100个著名初等数学问题研究.doc

1、100 个著名初等数学问题研究可惜太过于零散，没有收集整齐 作者： h1 | 转贴自：http:/www.ctex.org | 点击数：116 | 更新时间：2004-9-15 | 文章录入：admin 第 01 题 阿基米德分牛问题 Archimedes Problema Bovinum 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的 1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的 1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的 1/6+1/7.在母牛中，白牛数是全体黑牛数的 1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数

2、1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的 1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的 1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的？ 第 02 题 德梅齐里亚克的法码问题 The Weight Problem of Bachet de Meziriac 一位商人有一个 40 磅的砝码，由于跌落在地而碎成 4 块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这 4 块来称从 1 至 40 磅之间的任意整数磅的重物.问这 4 块砝码碎片各重多少？第 03 题 牛顿的草地与母牛问题 Newtons Problem of the Fields and Cows a 头母牛将 b 块地上的牧草在 c 天内吃完了；a头母

3、牛将 b块地上的牧草在 c天内吃完了；a“头母牛将 b“块地上的牧草在 c“天内吃完了；求出从 a 到 c“9 个数量之间的关系？第 04 题 贝韦克的七个 7 的问题 Berwicks Problem of the Seven Sevens 在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * 7 * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * *用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然

4、被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第 05 题 柯克曼的女学生问题 Kirkmans Schoolgirl Problem 某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第 06 题 伯努利-欧拉关于装错信封的问题 The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters求 n 个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.第 07 题 欧拉关于多边形的剖分问题 Eulers Problem of Polygon Division 可以有多少种方法

5、用对角线把一个 n 边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第 08 题 鲁卡斯的配偶夫妇问题 Lucas Problem of the Married Couples n 对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第 09 题 卡亚姆的二项展开式 Omar Khayyams Binomial Expansion 当 n 是任意正整数时，求以 a 和 b 的幂表示的二项式 a+b 的 n 次幂.第 10 题 柯西的平均值定理 Cauchys Mean Theorem 求证 n 个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.第 11 题 伯努利

6、幂之和的问题 Bernoullis Power Sum Problem 确定指数 p 为正整数时最初 n 个自然数的 p 次幂的和 S=1p+2p+3p+np.第 12 题 欧拉数 The Euler Number 求函数 (x)=(1+1/x)x 及 (x)=(1+1/x)x+1 当 x 无限增大时的极限值.第 13 题 牛顿指数级数 Newtons Exponential Series 将指数函数 ex 变换成各项为 x 的幂的级数.第 14 题 麦凯特尔对数级数 Nicolaus Mercators Logarithmic Series 不用对数表，计算一个给定数的对数.第 15 题 牛

7、顿正弦及余弦级数 Newtons Sine and Cosine Series 不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.第 16 题 正割与正切级数的安德烈推导法 Andres Derivation of the Secant and Tangent Series 在 n 个数 1，2，3，,n 的一个排列 c1，c2 ， ，cn 中，如果没有一个元素 ci 的值介于两个邻近的值 ci-1 和 ci+1 之间，则称 c1，c2 ， ，cn 为 1，2，3，,n 的一个屈折排列. 试利用屈折排列推导正割与正切的级数.第 17 题 格雷戈里的反正切级数 Gregorys Arc Tangent S

8、eries 已知三条边，不用查表求三角形的各角.第 18 题 德布封的针问题 Buffons Needle Problem 在台面上画出一组间距为 d 的平行线，把长度为 l（小于 d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？第 19 题 费马-欧拉素数定理 The Fermat-Euler Prime Number Theorem 每个可表示为 4n+1 形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示.第 20 题 费马方程 The Fermat Equation 求方程 x2dy2=1 的整数解，其中 d 为非二次正整数.第 21 题 费马-高斯不可能性定理 The Fer

9、mat-Gauss Impossibility Theorem 证明两个立方数的和不可能为一立方数.第 22 题 二次互反律 The Quadratic Reciprocity Law （欧拉- 勒让德- 高斯定理）奇素数 p 与 q 的勒让德互反符号取决于公式（p/q）（ q/p）= （1）(p-1)/2(q-1)/2.第 23 题 高斯的代数基本定理 Gauss Fundamental Theorem of Algebra 每一个 n 次的方程 zn+c1zn-1+c2zn-2+cn=0 具有 n 个根.第 24 题 斯图谟的根的个数问题 Sturms Problem of the Num

10、ber of Roots 求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.第 25 题 阿贝尔不可能性定理 Abels Impossibility Theorem 高于四次的方程一般不可能有代数解法.第 26 题 赫米特-林德曼超越性定理 The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem 系数 A 不等于零，指数 为互不相等的代数数的表达式 A1e1+A2e2+A3e3+不可能等于零.第 27 题 欧拉直线 Eulers Straight Line 在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中

11、线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第 28 题 费尔巴哈圆 The Feuerbach Circle 三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.第 29 题 卡斯蒂朗问题 Castillons Problem 将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.第 30 题 马尔法蒂问题 Malfattis Problem 在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.第 51 题 作为包络的抛物线 A Parabola as Envelope 从角的顶点，在角的一条边上连续 n 次截取任意线段 e，在另一

12、条边上连续 n 次截取线段 f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为 0，1，2，n 和 n， n1，2，1 ，0.求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.第 52 题 星形线 The Astroid 直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络.第 53 题 斯坦纳的三点内摆线 Steiners Three-pointed Hypocycloid 确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络.第 54 题 一个四边形的最接近圆的外接椭圆 The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilat

13、eral 一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？第 55 题 圆锥曲线的曲率 The Curvature of Conic Sections 确定一个圆锥曲线的曲率.第 56 题 阿基米德对抛物线面积的推算 Archimedes Squaring of a Parabola 确定包含在抛物线内的面积.第 57 题 推算双曲线的面积 Squaring a Hyperbola 确定双曲线被截得的部分所含的面积.第 58 题 求抛物线的长 Rectification of a Parabola 确定抛物线弧的长度.第 59 题 笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues Ho

14、mology Theorem (Theorem of Homologous Triangles) 如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.第 60 题 斯坦纳的二重元素作图法 Steiners Double Element Construction 由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素.第 61 题 帕斯卡六边形定理 Pascals Hexagon Theorem 求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.第 62 题 布里昂匈六线形定理 B

15、rianchons Hexagram Theorem 求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点.第 63 题 笛沙格对合定理 Desargues Involution Theorem 一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线） 1，2 ，3，4 和它们的六条连线交点 23，14 ，31，24 ，12 ，34 ；其中 23 与 14、31 与 24、12 与 34 称为对边（对顶点

16、）.第 64 题 由五个元素得到的圆锥曲线 A Conic Section from Five Elements 求作一个圆锥曲线，它的五个元素点和切线是已知的.第 65 题 一条圆锥曲线和一条直线 A Conic Section and a Straight Line 一条已知直线与一条具有五个已知元素点和切线的圆锥曲线相交，求作它们的交点.第 66 题 一条圆锥曲线和一定点 A Conic Section and a Point 已知一点及一条具有五个已知元素点和切线的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线.第 67 题 斯坦纳的用平面分割空间 Steiners Division of Sp

17、ace by Planes n 个平面最多可将整个空间分割成多少份？第 68 题 欧拉四面体问题 Eulers Tetrahedron Problem 以六条棱表示四面体的体积.第 69 题 偏斜直线之间的最短距离 The Shortest Distance Between Skew Lines 计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.第 70 题 四面体的外接球 The Sphere Circumscribing a Tetrahedron 确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.第 71 题 五种正则体 The Five Regular Solids 将一个球面分成全等的球面正多边形.第

18、 72 题 正方形作为四边形的一个映象 The Square as an Image of a Quadrilateral 证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.第 73 题 波尔凯-许瓦尔兹定理 The Pohlke-Schwartz Theorem 一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.第 74 题 高斯轴测法基本定理 Gauss Fundamental Theorem of Axonometry 正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零.第 75 题 希帕查斯球极平面射影 Hipparchus Stereographic Projection 试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.