1、实际流体的动量传递一纳维- 斯托克斯方程实际流体具有粘性，故也称为粘性流体。与冶金机械欧拉方程的推导思路类似，实际流体的运动方程也可从牛顿第二运动定律导出，式(1- 2-69)仍然适用。所不同的是，实际流体所受到的表面力除法向力外，还有切向力，对单位面积而言，则分别称为法应力和切应力。切应力即流体流动时的粘性应力。从量纲的角度考虑，应力与动量通量相当，因此上述表面应力均可表示为!，其下标 i 表示动量的传递方向，j 表示流体的流动方向，即动量的方向。下面进行流体的受力分析。图 1-2-23 为直角坐标系下实际流体中一微元六面体，其边长分别为 dx，dy 和 dz。此微元体的每个面上都受到与之毗
2、邻的来自外部流体的表面力的作用，这种表面力表现为：由流体单位元体线变形而产生的法向力和由流体粘性引起的切向粘性力。图 1-2-23 示出了微元体在 x 轴方向的受力情况。图 1-2-23 微元体受力示意图微元体在 x 轴方向所受质量力为：pXdxdydz (1-2-80)微元体在 x 轴方向所受法向力为左、右两侧面所受法向力之代数和，即(!*+fdx)-dydz=Mxdydz在 x 方向所受切向粘性力为上、下和前、后四个面上的 4 个 x 方向之切向粘性力的代数和，即(!+x+管办) -!yxdxdz+(!zx+#fdz)-!zxdxd+=(#+)dxd+dz因此，微元体在 x 轴方向受到的总
3、表面力为：(#f+賢 +#f)dxdydz (1-2-81)微元体沿 x 轴方向总的净动量率为：dxdydz (1-2-82)#x #y #z微元体内动量率的积累为：jOUx!tdxdydz(puxux)(puxu%)!x+!y因此，根据牛顿第二运动定律式 1-2-69，有将上式右端的各项展开，并运用连续性方程，可得. +丄( +!#yx+!#zx)=!UxO3x!y!z/!t同理，有!(puxuz)!(pux)!z+!t(1-2-83)(1-2-84)!UX!UX!UXDUX!T+UxaT+UyaT+Uz+Y+-z+-!x!y!z/!xy!yy )!x!y!z/(1-2-84a)(l-2-8
4、5a)(l-2-85b)(l-2-85c)办 1!z/!t!x,i!x z!zDtDuxDtDUy： Dt!yz )_Duz,!x+!y+!z)Dt式(1-2-85)即为以应力形式表示的实际流体的运动方程。对不可压缩流体，上述三个运动微分方程中只有密度“和质量力的三个分量 X，Y ，Z为己知，尚有 9 个应力分量和 3 个速度分量共 12 个未知数，加上连续性方程也只有四个方程，欲求解 12 个未知数是不可能的，所以还必须设法找出这些未知量之间的其他关系。对一维流动的牛顿型流体，其切应力与法向速度梯度的关系可用牛顿粘性定律来描述。当流体作三维运动时，情况要复杂得多，每一切应力都与其作用面上两个
5、方向的速度梯度有关，其关系为(推导过程从略）：#xy_#yz_$ /9ux9u%(+!x) 1-)-86a）#yz_#zy_$ /!Uy!uz、!z!y)1-)-86b）#zx_#zx_(!z?+axz)(1-2-86c)而法应力则由如下两部分组成:一部分由流体的静压力产生，其结果使流体微元承受压缩应力而发生体积形变;另一部分由粘性应力作用产生，其结果是使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩应力，发生线性变形。各法应力与静压力和速度梯度之间的关系如下：。! ux#xx_-p+2$ax-2 (!ux3u23$!x!y!z/1-)-87a）。 !uytyy_-9+2$!%-2 /!ux!3U23$!
6、x+!y+!z/1-)-87b）。 ！u z#zz_-p+2$az-2 /!ux!Uy!uz、3$!x+!y+!z/1-)-87c）将方程式（1-2-86) 和式(1-2-87a) 代入方程式(1-2-85a)，得“一丄!92 !2!x2(a2!2UyUz)Dto!x+%!x23%!x2+!x!y+!x!zj/!2UXC!U/ C!U2+v(!%2+!x!y)+v(!z2+axaz)整理后，可得Du#Dt1“p /“+ux “2“x 丄 1 “u “u, ( )由稳态流动的条件或=0 的条件均可推知 :!由=0 知，含有3tuz的各项均应为零，因此，式（1-2-90c)中的!P.丄莩=0，或“
7、!z0同理，对 y 方向的分量式 1-2-90b进行整理可得远=0!y0由式(4)、 （5)知，p 与 y， z 无关。于是式(3)中的偏导数可写成常导数的形式，即dp d2Ux=$d7dx_1丄-dy 24)5)由于 p=Xx)，d%不是 y 的函数，因此可以直接对式 (6)进行不定积分。式(6)可改写成d(dux) _1dpdydy/!dx将上式分离变量后进行一次不定积分，得dy!dx上式分离变量后进行二次不定积分，得利用题给边界条件，Ux_2!：y 0时，=0，得d#$1(dp)ird7=!(dx)y+c&导(d$)y2+ciy+*22!(dP)(l0)(7)(8)(9)(10)利用式(10)可求出最大截面流速。对式 (10)进行微分，得dy丄(dp),Ux 厂令=0，可得dy时o-y即00因此，式(10)又可写成10/dp“2m(dx)x(1-4)Iy0/(11)(12)可见，粘性流体在两平行平板间稳定流动时，流速呈抛物线分布。原文地址：http:/
