那么用乘除法一定优于加减法，现在有什么条件可以进行乘除式的不等变换呢？第一问的结论是 ，那么很容易的将等式变换为不等式，)2(na只要变形原则满足变形原则，一定能够做的下去，接下去就两边取对数，逐步解题。下面注意的要点：但凡是加减法能变乘除法的，一律变为乘除法，即 n2+n 转为 n(n+1),现在大家看到题目要求的求证问题，做到这一步，基本上都会转化了。总结分析大部分学生不善于分析题目和判断所求与条

19、件之间的关联，意图强行套用条件而不能求解，所以不明白怎么样进行式子变形和如何选取式子放缩方向，缩放怎么化简，甚至方向错误，不是学生不会，而是不能关联题目和所求，找不到入手点。管式教学进一步强调定性理解试题，根据题目设求特点第一时间判断式子变形方向。讲究式子缩放诀窍，如尽量采用乘除法，不用加减法，如分析等式化为不等式方向等。主要传达的教学理念是判断、选择加上一点诀窍，就能轻而易举的将难题瓦解。无从下手原则例 4 不懂题目时如何去找新的思维方式，换种思维做函数题设函数 其中常数 m 为整数.fxIn（(1) 当 m 为何值时, 0fx（(2) 定理: 若函数 g(x) 在a, b 上连续,且 g(

20、a) 与 g(b)异号,则至少存在一点x0(a,b),使 g(x0)=0.试用上述定理证明:当整数 m1 时,方程 f(x)= 0,在e - -m ,e2 -m 内有两个实根.解析:（I）函数 f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且为什么要对 f(x)求导？ 1(),fxm0,令 得当 x(-m,1-m)时,f （x）f(1-m)当 x(1-m, +)时,f （x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且对 x(-m, +)都有 f(x)f(1-m)=1-m故当整数 m1 时，f(x) 1-m0(II)证明：题目中所论述

21、的定理，如果读不懂的话，有没有什么办法可以帮助我理解的？由（I）知，当整数 m1 时，f(1-m)=1-m1 时，)(111xfxm使 ),21( 0323)(3)2归 纳 法 证 明上 述 不 等 式 也 可 用 数 学 mef类似地，当整数 m1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数,1e且 f(1-m)与 异号，由所给定理知，存在唯一的)(2mef0)(,122 xfmex使故当 m1 时，方程 f(x)=0 在 内有两个实根。,2e讲义：这道题考查的是什么？题目怎么分析？我们来看第一问，大家注意没有，虽然问题问的是 m 为何值时， 要马上转为定性的思维去理解，那就

22、是 f(x)最小值0fx（为 0，这样才叫做理解，最小值提出来了，导数是一个工具，这个工具正是用来研究整个函数变化规律的，因此，大家看解答：首先确认 x 的取值范围，大家知道 ln(x+m)能成立，x+m 必须为正数，这也是个隐含条件，现在立即开始求导，求导的目的是我们已经知道这道题理解出的条件是最小值得 0，就利用极值为 0 这种概念，用导数得 0 寻求边界点，所以 ，求导变形之后，必须找边界点，然后分区间探讨现在 x=1-m,x()0,1fxm令 得在(-m,+)变化，暂时我们不知道这个极值是极大还是极小，那么我们要马上判断边界点，这个边界点就是 1-m，所以将区间设在（-m,1-m） 、

23、(1-m, +)有人分不清-m，1-m 哪个大，那么转为：-m、-m+1，如何能快速看出他们在这两个区间中是增减函数呢？直接把-m 代进去，分母将是 0，所以越接近-m 值， 越趋近于 1-，肯定小于 0，因 1(),fxm此 f(x)为减函数，把 1-m 代入，就得 0，因此大于 1-m 时，可以推断 f(x)为增函数。导数得 0 的意义是增减函数区间的拐点，所以马上判断 1-m 就是我们所要的关键点，因此根据函数极值判别方法，马上就可以得出第一问结论。第一问关键点，一旦定性理解出其实就是最小值为 0，那么马上求导，导数的本质是研究函数的特性的，求导后fx（倒函数得 0，就能获得拐点，根据拐

24、点的左右边基本不需要计算的，只要稍微分析一下就好，数学不能想的太多，考试时间有限，临场想的越多，出错越大。第二问给出一个没见过的定理，题目中所论述的定理，有什么方法能够快速理解呢？这些题目是大学专家组出的题，可能会用到高中生没见过的东西，但是他们又不能超纲，因此，他们一定会把这些东西定理写出来，并且肯定可以用高中的知识点去解决这道题，没关系，函数考题第一步，当你真不理解时，要么用具体数值，要么画图，像这道题没有具体数值得计算，当然要画图了，大家根据给出的定理画个草图，不是说 g(a)、g(b)异号吗？要么 a 为负、要么 b 为负，又是连续的，那么中间肯定与 x 轴有交点，就是出现 0 值，现在问题所求是有两个实根，我们定性理解为：与 x 轴相交 2 次。大家先不要着急解答，先看给的区间的特特殊性，肯定能在这个区间里取到一个值，这个值的左边形成一正一负，右边也形成一正一负（定理） ，因为必有两个点与 x 轴相交，就是我们所求的两个实根。大家看解题步骤就很清楚怎么回事了，这道题的方向其实并不复杂，复杂的是如何定性理解题目和问题。具体的做法，希望大家将题目抄下来，不看答案将第二步做出来。物力力学：拆分动态现象，将变化点分开。