【恒心】2012年全国高考湖北卷理科数学试卷解析【学生专版】.doc

1、数学（理工类）试题参考答案 第 1 页（共 17 页）2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1方程 的一个根是26130xA B C Di32i23i23i考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度：解析：根据复数求根公式： ，所以方程的一个根为2614x32i32i答案为 A.2命题“ ， ”的否定是0xRQ30xA ， B ，0xR30xC ， QD ，xR3考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.难易度

2、：解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。因此选 D3已知二次函数 的图象如图所示，()yfx则它与 轴所围图形的面积为xA B 2543C D 322俯视图侧视图2正视图第 4 题图4242 1yxO第 3 题图数学（理工类）试题参考答案 第 2 页（共 17 页）考点分析：本题考察利用定积分求面积. 难易度：解析：根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为2()1yfx.12314()(Sxd4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B 833C D106考点分析：本题考察空间几何体的三视图.难易度：解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的

3、一部分，并且有正视图知是一个 1/2 的圆柱体，底面圆的半径为 1，圆柱体的高为 6，则知所求几何体体积为原体积的一半为 .选 B.35设 ，且 ，若 能被aZ03a2015a13 整除，则 A0 B1 C11 D12考点分析：本题考察二项展开式的系数.难易度：解析：由于51=52-1， ,152.52)152( 0012010 CC又由于 13|52,所以只需 13|1+a，0a13,所以 a=12 选 D.6设 是正数，且 ，,abcxyz221abc， ，2240xyz则 zA B 1413数学（理工类）试题参考答案 第 3 页（共 17 页）C D 1234考点分析：本题主要考察了柯西

4、不等式的使用以及其取等条件.难易度：解析：由于 2222 )()( czbyaxzyxcba等号成立当且仅当 则 a=t x b=t y c=t z ，,t 10)(22zyxt所以由题知 又 ，答案选 C.2/1t, /,zcyx所 以7定义在 上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列 ， (,0)(,)()f na仍)nfa是等比数列，则称 为“保等比数列函数”. 现有定义在 上的如下()fx (,0)(,)函数： ； ； ； .2()fx()2xf()|fx()ln|fx则其中是“保等比数列函数”的 的序号为 fA B C D 考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：解析：等比数

5、列性质， ， ； 21nna12212nnnn afaf ； 122 122aanfa；112nnnn ff.选 C 22ll aa8如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA， OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是数学（理工类）试题参考答案 第 4 页（共 17 页）A B2112C D考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度：解析：令 ，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为 ，1OA1S围成 OC 为 ，作对称轴 OD，则过 C 点。 即为以 OA 为直径2S2S的半圆面积减去三角形 OAC 的面积，。在扇形 OAD

6、 中 为扇形81122 1面积减去三角形 OAC 面积和 ，2S， ，扇形 OAB 面积 ，选 A.1681222S 42141S9函数 在区间 上的零点个数为2()cosfx0,4A4 B5 C6 D7考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.难易度：解析： ，则 或 ， ，又 ，0)(xf 0cos2xZk,224,0x4,321k所以共有 6 个解.选 C.10我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 ，求其直径V的一个近似公式 . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 判d3169d

7、V =3.1459断，下列近似公式中最精确的一个是A B C D31693230157dV32dV考点分析：考察球的体积公式以及估算.难易度：解析：第 8 题图数学（理工类）试题参考答案 第 5 页（共 17 页）3466b69()d, ,=3.752 116157=3.4, .4280VaV AB D 由 ， 得 设 选 项 中 常 数 为 则 ； 中 代 入 得 ，中 代 入 得 ， C中 代 入 得 中 代 入 得 ，由 于 D中 值 最 接 近 的 真 实 值 ， 故 选 择 。二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 请将答案填在答题卡对

8、应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（1114 题）11设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， . 若 ，ABCBCabc()()abcab则角 考点分析：考察余弦定理的运用.难易度：解析：222a =-ab12cos ,3acbCC由 （ +b-） (-)=,得 到根 据 余 弦 定 理 故12阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 .s第 12 题图数学（理工类）试题参考答案 第 6 页（共 17 页）考点分析：本题考查程序框图.难易度：解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈循环：当 n=1 时，得 s=1，a=3. 第二圈循环

9、: 当 n=2 时，得 s=4，a=5第三圈循环：当 n=3 时，得 s=9，a=7此时 n=3，不再循环，所以解 s=9 . 13回 文 数 是 指 从 左 到 右 读 与 从 右 到 左 读 都 一 样 的 正 整 数 如 22， 121， 3443， 94249 等 显然 2 位 回 文 数 有 9 个 ： 11， 22， 33， ， 99 3 位 回 文 数 有 90 个 ：101， 111， 121， ， 191， 202， ， 999 则（）4 位 回 文 数 有 个 ；（） 位 回 文 数 有 个 ()nN考点分析：本题考查排列、组合的应用.难易度：解析：（）4 位回文数只用排列

10、前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为 0，有 9（19）种情况，第二位有 10（09）种情况，所以 4 位回文数有 种。901答案：90（）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同，所以可以算出 2n+2 位回文数的个数。2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况，第一位不能为 0 有 9 种情况，后面 n 项每项有 10 种情况，所以个数为 .n109法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数，3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,99” ，因此四位数的回文数有90 个按

11、此规律推导 ,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加09 这十个数，因此 ,则答 案 为 .n1014如图，双曲线 的两顶点为 ， ，虚轴两端点为 ， ，两焦21 (,0)xyab1A21B2点为 ， . 若以 为直径的圆内切于菱形 ，切点分别为 . 则1F212AFB,ACDA1 A2 yB2B1AO BC DF1 F2 x数学（理工类）试题参考答案 第 7 页（共 17 页）（）双曲线的离心率 ；e（）菱形 的面积 与矩形 的面积 的比值 .12FB1SABCD2S12考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算.难易度：解析：（）由于以 为直径

12、的圆内切于菱形 ，因此点 到直线 的距离12A12FBO2BF为 ，又由于虚轴两端点为 ， ，因此 的长为 ，那么在 中，由三角形的aB22Ob2面积公式知， ，又由双曲线中存在关系 联)(|2caFbc 2bac立可得出 ，根据 解出2)1(e,1;215e（）设 ,很显然知道 , 因此 .在2OBF2AOBF)2sin(2aS中求得 故 ；2 ,cos,sin22cbb 24coi4cb菱形 的面积 ，再根据第一问中求得的 值可以解出 .12FBcS1e251S（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果

13、全选，则按第 15 题作答结果计分.）15 （选修 4-1：几何证明选讲 ）如图，点 D 在 的弦 AB 上移动， ，连接 OD，过点 D OA4AB作 的垂线交 于点 C，则 CD 的最大值为 . 考点分析：本题考察直线与圆的位置关系难易度：解析：（由于 因此 ,线段 长为定值，,2OC即需求解线段 长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时 为 的中点，点 与点 重合，因此 .DABCB|1|ABDCBADO.第 15 题图数学（理工类）试题参考答案 第 8 页（共 17 页）16 （选修 4-4：坐标系与参数方程 ）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建

14、立极坐标系. 已知射线 与曲线 （t 为参数）421,()ty相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为 .考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.难易度：解析： 在直角坐标系下的一般方程为 ，将参数方程 （t 为参4 )(Rxy21,()xty数）转化为直角坐标系下的一般方程为 表示一条抛物221t线，联立上面两个方程消去 有 ，设 两点及其中点 的横坐标分别y0452xBA、P为 ，则有韦达定理 ,又由于点 点在直线 上，因此0xBA、 20BA xy的中点 .)25,(P三、解答题17 （本小题满分 12 分）已知向量 ， ，设函数(cosin,si)xxa

15、(cosin,23cos)xxb的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 . ()fxb)R1(,)2（）求函数 的最小正周期； (fx（）若 的图象经过点 ，求函数 在区间 上的取值范围.)y(,0)4()fx30,5考点分析：本题考察三角恒等变化，三角函数的图像与性质。难易度：解析：（）因为 22()sincos3sincofxxx. cos23i()6由直线 是 图象的一条对称轴，可得 ， x()yfx si(2)16所以 ，即 262kZ1)23kZ又 ， ，所以 ，故 . 1(,)56数学（理工类）试题参考答案 第 9 页（共 17 页）所以 的最小正周期是 . ()fx65（）由

16、 的图象过点 ，得 ，y(,0)4()04f即 ，即 . 52sin(2sin62故 ， )3fx由 ，有 ，05566x所以 ，得 ，1sin()12352sin()236x故函数 在 上的取值范围为 . )fx0,51,18 （本小题满分 12 分）已知等差数列 前三项的和为 ，前三项的积为 .na38（）求等差数列 的通项公式；（）若 ， ， 成等比数列，求数列 的前 项和.231 |na考点分析：考察等差等比数列的通项公式，和前 n 项和公式及基本运算。难易度：解析：（）设等差数列 的公差为 ，则 ， ，nad21d312ad由题意得 解得 或 113,()2)8.d,a4,.所以由等

17、差数列通项公式可得，或 .25nan43(1)7nn故 ，或 . 337a（）当 时， ， ， 分别为 ， ， ，不成等比数列；n212当 时， ， ， 分别为 ， ， ，成等比数列，满足条件.73 4故 ,|3| .nna记数列 的前 项和为 .|nS当 时， ；当 时， ；11|4Sa2212|5a当 时，3n24|n 5(37)(4)(37)n. 当 时，满足此式.2()(37)50n数学（理工类）试题参考答案 第 10 页（共 17 页）综上， 24,1,310,.nnS19 （本小题满分 12 分）如图 1， ， ，过动点 A 作 ，垂足 D 在线段 BC 上且异于45ACB3BC点

18、 B，连接 AB，沿 将 折起，使 （如图 2 所示） DB90（）当 的长为多少时，三棱锥 的体积最大；D（）当三棱锥 的体积最大时，设点 ， 分别为棱 ， 的中点，试在EMAC棱 上确定一点 ，使得 ，并求 与平面 所成角的大小NNB第 19 题图考点分析：本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最值。同时考察直线与平面所成角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。难易度：解析：（）解法 1：在如图 1 所示的 中，设 ，则 ABC(03)Dx3CDx由 ， 知， 为等腰直角三角形，所以 .ADBC45 A由折起前 知，折起后（如图 2） ， ， ，且 ，AB所以 平面 又 ，所以 于是901(3)2BCDSx11(3)()(3)32ABCDBCDVSxx，2x当且仅当 ，即 时，等号成立，1x故当 ，即 时, 三棱锥 的体积最大 1ABCD解法 2：同解法 1，得 321(3)()(69)32ABCDVSxxxDAB CACDB图 2图 1ME.