神奇的数字.doc

1、一个六位数，当分别用 2，3，4，5，6 乘它后，得到的五个乘积都是一个六位数，而且这得到的五个数是由原来六个数字组成，只是顺序改变了！设这个六位数是: ABCDEF. 1。A=1。若 A 不为 1，则 X6 后就会成为 7 位数。2。六位数里不包含 0。ABCDEF 乘以 1,2,3,4,5,6 后得到的六位数的最高位分别是要求的六个数字（不可能出现两个六位数最高位相同），所以没有 0。3。个位为奇数。否则 X5 后的六位数中将出现 0。4。个位为 7。若为 1，与最高位重复；若为 3，乘以 1，2，3 ，4，5，6 后最后位得3，6，9，2，5 ，8 六个数字，在加上 A=1，是 7 个数

2、，不符；若为 5，分别乘后出现 0；若为 9，乘以 1，2 ，3，4 ， 5，6 后得 9，8，7 ，6，5 ，4 加 1 也是 7 个数字了；只可能是 7。5。六个数字为 1，4，2，8，5 ，7。 个位数是 7 后，分别乘以 1，2 ，3，4，5 ，6 后结果的个位数是：7 ，4 ， 1，8，5，2 ，刚好六个数字。6。六位数是 142857。1BCDE7 其他的再推一下就可以出来，大家也都会了，实在不行，挨个验证一下。与 7 的特殊关系如下：1/70.1428571428572/70.2857142857143/70.4285714285714/70.5714285714285/70.7

3、14285714285 6/70.857142857142 奇妙的数字 古时候，两个秀才在一起讨论题目，甲秀才说：“乙兄台，这次我有一个难题目，你肯定不会，快快甘拜下风吧！”乙秀才却不以为然：“有我不会做的题目吗？”甲的题目是这样的：有一个六位数，这个六位数的最左边一位是 1，把它乘以 3 之后，发生了奇怪的变化，最左边一位 1 移到了最后（如 831318）其他五位各向前移了一位，这个数是多少呢？乙秀才眼睛一转，便有了答案，得意洋洋地说：“这个数不但乘以 3 有变化，乘以2、4、5、6、7 也有变化！”甲秀才听了之后，连连赞叹乙聪明，自己甘拜下风。乙秀才有说了：“我也有一题，有一个数是 25

4、20，这个数十分特别，它能被2、3、4、5、6、7、8、9、10 整除，你能不用计算说出 2520 能被2、3、4、5、6、7、8、9、10 整除呢？”甲秀才思考了半天，也没有答案，便向乙请教，听了乙的一番讲解以后，甲也恍然大悟。同学们，你们知道乙是怎样解决题目的吗？第一题：有一个六位数将它乘以 3 以后，最左边一位的 1 移到了最右边，其余五位数都向前进了一位，这个六位数是多少呢？我们不妨来列一个表格：设第五位数用 A 表示，第四位数用 B 表示，第三位数用 C 表示，第二位数用 D 表示，第一位数用 E 表示第六位数 第五位数 第四位数 第三位数 第二位数 第一位数1 A B C D E注

5、：第六位数我们已知道为 1。乘以 3第六位数 第五位数 第四位数 第三位数 第二位数 第一位数A B C D E 1从表格中，我们不难看出，3E 的个位数字为 1，而 E 范围是 09，3 乘以 1 等于 3，3 乘以 2 等于 6，3 乘以 3 等于 9，3 乘以 4 的个位数为 2，3 乘以 5 的个位数为 5，3 乘以 6 的个位数为 8，3 乘以 7 的个位数为 1，3 乘以 8 的个位 数为 43 乘以 9 的个位数为 7，只有 7 符合要求，所以 E 为 7。3 乘以 7 可以从第一位数往第二位数进 2，所以 3D+2=7 可以转换成 3D=5（个位数字），3 乘以 1 为 3，3

6、 乘以 2 为 6，3 乘以 3 为 9，3 乘以 4 个位数为 2，3 乘以 5 个位数为 5，3 乘以 6 个位数为 8，3 乘以 7 个位数为 1，3 乘以 8 个位数为 4，3 乘以 9 个位数为 7。可以看出只有 5 符合，所以 D=5。3 乘以 5 可以从第二位数向第三位数进 1，得 3C+1=5 可以转换成 3C=4，3 乘以 1 为3，3 乘以 2 为 6，3 乘以 3 为 9，3 乘以 4 个位数为 2，3 乘以 5 个位数为 5，3 乘以 6 个位数为 8，3 乘以 7 个位数为 1，3 乘以 8 个位 数为 4，3 乘以 9 的个位数为 7。可以看出只有 8符合，所以 C

7、=8。3 乘以 8 可以从第三位数向第四位数进 2，得 3B+2=8 可以转换成 3B=6，3 乘以 1 为3，3 乘以 2 为 6，3 乘以 3 为 9，3 乘以 4 的个位数为 2，3 乘以 5 的个位数为 5，3 乘以 6 的个位数为 8，3 乘以 7 的个位数为 1，3 乘以 8 的个位数为 4，3 乘以 9 的个位数为 7。可以看出只有 2 符合，所以 B=2。2 乘以 3 不可以向前进数，所以 3A=2，3 乘以 1 为 3，3 乘以 2 为 6，3 乘以 3 为 9，3乘以 4 的个位数为 2，3 乘以 5 的个位数为 5，3 乘以 6 的个位数为 8，3 乘以 7 的个位数为1

8、，3 乘以 8 的个位数为 4，3 乘以 9 的 个位数为 7。可以看出只有 4 符合，所以 A=4。经过一连串的推算，我们已算出 A、B、C、D、E 。又可以列出表格。第六位数 第五位数 第四位数 第三位数 第二位数 第一位数1 4 2 8 5 7所以这个六位数是 142857。 我们既然已算出 142857，也可以用此类方法解其它类型的题，我们不妨再用这个数乘以2、4、5、6、7 试试。142857 乘以 2 得 285714 结果是把 142857 的 14 放到数尾。142857 乘以 3 得 428571 结果是把 1 放到最后（这也是我们刚才所求的。）142857 乘以 4 得 5

9、71428 结果是把数尾的 57 放到数的前面。142857 乘以 5 得 714285 结果是把数尾的 7 放到最前面。142857 乘以 6 得 857142 结果是把数尾的 857 与前面的 142 交换位置。142857 乘以 7 得 999999 这次结果更干脆了，都是 9 了 999999。怎么样，142857 是不是十分特别呢？不过，刚才题目也提到了另一个奇怪的数：2520，怎么样不通过计算来证明 2520 能被 2、3、4、5、6、7、8、9、10 整除呢？要想知道怎样不通过计算而证明 2520 能被 2、3、4、5、6、7、8、9、10 整除？必须要知道能被这些数整除的特性（

10、都指自然数。）1、 能被 2 整除：必须是一个偶数，能被 2 整除。2、 能被 3 整除：各个数位的和相加若能被 3 整除，则这个数能被 3 整除。3、 能被 4 整除：是这个数末两位数或三位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。4、 能被 5 整除：是这个数的末尾不是 5 就是 0。5、 能被 6 整除：若这个数能同时被 2、3 整除，则这个数能被 6 整除。6、 能被 7 整除：这个数个位数字以前的数字组成的数与个位数字的 2 倍的差能被 7 整除，则这个数能被 7 整除。7、 能被 8 整除：是这个数的末尾两位数或三位数能被 8 整除。8、 能被 9 整除：各个数位之和能被 9 整除

11、，则这个数能被 9 整除。9、 能被 10 整除：这个数的个位一定为 0，则这个数能被 10 整除。我们知道了这些，解这道题就简单了，只要看一下符不符合以上条件，结果 2520 完全符合，所以我们说 2520 能被 2、3、4、5、6、7、8、9、10 整除。这个六位数乘以 2、3、4、5、6，得到了五个六位数，总共有六个六位数，而这六个六位数的数字都相同，只是次序不同。因此得出的第一个结论是：这六个数字都有机会排在第一位；而且这六个数字都不相同；也不能有 0。这六个数字也必然会分别排在最后一位。否则就不符合题意了。（如不是“这六个数字都有机会排在第一位”，就有可能某个数字两次排在第一位，这两

12、个六位数相减，最多只能是五位数；如不是“这六个数字都不相同”就有相同的两个数字都会出现在第一位，两者相减也最多只能是五位数；如有个数字为 0，当它排在第一位时，也成了五位数了）。如不分别出现在最后一位，那有可能这两个数之差的最后一位为 0，也与题意不合。二、第二个结论是：这个六位数的第一位只能是 1。如是 2 或以上，则乘以 5 或 6，就要是七位数了。三、因为这六个数这有了 1，这个 1 也有机会排在最后一位。所以结论三是：这六位数最后一位只能是奇数。（因为偶数乘任何数都是偶数，不会有 1 出现在最后一位）。而因为已经有了 1 出现在第一位，所以最后一位只可能有 3、7、9 这三种可能。5

13、是不可能的，5 乘 2、4、6 都会有 0 出现，不符合题意。四、3 和 9 也是不可能的。因为最后一位是 3，只有乘以 7；最后一位是 9，只有乘以 9，才可能出现 1。结论四是：这个六位数的最后一位数是 7。五、7 乘以 2、3、4、5、6 后得出最后一位数是：4、1、8、5、2。结论五是：这六个六位数都由 7、4、1、8、5、2 这六个数字组成的。六、这个六位数第一位是 1，第六位是 7；，第二位只能是 4。如果第二位是 5、8，则乘以 6 后第一位会出现 9，不在这六个数字之中；如第二位是 2，则乘以 6 第一位只有 7，没有 8。均不符合题意。七、这个六位数的第三位只能是 2。如是

14、5、8，则乘以 2 后，要进 1，第二位上会出现 9，不在这六个数字之中，不符合题意。八、这个六位数的第四位只能是 8。如是 5，则乘以 3、4、5、6 后，数字全乱了。九、由此得出这个六位数是 142857十、该六位数乘以 2、3、4、5、6 后得：285714428571571428714285857142从而得出该数字是符合题意的。这六个六位数只是把位置平移了一下，排列顺序还是 142857。而且如把它分成 3 组：14、28、57，28 是 14 的 2 倍，57 是 28 的 2 倍加 1。很好记。而乘以 7，则得到：999999，再加 1，就是 1000000。十一、这六个六位数很

15、有规律，如果你把 1、2、3、4、5、6 分别除以 7，会得到循环小数，它们的循环节就是这六个六位数。题目:求一个六位数,分别乘以 2-6,所得到的各个积都是六位数, 且与原数的各个数字相同,仅是顺序不同.解: 设这个六位数为 N=a6a5a4a3a2a1.(1).若 a6=2,则 6N 为七位数,与题意不符,故 a6=1(2).因为六个数相邻二数之差为 N,若第一位相同 ,则差的第一位为 0,与 a6=1 矛盾.所以:N,2N,3N,4N,5N,6N 的左起第一个数字为互异非零数字.(3).若 a1=5,则 2N 末位为 0.若 a1 为偶数,则 5N 末位为 0.而 ai(i=1.5)必做

16、一个首位, 故都大于 1,故 a1 必须大于 1,所以 a1=3 或 7 或 9.若 a1=3,则 iN 的末位数分别为:6,9,2,5,8.此时六位数由 3,6,9,2,5,8 六个数组成, 但已知a6=1,所以不符合.若 a1=9,末位数字为 8,7,6,5,4,同理不符合.所以 a1=7,由 iN 末位数可知,六个数为:1,4,8,5,2,7(4)若六个数中有两个数的某一位数相同,则它们的差的这一位数字为 0 或 9,差为 iN(i=1.5).而组成数字中没有 0 或 9,所以不可能存在两个六位数中的某一位数相同.(5)由 1+4+8+5+2+7=27 得,N+2N+3N+4N+5N+6

17、N=21N=124578+124587+.=2999997所以 N=2999997/21=1428571/3 果真等于 0.33333吗?=分割线= 以下引用任月扬论文=典型的常识 1/3 等于 0.33333导致五个大荒唐任月扬荒唐一. 常量 = 变量1/3 这个分数，在 0 至 1 的线段中，是一个固定的点，它是常量； 0.33333，这不是一个小数，而是代表无数多个 1/3 的近似值，小数点后面的 3 越多的近似值，越接近于 1/3，这个接近的过程，永远不会结束！因此 0.33333是变量。“有一大类分数无法转换成小数的形式。1/3 这个简单分数就不能用十进制小数表示出来”。这是著名数学

18、家兼物理学家兰佐斯的观点。（兰佐斯无穷无尽的数一书 P126）荒唐二. 整数 = 小数1/3 = 0.33333这个所谓的等式，两边各乘于 3 就会又推出如下的荒唐的等式：整数 1 = 小数 0.99999。据此，又可以推出：“全体自然数都是小数”的荒唐结论！荒唐三. 近似值 = 极限变量 0.33333代表无数多个近似值：0.3，0.33， 0.333，0.3333，0.33333，0.33333 等等。这些近似值的极限是1/3。“ 近似值的极限是 1/3”这句话，等同于：“近似值的极限 = 1/3”；也等同于：“0.33333型小数的极限 = 1/3”。其中：0.33333型小数，是定语；

19、极限，是主语； 1/3，是谓语。不能将定语变成主语。省略语为：极限是 1/3，但是，绝对不等同于如下的等式：近似值 = 1/3 （近似值是分数，这个句子的逻辑也不通）0.33333=1/3（所谓无限循环小数是分数，句子的逻辑也不通） 荒唐四. 无穷小 = 01/3 = 0.33333 + 0.00001/3，这是一个无比正确的等式，是真理！而 1/3 = 0.33333或者写为：1/3 = 0.33333，这两种等式，是荒谬的写法！因为，其前提是： 0.00001/3 = 0。而 0.00001/3 是 13 除法永远除不尽的剩余，即，与 1/3 有关的无穷小永远大于 0，因此，无穷小 = 0

20、 是荒谬的！前提是错误的！从而 1/3 = 0.33333当然是荒谬的！荒唐五. 1 = 01/3 = 0.33333 + 0.00001/3，可以变换为如下形式：1/3 = （10n - 1）/（310n ） + 1/（310n）其中 n 可以代入任何自然数。不少人蛮横地认为：1/（ 310n）= 0从而认为如下这个把 1/（310n）删除后的等式才是真理：1/3 = （10n - 1）/（310n ）但是，1/3 = （10n - 1）/（310n ） + 1/（310n）就是：1/3 = （10n - 1）1/（310n） + 1/（310n）按照 1/（310n ）= 0 的蛮横规定上

21、述等式，就得到：1/3 = （10n - 1）1/（310n） + 1/（310n）1/3 = （10n - 1）0 + 0 两边同乘以 3 就可以得到：1 = 01 = 0，是表示荒谬的典型数学语言、最荒唐的逻辑符号！=分割线=以下引用兰佐斯论文=兰佐斯说“1/3 这个简单分数就不能用十进制小数表示出来”也等于提醒我们可从进制比较中找到逻辑。我经过分析发现，除了 3 进制、6 进制、 9 进制、3n 进制以外，用其它进制小数来表示 1/3 都是不可能的。也等于说，这些小数都是不存在的！令我最为兴奋的一个逻辑推理方法：假设：十进制 1/3 = 0.33333，为真理就立即推出：三进制 0.1

22、= 0.022222这个荒谬等式也为真理！明明是有限小数,怎么一下子能等于“无限循环小数”了呢？！任何花言巧语都将无法掩盖这个大荒唐！除非在学术上使用反民主的蛮横的“ 暴力镇压”！以下将 0.333333和 1/3 的不同进位制列表如下：不同进位制 小数 分数 是否可表示为小数十进制 0.333333 1/3 = 不能二进制 0.010101 1/11 = 不能三进制 0.022222 1/10 = 0.1 能四进制 0.111111 1/3 = 不能五进制 0.131313 1/3 = 不能六进制 0.155555 1/3 = 0.2 能七进制 0.222222 1/3 = 不能八进制 0.

23、252525 1/3 = 不能九进制 0.288888 1/3 = 0.3 能类似的荒谬还有无数，但是，人们都熟视无睹！例如：十进制 4.428571428571 31/7 = 不能七进制 4.266666666666 43/10 = 4.3 能讨论“1/3 = 0.333333”这个常识是否正确，关系重大。0.33333与 1/3 之间有间隙，表示两者不相等。就意味着所有实数都能分得清，就有可数性。自然数小数等量。数学基础的理论就必须修正。0.33333与 1/3 之间无间隙，表示两者是同一个数，全体实数就不可数。全体小数的数量就多于全体自然数。=分割线= 引用完=1/33 吗?(博客原因.

24、意思一下). 而该极限似乎又是正确的. 在图像上作出 y=1/3 和 y=0.3333.,是相同的水平线吗? 还是有间距呢?y=1/3x 和 y=0.3333.x 的斜率是否相同呢?这里对 y=1/3x 和 y=0.3333.x 的斜率进行讨论.构造 y=1/3x,y=0.333.x+1如果两斜率相同,则它们之间的平行线处处相等.而当 x=0 时, 显然数值方向相差 1.而当 x=1 时,y1=1/3,y2=0.333.+1.若 1/3=0.3333.,则两式相等成立 .(直接相减也可以).而若1/30.333.,那么两式不相等,再取 x=-1 与 x=0 比较,两式差值与 x=1,x=0 相

25、等, 那么 x=-1和 x=1 时相等.这是否有矛盾 ?两个难以解释的数学巧合一.123456789将 123456789 翻一倍，你会发现结果仍然是这 9 个数字的一个排列：123456789 x 2 = 246913578我们再次将 246913578 翻倍，发现：246913578 x 2 = 493827156结果依旧使用了每个数字各一次。我们继续翻倍：493827156 x 2 = 987654312一个很有特点的数 987654312，显然每个数字又只用了一次。你或许会想，这下到头了吧，再翻倍就成 10 位数了。不过，请看：987654312 x 2 = 1975308624又使用

26、了每个数字各一次，只不过这一次加上了数字 0。再来？1975308624 x 2 = 3950617248 又是每个数字各出现一次。出现了这么多巧合之后我们开始怀疑，这并不是什么巧合，一定有什么简单的方法可以解释这种现象的。但是，下面的事实让这个问题更加复杂了。到了第 6 次后，虽然仍然是 10位数，但偏偏就在这时发生了一次例外：3950617248 x 2 = 7901234496 - 第一次出现例外。于是，我们不得不相信，前面这一切很可能只是一个巧合，它背后并没有什么简单的原理。即使有办法解释这种巧合，解释方法可能也很麻烦。寻找一个漂亮的解释是一个有趣的课题。 二.142857先把 999

27、99977=142857然后我们将它乘以 2,得到 1428572=285714将它乘 3 得到 1428573=428571乘 4 得到 1428574=571428继续依次乘以 5 和 6,得到:1428575=714285，1428576=857142可见每一个数字都只由 124578 组成.更为神奇的是: 1/7=0.142857142857142857这中间的某种联系,难道也只是巧合?三.其它的一些有趣运算1 x 8 + 1= 912 x 8 + 2= 98123 x 8 + 3= 9871234 x 8 + 4= 987612345 x 8 + 5= 98765123456 x 8

28、 + 6= 9876541234567 x 8 + 7= 987654312345678 x 8 + 8= 98765432123456789 x 8 + 9= 9876543211 x 9 + 2= 1112 x 9 + 3= 111123 x 9 + 4= 11111234 x 9 + 5= 1111112345 x 9 + 6= 111111123456 x 9 + 7= 11111111234567 x 9 + 8= 1111111112345678 x 9 + 9= 111111111123456789 x 9 +10= 11111111119 x 9 + 7= 8898 x 9 +

29、 6= 888987 x 9 + 5= 88889876 x 9 + 4= 8888898765 x 9 + 3= 888888987654 x 9 + 2= 88888889876543 x 9 + 1= 8888888898765432 x 9 + 0= 8888888881 x 1= 111 x 11= 121111 x 111= 123211111 x 1111= 123432111111 x 11111= 123454321111111 x 111111= 123456543211111111 x 1111111= 123456765432111111111 x 11111111=

30、123456787654321111111111 x 111111111= 12345678987654321神奇的循环小数 1/7 的循环节把 1/7 循环节作为六位数是 142857。1.142857 乘以 1-6 各数：1428571=1428571428572=2857141428573=4285711428574=5714281428575=7142851428576=8571421428577=9999991428578=1142856142857 乘以 1-6 各数，很奇妙！得数是由 1、4、2、8、5、7 这 6 个数交换位置得到的。2.142857 与它的平方：142857=

31、20408122449，把 20408122449 拆成 20408 和122449，20408+122449=142857。神了，又回到 142857 了！1/81 的循环节将 1/81 的循环节作为一个八位数是 12345679。1.12345679 乘以 9 的倍数：123456799=1111111111234567918=2222222221234567927=33333333312345679 乘以 90 以人 9 的倍数，得数是 9 个相同的数，这个数=乘数9。2.12345679 乘以 3 的倍数：123456793=37037037（30）123456796=74074074

32、（33）123456799=111111111（9）1234567912=148148148（39）1234567915=185185185（42）1234567918=222222222（18）1234567921=259259259（48）1234567924=296296296（51）1234567927=333333333（27）1234567930=370370370（30）1234567933=407407407（33）1234567936=444444444（36）1234567939=481481481（39）1234567942=518518518（42）1234567945

33、=555555555（45）1234567948=592592592（48）a.它们各数上的数字和（括号中数）从“1234567927”开始，各位数上的数字和与乘数相等。除掉 9 的倍数（斜体字）外，各数位上的数字和的规律是：以 6 个数字为一轮，分别是 30，33，39，42，48，51。它们之间的规律是：+3，+6，+3 ，+6，+3。b.从“1234567912”开始，它们的乘积总是三个数字循环出现，成群结队。 神奇的数字 一个六位数当它分别乘以 2、3、4、5、6 时，所得的五个乘积仍然都是六位数，且每个六位数的全部数字都是原来六位数的数字，有谁能告诉我这是哪个六位数吗？ 这个问题体现

34、了数字里无穷的知识。 “7”就是其中之一。1/7=0.142857 142857 142857 .2/7=0.285714 285714 285714 .3/7=0.428571 428571 428571 .4/7=0.571428 571428 571428 .5/7=0.714285 714285 714285 .6/7=0.857142 857142 857142 .就是这么神奇，6 个分数都是由同样的“6”个数字构成，仅差在数字的位置上。而位置又不是无规律的变化。仔细观察后会发现， “6”个数字的位置只是前后的移动，丝毫不乱。这 6 个分数的倍数关系决定了 “6”个循环节之间的倍数关

35、系。所以：142857: 285714: 428571: 571428: 714285: 857142 = 1: 2: 3: 4: 5: 6当然，我们也可以通过计算，得出结果。过程如下：假设有一个“6”位数，如果将它的最高位数移到个位，得到的新数就是原数的 N 倍。并且 2N6 。首先，令原数的最高位数等于 A ；其余 5 位等于 B ，倍数等于 N , 且: 2N6 。那么，原数可表示为 100000AB ； 移位后的新数就可以表达为 10BA建立等式关系：10BA=N(100000AB)， 通过讨论,N =2、4、5、6 均不可。N 当且仅当等于 3等式可变为：10BA=3 (100000AB)7B=2999999A B=42857A再通过讨论，A 只能 取 1 ， B 得 42857得出原数为： 142857将 142857 分别移动 1 位 、 2 位 、3 位 、4 位 、5 位 后，得到的新数不难发现它们与原数之间的倍数关系。