中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第23讲方案优化型综合问题.doc

1、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲 23方案优化型综合问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现范例选讲例 1某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元（）

2、当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？（）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？讲解：（）当每辆车的月租金定为 3600 元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了 88 辆车360125（）设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益为：3030155xfx整理得： 2 2164307500fxx所以，当 时， 最大，最大值为 307050即当每辆车的月租金45xf定为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是 307050 元点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料

3、分享网(D) 资料分享我做主！例 2某工厂生产容积为 立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材23料每平方米 30 元，制造侧面的材料每平方米 20 元，设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计() 把制造容器的成本 y（元）表示成容器底面半径 x（米）的函数，并指出当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；() 若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于 2（米），此时最低成本为多少元？（精确到 1 元）讲解：（）设圆柱形容器的高为 h，则 23x所以， 2 60303yxx因为 ，所以，x，226109283yx元等号当且仅当 ，即 时取得2() 当 时，由（）可知，不能利用均值不等式来

4、求解 的最小值，x y所以，我们可以考虑函数 的单调性2603yx任取 ，且设 ，则12,)x12，1212121213030yxxx由于 ，所以， ，所以， ，12x12121, 02y所以，函数 在区间 上单调递增603yx,)所以，当 时， 取得最小值为： （元）2x5047点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件例 3小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存 20000 元，作为 5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：利息税为 20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使 5 年后所获收项目 1 年期 2 年期 3 年期 5 年期年利率 ir1.98% 2.25% 2.

5、52% 2.79%Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！益最大请说明理由讲解：小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5 年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第 2 次存款时，应该将第 1 次存款所得本息和全部存入银行为叙述方便，用 表示把 元本金，先存一次 n 年期，再存一次 m 年期nmPa所得本息和如： 表示先存 2 个 1 年期，再存一个 2 年期所得本息和12首先，可以考虑下面的问题： 是否成立？即把 元本金，先存一nmnPa次 n

6、年期，再存一次 m 年期与先存一次 m 年期，再存一次 n 年期，所得本息和是否相同？因为 ，415kkkParar所以， 1nmnmnP 根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况： ，112,P13， ， ， 方法之一是直接计算，但运算量相对较12P1523,2P3大为此，我们可以考虑下面的办法：（1）比较 与 的大小关系：12因为 ，211441.98%.0355Paraa，22.6 所以， 所以，只需考虑上述八种情况中的： ， ，1P2 1523,P23（2）比较 和 的大小213，1244.98%2.51.025Pa aDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料

7、分享网(D) 资料分享我做主！，3412.5%1.06Paa所以， 所以，只需比较 ， ， 21315P23因为： ，1544.98.79%1.2a a，322.5%1.2Pa 2341.a所以， 最大，即小红父母应该选择先存一次 1 年期，再存一次 5 年期15P（或先存一次 5 年期，再存一次 1 年期）获利最多这与我们通常的认识是一致的点评：本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程高考真题1（2001 年上海高考题）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位

8、量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用 单位2 x量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数 fx（）试规定 的值，并解释其实际意义；0f（）试根据假定写出函数 应该满足的条件和具有的性质；fx（）设 ，现有 单位量的水，可以清洗一次，也可以21fx0a把水平均分成 2 份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由2（2003 年上海春季高考）在一次人才招聘会上，有 A、B 两家公司分别开出他们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资数为 1500 元，以后每年月工资Doc521 资料分享网(D)

9、 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！比上一年月工资增加 230 元；B 公司允诺第一年月工资数为 2000 元，以后每年月工资在上一年的月工资的基础上递增 5设某人年初被 A、B 两家公司同时录取，试问：（）若某人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年，则他在第 n 年的月工资收入分别是多少？（）该人打算连续在一家公司工作 10 年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择那家公司，为什么？（）在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到 1 元），并说明理由答案与提示：1（） 表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量将01f保持原样；（）函数 应该满足的条件和具有的性质是：x且 ， 在 上单调递减；（）0,2ffffx,时，两次清洗后残留的农药量较少， 时，效果相同，a 2a时，一次清洗残留的农药量较少 2 （）在 A 公司和 B 公司0第 n 年的月收入分别为 ；（）应选择 A 公司；112703,0nn（）826 元