1、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲 9数列综合问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测在知识网络的交汇点处设计试题是近年来高考命题的特点数列作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，而且常常与不等式、函数、解析几何等知识综合在一起，成为高考命题的热点范例选讲例 1 已知函数 ，点 ， 是函数Rxxf2411,yxP2,yx图像上的两个点，且线段 的中点 的横坐标为 xf 1P2（）求证：点 的纵坐标是定值；（）若数列 的通项公式为 ，求数列namnNmfan ,1,的前 m 项的和 ；n
2、amS（）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围N1mSaa讲解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题对于（） ，直接验证即可；对于（） ，观察 的构成：mS， mfffff 1221可知（）的结论又为（）作了铺垫；对于（） ，则应在（）的基础上，充分利用“恒成立” ，结合函数、不等式的知识去解决总之，本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键（）由题可知： ，所以，121xDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！2142424121211 21212121 xxx xxxxffy点
3、的纵坐标 是定值，问题得证PyP（）由（）可知：对任意自然数 ， 恒成立nm, 21mnff由于 ，故可考虑利用 ffffmfS 1221倒写求和的方法即由于： mffmffmf fffff 121所以， 136)(21 222 f fffffffSm 所以， mS（） ， 132231mS 等价于 1mSa0aam依题意，式应对任意 恒成立N（1） 当 时，式显然不成立，因此 不合题意0（2） 当 时， ，所以，只需 对任意a0231a0ma恒成立，而当 为偶数时， 不成立，因此， 不合mm题意（3） 当 时，因为 （ ） ，所以，需且只需0a0aN对任意 恒成立即： 对 恒231m 132
4、aNmDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！成立记 （ ） 132mgN ，01329135m （ ）的最大值为 ，g5g 25a点评：对于“恒成立”的问题，往往采用分离变量的方法，转化为求某一函数的最值例 2 已知函数 与函数 的图像关于直线 对xf01axy xy称（）试用含 的代数式表示函数 的解析式，并指出它的定义域；af（）数列 中， ，当 时， 数列 中， ，n12n1annb21点 在函数 的图像上，求 的值；nnbS21 ,3,SaPn xfa（）在（）的条件下，过点 作倾斜角为 的直线 ，则 在轴上n4nl的截距为 ，
5、求数列 的通项公式13nb,32a讲解：本题条件繁多，内容涉及解析几何、函数、数列多个方面，因此，我们首先需要仔细阅读题目，并根据题设理清思路，从繁杂的条件中选取有用的信息，把握问题的实质：实际上，本题的实质仍然是数列问题，解析几何和函数只是起到一种伪装的作用（）由题可知： 与函数 互为反函数，所以，xf01axy，2f（）因为点 在函数 的图像上，所以，,31,nSaPn xf(*)2n,2Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！在上式中令 可得： ，又因为： ， ，代入可1n121aS1a21bS解得： a所以， ，(*) 式可化为：
6、2xf12naS,3（）直线 的方程为： ， ，nl nnaxy,21在其中令 ，得 ，又因为 在轴上的截距为 ，所0xnSnl 13nb以，=na13b结合式可得： 232nnb由可知：当自然数 时， ， ，两naS121naS式作差得： 122nna结合式得：3212nnNn,在中，令 ，结合 ，可解得： ，1a2或a又因为：当 时， ，所以，舍去 ，得 2n同上，在中，依次令 ，可解得： ， 4,334a猜想： 下用数学归纳法证明anN（1） 时，由已知条件及上述求解过程知显然成立3,2（2）假设 时命题成立，即 ，则由式可得：kka3,kN且132211kkka把 代入上式并解方程得：
7、 ka1ak或Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！由于 ，所以， ，所以，3k 021)(12kk不符合题意，应舍去，故只有 211ak 1ak所以， 时命题也成立kn综上可知：数列 的通项公式为 nanN点评：演绎和归纳是解决数列问题的常用方法；解决综合题的策略往往是把综合问题分解成几部分，然后各个击破高考真题1. （1995 年全国高考）设 是由正数组成的等比数列, 是其前 n 项和,nanS（）证明: ( ) ；212lgS1ln（）是否存在常数 c0,使得 lg( c)lg( c)lg( c)成S2n1nS立?并证明你的结论.2. （1999 年全国高考）已知函数 的图象是自原点出发的一条折线,当xfyn y n1(n 0,1,2,) 时,该图象是斜率为 的线段(其中正常数 1),设nbb数列 由 ( 1,2,)定义xnf（）求 和 的表达式；21,x（）求 的表达式,并写出其定义域；f（）证明 的图象与 的图象没有横坐标大于 1 的交点xyxy答案与提示：1不存在满足题意的常数 2 （） c,21bx；（）当 时， 的定义域为 ，当 时，11bxnn 1bxf ,0b10的定义域为 ；（）略f,0Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！
