1、1 令观测样本由 1(,.)iixswin给出，其中 是一高斯白噪声，其均值为零，方差为 1。假定 的先验概率密度为iws2()exp()sfaa试用平方和均匀代价函数分别求 的贝叶斯估计。解：，2()1(|)exp2ii spxs1,.in2 22111()()|(|)exp()expnnn ni ii ii i ss且122()(pss（1） 采用平方代价函数，相应贝叶斯估计为最小均方误差估计 mse|(|)mseEspdx 2122112122122211 12 ()|(|)()exp(exp()()exp()()() ()exp()exp() nniinniiniiinni isp s
2、sxspnsx2211 122222111 12 )()() )() (exp()exp)() nn nini innni inii issp xs 分析 ，发现其为高斯型的；而 为其条件均值，因此可以直接得到|smse1()nimeix（2） 采用均方代价函数，相应贝叶斯估计为最大后验估计 maps，也即满足ln(|)0mappssx|ln()|0mapsx故有 1(nmapiixs所以 1napi2 设观测到的信号为xn其中 是方差为 、均值为零的高斯白噪声。如果 服从瑞利分布，即n2n2200ep()p求 的最大后验概率估计 。map解：根据题意， ，所以2n(,)xN221()(|)e
3、xpnnx，221ln(|)lnnp且 ll22(|)()()1nxpx所以 ，解得：2210mpn 22214nnnmpxx（因为222141nnxx（所以 222241nnnmp（3 给定 ， 是零均值、方差为 1 的随即变量2sxn（1） 求 的最大似然估计 。mls（2） 对下列 求最大后验概率估计()pmaps040ex()ss解：（1） 根据题意， ，所以(/2,1)xNs 21(/)(|)exp2spxs2/ln(|)lp()2xss1()02mllsx（2） 根据题意， ， ，1exp040ss()() 1ln()l4sps0因此 ln|ln()1()24psss(|)0mpx
4、21,/0mps5考虑一个假设检验问题，已知21124. HN 在 两 种 假 设 下 ， 观 测 数 据 均 为 均 值 为 零 的 正 态 分 布： 方 差 为： 方 差 为次 独 立 观 测 ， 做 似 然 比 检 验 。210()exppxH1） 设 若 ，试求 。1010,cc134()PFDP和2） 设 ，试建立奈曼- 皮尔逊准则。.FP解：1）记似然比检验门限为 ，似然比检验判决式为10122121 20()exp()( exp()HpxH （ ）化简得判决表示式 1022()lnl()Hdef defxl讨论：当 时，判决表示式为0x012()Hdef deflx 即 012(
5、)Hl当 时，判决表示式为0x012()Hdef deflx 即012()Hl而 ，所以，判决表示式统一为21，012()Hxx，012()H0当 时，似然比检验门限 为1010,cc134()P010()3pHc检测门限 为212lnl()lnl()0.87这样， 为1.7456又当 时，根据判决表示式1，012()Hxx解得 时，判决表示式为0x，判决假设 成立()l1，判决假设 成立1x0H而根据判决表示式012()H，解得 时，判决表示式为0x，判决假设 成立()lx1H，判决假设 成立10这样，判决表示式为，01()2.657Hlxx，10().0Hl又由于 都是以纵坐标为对称的函数
6、，所以FDP和 2.65702.65702.657010 11()()exp()exp()0.93ppldldld1 12 22.6572.65702.65702 2110()()()()()().D l lHl2）当约束 时，采用奈曼- 皮尔逊准则，也分三种情况进行讨论。.FP一、当 时，始终判决假设 成立，所以 ，不满足约束条件2100H10()pH，不存在奈曼-皮尔逊准则。.FP二、当 时，判决域的划分如题图（a）所示。如果取 ，则0 .724。.26859这时判决概率1000110.734.26859()()()2exp(exp().81.FpHlHdldl 满足约束条件。判决概率11
7、112 22 20.73141.26859()()()2expexp(.).6DpHlHdldl 三、当 时，判决域划分如图（b）所示。如果取 ，则 。110().8645FpH如果取 ，则 随 增大而增加。所以，当 时， 不满足约束条件，不存在奈曼-皮尔逊准则。10综上，当约束条件为 时，采用奈曼- 皮尔逊准则的 ，判决域划分如图2.FP0.7214（c）所示。6.设观测信号在两个假设下的概率密度函数 分别如下图所示10()()pxH和xp(x/H0) p(x/H1)1/310 x-1 -11 201） 若似然比检验门限为 ，求贝叶斯判决表达式。2） 如果 。101()()PH ， 计 算 概 率 和解 ：1）假设 H0 下观测信号的概率密度函数为 1,1()xpx其 他假设 H1 下观测信号的概率密度函数为,2()30xx其 他于是，似然比检验为 000111103,0(),1,2HHxxpxx（ ）化简得判决表示式 01103(),1,2HHlxx成 立 ，2）若似然比检验门限 =1，则判决表示式为01012(),03,12HHlxx成 立 ，所以，判决概率 为10()p23210131()(89pHldl判决概率 为1()pH2231131459dll信号检测与估计理论作业姓名：唐美思学号：20072575班级：通信 07032010 年 11 月
